Le disequazioni in due variabili Una disequazione in due variabili si presenta nella forma o e, in generale, ammette come soluzioni tutti i punti di una regione del piano cartesiano. Disequazioni lineari Una disequazione lineare in e ha la forma Le due soluzioni sono rappresentate dai punti di uno dei due semipiani individuati dalla retta

Le disequazioni in due variabili ESEMPIO Rappresentiamo le soluzioni della disequazione Esplicitiamo rispetto a : Disegniamo la retta: y x Il semipiano delle soluzioni è dunque quello che non contiene il punto scelto, nel nostro caso l’origine. Per individuare il semipiano delle soluzioni scegliamo un punto non appartenente alla retta, per esempio l’origine, e sostituiamo le sue coordinate nella disequazione; otteniamo la relazione: che è falsa

Le disequazioni in due variabili Le disequazioni non lineari Anche le disequazioni non lineari si possono risolvere con un procedimento analogo: si disegna la curva che divide il piano cartesiano in due o più regioni; si sceglie un punto del piano che non appartiene alla curva; si sostituiscono le sue coordinate nella disequazione: se la relazione ottenuta è vera, la regione della soluzione è quella che contiene il punto se la relazione ottenuta è falsa, la regione della soluzione è quella che non contiene il punto.

Le disequazioni in due variabili 2 y x Le disequazioni in due variabili ESEMPIO Risolviamo la disequazione Costruiamo il grafico della curva Scegliamo il punto di coordinate (1,0) e sostituiamo nella disequazione: (1,0) La relazione ottenuta è vera; la regione delle soluzioni è quella delimitata dalla parabola che contiene il punto.

Le disequazioni in due variabili I sistemi di disequazioni La soluzione di un sistema di disequazioni in due variabili è la regione di piano individuata dall’intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione. Essa è quindi rappresentata dalla o dalle zone del piano in cui tutte le soluzioni si sovrappongono.

Le disequazioni in due variabili ESEMPIO Risolviamo il sistema Disegniamo le tre curve rappresentate dalle equazioni associate: la prima è la zona interna alla circonferenza con centro nell’origine e raggio 3, la seconda è il semipiano delimitato dalla retta bisettrice del 1°e del 3°quadrante, la terza è la regione di piano a destra della retta x = -2 Regione soluzione della disequazione y=x Regione soluzione della disequazione Regione soluzione della disequazione -2 -2 Intersezione delle tre regioni di piano

Orientarsi in tre dimensioni Le coordinate cartesiane nello spazio Un sistema di riferimento nello spazio è composto da tre rette orientate a due a due perpendicolari e passanti per lo stesso punto O, origine del sistema di riferimento. Le tre rette rappresentano l’asse x, l’asse y e l’asse z. I tre assi coordinati, a coppie, individuano tre piani: il piano coordinato xy individuato dagli assi x e y; il piano coordinato xz individuato dagli assi x e z; il piano coordinato yz individuato dagli assi y e z. Ogni punto nello spazio è individuato da tre coordinate (x, y, z) chiamate, rispettivamente, ascissa, ordinata e quota.

Orientarsi in tre dimensioni I punti che appartengono all’asse x hanno ordinata e quota nulle: (a,0,0) I punti che appartengono all’asse y hanno ascissa e quota nulle: (0,b,0) I punti che appartengono all’asse z hanno ascissa e ordinata nulle: (0,0,c) x y z C (0,0,1) B (0,1,0) (1,0,0) A I punti che appartengono al piano xy hanno quota nulla: (a,b,0) I punti che appartengono al piano xz hanno l’ordinata nulla: (a,0,c) I punti che appartengono al piano yz hanno l’ascissa nulla: (0,b,c) x y z F (0,1,1) D (1,1,0) (1,0,1) E

Orientarsi in tre dimensioni I segmenti nello spazio Ogni segmento AB dello spazio è individuato dalle coordinate dei suoi punti estremi: e La misura del segmento AB si determina con la formula: In particolare: se AB è parallelo all’asse x se AB è parallelo all’asse y se AB è parallelo all’asse z Le coordinate del punto medio M del segmento AB si determinano con la formula:

Orientarsi in tre dimensioni ESEMPIO Dati i punti calcoliamo: le misure dei lati del triangolo ABC: perché AB è parallelo all’asse z le coordinate del punto medio del segmento BC:

Il piano e la sua equazione Nello spazio cartesiano un piano è rappresentato da un’equazione della forma forma implicita che, se , si può scrivere esplicitando rispetto alla variabile : forma esplicita ESEMPIO L’equazione , essendo di primo grado nelle variabili , rappresenta un piano. Forma implicita: Forma esplicita:

Il piano e la sua equazione CASI PARTICOLARI Se nell’equazione di un piano manca il termine noto, il piano passa per l’origine: passa per l’origine Se nell’equazione di un piano manca una variabile, il piano è parallelo all’asse rappresentato quella variabile: è un piano parallelo all’asse z Se nell’equazione di un piano mancano due variabili, il piano è parallelo al piano rappresentato da quelle variabili: è un piano parallelo al piano xy

Il piano e la sua equazione ESEMPI Riconosciamo le caratteristiche di ciascuno dei seguenti piani: mancano le variabili x e z piano parallelo al piano xz. Poiché , il piano taglia l’asse y nel punto di ordinata . manca al variabile y piano parallelo all’asse y. manca il termine noto il piano passa per l’origine del sistema di riferimento.

Il piano e la sua equazione Come scrivere l’equazione di un piano L’equazione contiene quattro parametri, ma solo tre di loro sono indipendenti. Ciò è in accordo con il fatto che per tre punti non allineati passa uno e un solo piano; conoscere le coordinate di tre punti è perciò sufficiente per determinare l’equazione del piano che li contiene. ESEMPIO Scriviamo l’equazione del piano per i punti A(1,2,0) , B(0,0,1) , C(-1,2,2). Scriviamo l’equazione generale del piano: Passaggio per A Passaggio per B Passaggio per C Risolvendo il sistema e considerando come incognite a, b, c, troviamo: Equazione del piano: e dividendo per –d:

Il piano e la sua equazione Piani paralleli e piani perpendicolari Condizione di parallelismo tra i piani. Due piani e sono paralleli se e solo se: cioè se i coefficienti delle variabili dei due piani sono proporzionali. Condizione di perpendicolarità tra i piani. Due piani e sono perpendicolari se e solo se:

Il piano e la sua equazione ESEMPI Consideriamo i piani di equazioni e I piani non sono paralleli perché Valutiamo la condizione di perpendicolarità: Possiamo concludere che i piani sono perpendicolari. Scriviamo l’equazione del piano passante per P(1,-1,2) parallelo a quello di equazione . I coefficienti delle variabili devono essere proporzionali a quelli del piano dato. Perciò: L’equazione del piano richiesto ha quindi forma: Imponiamo il passaggio per P: Il piano ha quindi equazione:

Il piano e la sua equazione La distanza di un punto da un piano La distanza di un punto P da un piano è il segmento di perpendicolare condotto dal punto al piano. Se è l’equazione di un piano e , la distanza di P dal piano è data dalla relazione: ESEMPIO Calcoliamo la distanza dal punto dal piano di equazione Applichiamo la formula:

Le funzioni di due variabili Una funzione reale di due variabili reali x e y è una relazione che ad ogni coppia ordinata (x, y) di numeri reali appartenente ad un sottoinsieme S di R x R associa uno e un solo numero reale z. Per indicarla scriviamo: La definizione L’insieme S è il dominio della funzione ed è in generale rappresentato da una regione del piano xy; il codominio è l’insieme dei valori assunti dalla variabile z al variare della coppia (x, y) in S.

Le funzioni di due variabili La determinazione del dominio Il dominio di una funzione è l’insieme di tutte le coppie (x, y) appartenenti a R x R per le quali la funzione è definita. ESEMPIO Per l’esistenza della funzione le condizioni da porre sono due: per l’esistenza della radice per l’esistenza della frazione Il sistema che si ottiene è il seguente e corrisponde ai punti interni della circonferenza avente centro nell’origine e raggio 2, compresi i punti della circonferenza ed esclusi i punti della retta

Le funzioni di due variabili Le linee di sezione Il grafico di una superficie nello spazio può essere messo in evidenza sezionandolo con piani paralleli al piano xz e yz. Si ottengono in questo modo delle linee curve bidimensionali il cui insieme genera un reticolo che delinea la forma della superficie. Queste linee si ottengono ponendo (piani paralleli al piano xz) e (piani paralleli al piano yx) e prendono il nome di linee di sezione.

Le funzioni di due variabili ESEMPIO Rappresentiamo graficamente la funzione mediante il reticolo delle linee di sezione. Se sezioniamo con piani paralleli al piano xz, cioè piani di equazione , otteniamo la funzione Al variare di k le curve sezione sono parabole. Se sezioniamo con piani paralleli al piano yz, cioè piani di equazione , otteniamo la funzione cioè Al variare di k le curve sezione sono rette.

Le funzioni di due variabili Le linee di livello Le linee di livello sono le curve piane che si ottengono intersecando la superficie con piani paralleli al piano coordinato xy, cioè piani di equazione . Con lo stesso nome si indicano poi anche le linee piane loro proiezione sul piano xy. Le equazioni di queste linee si ottengono dal sistema: e rappresentano le curve di equazione che appartengono al piano di equazione e le loro proiezioni sul piano xy.

Le funzioni di due variabili ESEMPIO Rappresentiamo le linee di livello della funzione Poiché Le linee di livello sono quindi curve di equazione con , cioè circonferenze con centro nell’origine. Per esempio: L’intersezione con il piano dà origine alla circonferenza

Le derivate parziali Le derivate parziali Consideriamo una funzione e supponiamo di tenere fissa una variabile, per esempio . In questo modo la funzione dipende solo dalla variabile . Analogamente, se teniamo fissa la variabile , la funzione dipende solo dalla variabile . Considerare come dipendente dalla sola variabile oppure dalla sola variabile ci permette di calcolare la sua derivata rispetto a o a . è la derivata di rispetto a

Le derivate parziali ESEMPIO Data la funzione Calcoliamo le sue derivate parziali rispetto a e rispetto a : ( viene considerata costante) ( viene considerata costante)

Le derivate parziali Il significato geometrico e il piano tangente Per calcolare la derivata parziale della funzione rispetto a nel punto fissiamo il valore di , cioè sezioniamo la superficie che rappresenta con il piano . La derivata parziale rispetto a in rappresenta il coefficiente angolare della retta ad essa tangente in . Analogamente per la derivata parziale rispetto a .

Le derivate parziali Le due rette r e s definiscono il piano tangente alla superficie S in P. Se le derivate parziali sono continue in P, il piano tangente ha equazione:

Le derivate parziali ESEMPI Determiniamo il piano tangente alla superficie di equazione nel suo punto di ascissa –1 e ordinata 1. Calcoliamo la quota del punto di tangenza: Calcoliamo le derivate parziali: ed è ed è L’equazione del piano tangente è: cioè

Calcoliamo le derivate parziali: Determiniamo il piano tangente alla superficie di equazione nell’origine O. O Calcoliamo le derivate parziali: Esse non sono definite nell’origine in quanto per e i denominatori si annullano, quindi il piano tangente non esiste. La superficie è un cono indefinito di vertice O.

Le derivate parziali Le derivate successive Data la funzione , se le derivate prime e sono funzioni a loro volta derivabili, si possono definire le derivate parziali seconde. ottenuta derivando rispetto a ottenuta derivando rispetto a ottenuta derivando rispetto a ottenuta derivando rispetto a Le derivate seconde della calcolate prima rispetto ad una variabile e poi all’altra, cioè la e la , si dicono derivate miste.

Le derivate parziali Si verifica che: Teorema (di Schwarz). Se la funzione ha derivate seconde miste che sono continue in un insieme , allora in ogni punto di . ESEMPIO Calcoliamo le derivate parziali prime e seconde della funzione Le derivate miste e sono uguali.

Massimi, minimi e punti di sella La definizione di minimo relativo Sia una funzione definita in un insieme D del piano. Si dice che un punto è un punto di minimo relativo per f se esiste un intorno di P0 contenuto in D per tutti i punti del quale si verifica che La definizione di massimo relativo Si dice che un punto è un punto di massimo relativo per se esiste un intorno di contenuto in per tutti i punti del quale si verifica che

Massimi, minimi e punti di sella La ricerca dei massimi e dei minimi Un punto in cui si annullano entrambe le derivate parziali e di una funzione si chiama punto stazionario. Un punto stazionario può essere un punto di massimo, di minimo o di sella.

Massimi, minimi e punti di sella Per riconosce la natura di un punto stazionario è necessario calcolare l’hessiano della funzione ESEMPIO Calcoliamo le derivate parziali prime e seconde e poi l’Hessiano:

Massimi, minimi e punti di sella Se è un punto stazionario per allora: se e allora è un punto di minimo relativo se e allora è un punto di massimo relativo se allora è un punto di sella se nulla si può dire relativamente a

Massimi, minimi e punti di sella ESEMPIO Studiamo i punti stazionare della funzione Calcoliamo le derivate parziali prime: Troviamo i punti stazionari: Abbiamo trovato due punti stazionari: (0,0) e (1,-1) Calcoliamo le derivate parziali seconde e costruiamo l’hessiano: Stabiliamo la natura dei punti stazionari: in (0,0) vi è un punto di sella: A (0, 0, -4). in (1,-1) vi è un punto di minimo relativo: B (1, -1, -5).