METODI DI STIMA DELLE FREQUENZE DI UN SEGNALE Università degli studi di Roma Tor Vergata METODI DI STIMA DELLE FREQUENZE DI UN SEGNALE Relatore: Ing. Daniele Carnevale Correlatore: Ing. Sergio Galeani Candidato: Gianluca Capparelli

- Metodi noti: analisi di Fourier e Wavelet function Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Metodi di stima delle frequenze - Metodi noti: analisi di Fourier e Wavelet function - Applicazione della Pseudoderivata e dei Notch Filter - Estensione dell’utilizzo di un Osservatore Ibrido - Analisi delle misurazioni del lanciatore di satelliti Vega

Fourier e Wavelet Serie di Fourier Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Fourier e Wavelet Serie di Fourier y(t) periodica ottenuta da armoniche: y 𝑡 = 𝑎 0 2 + 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 cos (𝑛𝑡) + 𝑏 𝑛 sin (𝑛𝑡) Trasformata di Fourier Rappresentazione in frequenza del segnale: 𝑌 𝑓 = −∞ ∞ 𝑦(𝑡) 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 Con segnale limitato DFT (FFT)

Fourier e Wavelet Periodgram Trasformata di Fourier Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Fourier e Wavelet Periodgram Trasformata di Fourier Rappresentazione in frequenza del segnale: 𝑌 𝑓 = −∞ ∞ 𝑦(𝑡) 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡

Fourier e Wavelet - Windowing: x𝑤 𝑡 =𝑥 𝑡 𝑤 𝑡 X𝑤 𝑓 =𝑋 𝑓 ∗𝑊(𝑓) Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Fourier e Wavelet Fourier non permette di valutare quando e quanto una certa frequenza è presente - Windowing: x𝑤 𝑡 =𝑥 𝑡 𝑤 𝑡 X𝑤 𝑓 =𝑋 𝑓 ∗𝑊(𝑓) - Funzioni Wavelet: localizzate nel tempo oltre che in frequenza

Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Fourier e Wavelet - Funzioni Wavelet: localizzate nel tempo oltre che in frequenza

Pseudoderivata e Filtri Notch Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Pseudoderivata e Filtri Notch Pseudoderivata Rapporto incrementale dipendente da due parametri: - d: il numero di valori che compongono la finestra di valutazione della pseudoderivata - c: l'ampiezza delle finestre dei valori mediati agli estremi dell'intervallo d 𝑃 𝑦 𝑡𝑘 = 𝑖=0 𝑐−1 𝑦(𝑡 𝑘−𝑖) − 𝑖=0 𝑐−1 𝑦(𝑡 𝑘−𝑑+𝑖) 𝑐 𝑑−𝑐 𝑇𝑠

Pseudoderivata e Filtri Notch Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Pseudoderivata e Filtri Notch Pseudoderivata Rapporto incrementale dipendente da due parametri: - d: il numero di valori che compongono la finestra di valutazione della pseudoderivata - c: l'ampiezza delle finestre dei valori mediati agli estremi dell'intervallo d Al variare del parametro d risultano eliminate alcune delle componenti della derivata del segnale originario Problema: in caso di presenza di esponenziali (decrescenti) si genera un’ulteriore componente della derivata che complica l’analisi.

𝐹(𝑠)= 𝑠 2 + 𝜔 2 𝑠 2 + 2𝜁𝜔+𝜔 2 Pseudoderivata e Filtri Notch Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Pseudoderivata e Filtri Notch Notch Filter Filtri elimina banda stretta 𝐹(𝑠)= 𝑠 2 + 𝜔 2 𝑠 2 + 2𝜁𝜔+𝜔 2 Il coefficiente di smorzamento ζ caratterizza la dinamica del filtro e genera un trade-off tra le prestazioni in frequenza e nel tempo: - Quanto è maggiore tanto più rapido è il transitorio - Al diminuire del valore aumenta la pendenza nell’intorno di ω

Pseudoderivata e Filtri Notch Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Pseudoderivata e Filtri Notch Notch Filter - Applicazione Idea: ottenere un’uscita duale come sottrazione del segnale e dell’uscita del filtro al variare della ωn e compararla ad una sinusoide di frequenza ωn. Coefficiente di correlazione

Pseudoderivata e Filtri Notch Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Pseudoderivata e Filtri Notch Notch Filter - Applicazione Segnale non smorzato I picchi dell’andamento della correlazione si verificano in coincidenza dei passi dell’algoritmo in cui il filtro ha la frequenza di risonanza pari ad una di quelle caratteristiche del segnale. Passo dell’algoritmo (legato ad una frequenza del filtro)

Pseudoderivata e Filtri Notch Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Pseudoderivata e Filtri Notch Notch Filter - Applicazione Segnale smorzato In questo caso i valori dei picchi della correlazione diminuiscono di valore poiché la differenza di ampiezza tra i due segnali confrontati varia nel tempo.

Pseudoderivata e Filtri Notch Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Pseudoderivata e Filtri Notch Notch Filter - Applicazione Presenza di rumore Sotto l'ipotesi che il rumore non abbia una frequenza comparabile con quelle che si intende identificare, o che comunque la stessa non si trovi nella banda di azione interessata dal notch filter durante lo scanning previsto dall'algoritmo, il risultato è del tutto invariato, poiché sotto queste ipotesi nel ricavare l'uscita duale il rumore viene del tutto eliminato ed il procedimento di comparazione avviene tra segnali puliti.

𝐴=𝑑𝑖𝑎𝑔(𝐴𝑖) 𝐴𝑖= 0 1 −𝜔2 −2𝜁𝜔 C= 0 1 0 1⋯0 1 (2) Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Osservatore ibrido Sistema 𝐴=𝑑𝑖𝑎𝑔(𝐴𝑖) 𝐴𝑖= 0 1 −𝜔2 −2𝜁𝜔 C= 0 1 0 1⋯0 1 (2) 𝑥 =𝐴𝑥 𝑦 =𝐶𝑥 (1) 𝑝𝑖 λ = λ 2 +2𝜁𝜔 λ+𝜔2 (3)

𝑌𝑘= 𝑦(𝑡 𝑘−2𝑛) 𝑦(𝑡 𝑘−2𝑛+1) ⋯ 𝑦(𝑡 𝑘−1) Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Osservatore ibrido Definizioni 𝑌𝑘= 𝑦(𝑡 𝑘−2𝑛) 𝑦(𝑡 𝑘−2𝑛+1) ⋯ 𝑦(𝑡 𝑘−1) 𝑡𝑘=𝑘𝑇=𝑘𝑝𝑇 𝑠 (4) 𝑌 𝑘= 𝑌𝑘−2𝑛 𝑌𝑘−2𝑛+1 ⋯ 𝑌𝑘 (5) 𝑝𝐷 λ = λ 2𝑛 +𝑎2𝑛−1 λ 2𝑛−1 +⋯+𝑎1λ + 𝑎0 (6)

𝑎= 𝑎0 𝑎1 ⋯ 𝑎2n−1 𝑌𝑘+1= 𝑌 𝑘𝑎 (7) 𝑎= 𝑌 𝑘−1 𝑌𝑘+1 (8) Osservatore ibrido Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Osservatore ibrido Definizioni 𝑌𝑘+1= 𝑌 𝑘𝑎 (7) 𝑎= 𝑎0 𝑎1 ⋯ 𝑎2n−1 𝑎= 𝑌 𝑘−1 𝑌𝑘+1 (8) Quest’ultima relazione permette di ottenere i parametri in tempo finito

𝑎 =−𝛾𝜁𝑒 𝜁 =0 χ =0 𝜏 =1 𝑎 += 𝑎 𝜁+=𝐴0𝜁+𝐵0χ χ+=𝑦 𝜏+=0 se ξ ∈ 𝐶 se ξ ∈ 𝐷 Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Osservatore ibrido Definizioni osservatore 𝑎 =−𝛾𝜁𝑒 𝜁 =0 χ =0 𝜏 =1 se ξ ∈ 𝐶 𝐶={ξ ∈ 𝑂:𝜏 ∈ [0,𝑇]} (9) 𝑎 += 𝑎 𝜁+=𝐴0𝜁+𝐵0χ χ+=𝑦 𝜏+=0 se ξ ∈ 𝐷 𝐷={ξ ∈ 𝑂:𝜏 ≥ 𝑇} (10)

Osservatore ibrido Determinazione n e T Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Osservatore ibrido Determinazione n e T Procedura che si basa su un lemma secondo il quale se il numero di frequenze stimate 𝑛 non è maggiore di quello reale, il rango della matrice 𝑌 𝑘 risulta pari a 2 𝑛 . Di conseguenza si sceglie 𝑛 come il più grande che minimizza la funzione Γ definita come segue: Γ(T, 𝑛 ) = |λmin ( 𝑌 𝑘’ 𝑌 𝑘)|-1 (11)

Osservatore ibrido Esempio n=3 Segnale non smorzato Segnale smorzato Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Osservatore ibrido Esempio n=3 Segnale non smorzato Segnale smorzato

Vega - Programma dell’agenzia spaziale europea (ESA) Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega - Programma dell’agenzia spaziale europea (ESA) - Lanciatore di satelliti alto 30 m, con 3 m di diametro e dal peso di 137t - Composto da quattro stadi, i primi tre con motori a propellente solido, l’ultimo con propellente liquido - 14 misurazioni ottenute tramite accelerometri posti lungo l’intera struttura per ottenere i modi di vibrare

Vega Segnale S1 Prefiltraggio Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Prefiltraggio

Vega Segnale S1 Analisi FFT: Periodgram Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Analisi FFT: Periodgram - Maggior contenuto frequenziale fino a valori tra i 10 ed i 20Hz (e prevalentemente fino ai 10Hz, come previsto a causa del prefiltraggio) - Picchi frequenti per frequenze fino ai 60Hz

Vega Segnale S1 Applicazione procedura Notch Filter Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Applicazione procedura Notch Filter - Trade-off tra dinamica in frequenza e dinamica nel tempo dovuto al valore del coefficiente di smorzamento ζ - Scelta dell’intervallo di osservazione [ωmin , ωmax] fondamentale per risultati coerenti

Vega Segnale S1 Applicazione procedura Notch Filter ζ = 2 ζ = 40 Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Applicazione procedura Notch Filter ζ = 2 - Trade-off tra dinamica in frequenza e dinamica nel tempo dovuto al valore del coefficiente di smorzamento ζ ζ = 10 ζ = 40

Vega Segnale S1 Applicazione procedura Notch Filter ωmax = 15Hz Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Applicazione procedura Notch Filter - Scelta dell’intervallo di osservazione [ωmin , ωmax] fondamentale per risultati coerenti ωmax = 15Hz ωmax = 60Hz

Vega Segnale S1 Frequenze risultanti Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Frequenze risultanti

Vega Segnale S1 Applicazione osservatore ibrido Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Applicazione osservatore ibrido - La valutazione di n non ha dato risultati di interesse a causa del ridotto numero di campioni a disposizione - Metodo applicato fissando il valore di n e scegliendo il tempo T ottimale tramite analisi della funzione Γ - Simulazioni differenti al variare di n e del guadagno dell’osservatore 𝛾

Vega Segnale S1 Applicazione osservatore ibrido n = 6 n = 9 n = 10 Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Applicazione osservatore ibrido n = 6 n = 9 n = 10

Vega Segnale S1 Applicazione osservatore ibrido n = 6 n = 9 n = 10 Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Applicazione osservatore ibrido n = 6 n = 9 n = 10

Vega Segnale S1 Applicazione osservatore ibrido n = 7 n = 8 n = 11 Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Vega Segnale S1 Applicazione osservatore ibrido n = 7 n = 8 n = 11

Conclusioni e sviluppi futuri Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Conclusioni e sviluppi futuri Conclusioni - E’ stata proposta una procedura che utilizza notch filter con buona robustezza e funzionante sotto ipotesi non molto restrittive - E’ stato studiato l’osservatore ibrido per la stima delle frequenze ed è stato esteso a segnali che presentano smorzamento, con buoni risultati nel caso ideale - I metodi proposti sono stati applicati ai segnali ottenuti dalle misurazioni del Vega

Conclusioni e sviluppi futuri Metodi di stima delle frequenze Fourier e Wavelet Pseudoderivata e Filtri Notch Osservatore ibrido Vega Conclusioni e sviluppi futuri Conclusioni e sviluppi futuri Sviluppi futuri - Possibilità di continuare lo studio sulla pseudoderivata, implementando un criterio di confronto similare a quello utilizzato nella procedura dei notch filter (tramite coefficiente di correlazione) - Implementazione del windowing al metodo che fa uso dei notch filter, al fine di valutare quando le frequenze si presentano nel tempo - Rendere più robusto l’osservatore ibrido