Similitudine e omotetia

Figure simili Come sai, se vuoi riprodurre una figura, puoi disegnarla perfettamente uguale rispettandone la forma e le dimensioni e cambiandone quindi solo la posizione. In questo caso la riproduci isometricamente, cioè attraverso una isometria, che può essere una traslazione o una simmetria, e quindi otterrai figure congruenti. Puoi riprodurre una figura anche più grande o più piccola, senza deformarla, cioè rispettandone la forma. In questo caso la riproduci simile, attraverso una trasformazione non isometrica che prende il nome di similitudine.

Figure simili Scopriamo le proprietà della similitudine attraverso una trasformazione geometrica; consideriamo due triangoli simili e misuriamone la lunghezza dei lati e l’ampiezza degli angoli. A B C A’ B’ C’

Gli angoli corrispondenti sono congruenti; Figure simili Dalle misure possiamo dire che: Gli angoli corrispondenti sono congruenti; I lati corrispondenti, che si dicono lati omologhi, sono in rapporto costante: Possiamo affermare che: Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti ordinatamente congruenti e i lati omologhi in proporzione. La trasformazione che si ottiene si chiama similitudine; essa lascia invariata l’ampiezza degli angoli ma varia la lunghezza dei seguenti segmenti corrispondenti in rapporto costante. Tale rapporto costante si chiama rapporto di similitudine.

Criteri di similitudine nei triangoli Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°, dal I criterio di similitudine segue che: Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti; Due triangoli equilateri sono sempre simili; Due triangoli isosceli sono simili se hanno l’angolo al vertice o gli angoli alla base congruenti; Due triangoli rettangoli sono simili sa hanno un angolo acuto congruente.

Primo teorema di Euclide Interpretazione geometrica dei due teoremi di Euclide Primo teorema di Euclide Consideriamo una delle due proporzioni che ci da il I teorema di Euclide: BC : AB = AB : BH proprietà fondamentale A H Possiamo considerare AB² come la superficie del quadrato di lato AB e BC x BH come la superficie di un rettangolo le cui dimensioni sono BC e BH. C B A = BC x BH In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per base l’ipotenusa e per altezza la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

Secondo teorema di Euclide Interpretazione geometrica dei due teoremi di Euclide Secondo teorema di Euclide Consideriamo una delle due proporzioni che ci da il II teorema di Euclide: BH : AH = AH : HC proprietà fondamentale A Possiamo considerare AH² come la superficie di un quadrato di lato AH, e BH x HC come la superficie di un rettangolo le cui dimensioni sono BH e HC. C B H In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. A = BH x HC

L'omotetia Proviamo ad ingrandire il triangolo ABC, proiettiamo da un punto fisso O i vertici del triangolo e su ciascuna retta passante per i vertici prendiamo i punti a essi corrispondenti in modo che : Unendo i punti A’, B’ e C’ otteniamo il triangolo corrispondente di ABC. C’ C B’ B O A A’

L'omotetia Se si vuole rimpicciolire il quadrilatero ABCD della metà,proiettiamo da un punto fisso O i vertici del quadrilatero e su ciascuna retta passante per i vertici prendiamo i punti a essi corrispondenti in modo che: Unendo i punti A’, B’, C’ e D’, otteniamo il quadrilatero corrispondente di ABCD. C D C’ B D’ B’ A O A’

L'omotetia La trasformazione che ci permette di ingrandire il triangolo ABC o di rimpicciolire il quadrilatero ABCD è una particolare similitudine detta omotetia e le coppie di poligoni ABC e A’B’C’, ABCD e A’B’C’D’, tra loro simili,si dicono più esattamente omotetici. Diciamo che: Due figure sono omotetiche se i loro punti corrispondenti sono allineati su rette che si incontrano tutte in un punto, detto centro dell’omotetia, e i loro lati corrispondenti sono in rapporto costante. Tale rapporto di proporzionalità, k, si chiama rapporto di omotetia o caratteristica dell’omotetia. C D C’ B D’ B’ A O A’

Proprietà dell'omotetia Un’omotetia può essere diretta o inversa. Parliamo di omotetia diretta se i vertici corrispondenti si prendono, rispetto al centro dell’omotetia, dalla stessa parte dei vertici della figura data. O o A’ C B C’ H’ B’ F B’ C’ A D A F’ A’ D’ H B C

Proprietà dell'omotetia La caratteristica k dell’omotetia determina il rimpicciolimento o l’ingrandimento della figura. In particolare: Se k > 1 si ha un ingrandimento della figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in quella inversa; Se k < 1 si ha un rimpicciolimento della figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in quella inversa; Per k = 1 la figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame è coincidente se l’omotetia è diretta, si dice quindi che è un’identità. Nell’omotetia inversa si ha una simmetria centrale.

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