“BLAISE PASCAL”- Voghera- LICEO DELLE SCIENZE UMANE “BLAISE PASCAL”- Voghera- MATEMATICA IV

FUNZIONI ESPONENZIALI RICHIAMI SULLE POTENZE Il concetto di potenza, che inizialmente si introduce nel caso in cui l’esponente è un numero naturale, si può estendere prima agli esponenti interi negativi e poi agli esponenti razionali Potenze ad esponente intero negativo 𝑎 −𝑛 = 1 𝑎 𝑛 1 𝑎 −𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑏 −𝑛 = 𝑏 𝑎 𝑛 con a ∊ R ≠0, b ≠0 , n ∊ N Potenze ad esponente razionale 𝑎 − 𝑚 𝑛 = 1 𝑛 𝑎 𝑚 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑎 𝑚 con a ∊ R >0, m ∊ N, n ∊ N* E’ importante ricordare che nella definizione di potenza ad esponente razionale, la base deve essere un numero positivo

FUNZIONI ESPONENZIALI Potenze ad esponente irrazionale Un qualunque numero irrazionale pur non potendo essere espresso da una frazione, può essere approssimato sia per eccesso che per difetto mediante numeri razionali. Ciò consente di dare un significato alle potenze con base positiva ed esponente irrazionale La potenza 3 2 per esempio, ha significato se si considerano le potenze di 3 con esponenti razionali uguali ad approssimazioni della 2 Le approssimazioni razionali di 2 per esempio, rappresentate da numeri decimali con 1, 2, 3,… cifre decimali sono: 1,4= 14 10 < 2 <1,5= 15 10 1,41= 141 100 < 2 <1,42= 142 100 1,414= 1414 1000 < 2 <1,415= 1415 1000 … 3 1,4 e 3 1,5 sono approssimazioni per difetto e per eccesso di 3 2 cioè: 3 1,4 = 4,65…< 3 2 < 5,19…= 3 1,5 e, considerando approssimazioni migliori 3 1,41 e 3 1,42 si ha 3 1,41 =4,70…< 3 2 < 4,75… = 3 1,42 . Continuando con approssimazioni sempre migliori si possono determinare quante cifre dopo la virgola si vogliono ed individuare così il numero 3 2

FUNZIONI ESPONENZIALI In sintesi: una potenza con base positiva ha significato sia se l’esponente è un numero razionale che irrazionale e quindi, si può considerare una potenza con base positiva ed esponente reale qualsiasi Le proprietà delle potenze già viste il primo anno, valgono anche per le potenze ad esponente reale aα ∙ aβ = aα+β aα: aβ = aα-β (aα)β = a α∙ β aα ∙ bα = (a∙ b)α aα : bα = (a:b)α con b≠0

FUNZIONI ESPONENZIALI La funzione esponenziale costituisce il modello matematico di numerosi fenomeni di varia natura (fisici, chimici, biologici, economici…) nei quali al crescere indefinitamente, in valore assoluto della variabile indipendente x corrisponde un rapido aumento o un rapido avvicinarsi allo zero della variabile dipendente y . Si parla, rispettivamente di crescita esponenziale o di decadimento esponenziale Se a è un numero reale positivo, esiste per qualsiasi valore di x∊ R il numero a x ed è definita la funzione f: x→ a x di equazione y=a x Nel caso particolare di a=1 si ha y=1x = 1 che è l’equazione di una funzione costante per qualsiasi valore di x ∊ R ; escluso questo caso particolare, si ha che: y=a x con a>0 e a ≠ 1 è l’equazione della funzione esponenziale di base a Escludendo il caso a=1, relativamente ai valori della base a, possono presentarsi due casi: a>1 0<a<1

FUNZIONI ESPONENZIALI Consideriamo un caso particolare di funzione esponenziale con base a>1: y=2x e riportiamo nel piano cartesiano alcuni punti le cui coordinate sono riportate in tabella x y= 2x P (x; y) 20=1 A(0;1) 1 21=2 B(1;2) -1 2-1=1/2 C (-1;1/2) 2 22=4 D(2;4) -2 2-2=1/4 E(-2;1/4) Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione esponenziale con base a>1: la funzione è definita per tutti i valori dell’asse reale ( cioè per tutti i valori di x); la funzione è sempre positiva (cioè Il grafico sta tutto sopra l’asse x); per x=0 la funzione passa per il valore di ordinata y =1; la funzione è crescente (al crescere dei valori della x crescono anche i valori della y)

FUNZIONI ESPONENZIALI Consideriamo un caso particolare di funzione esponenziale con base 0<a<1: y= 1 2 𝑥 e riportiamo nel piano cartesiano alcuni punti le cui coordinate sono riportate in tabella x y= 𝟏 𝟐 𝐱 P (x; y) 1 2 0 =1 A(0;1) 1 1 2 1 = 1 2 B(1; 1 2 ) -1 1 2 −1 =2 C (-1;2) 2 1 2 2 = 1 4 D(2; 1 4 ) -2 1 2 −2 =4 E(-2;4) Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione esponenziale con base 0<a<1: la funzione è definita per tutti i valori dell’asse reale ( cioè per tutti i valori di x); la funzione è sempre positiva (cioè Il grafico sta tutto sopra l’asse x); per x=0 la funzione passa per il valore di ordinata y =1; la funzione è decrescente (al crescere dei valori della x decrescono i valori della y)

FUNZIONI ESPONENZIALI La funzione esponenziale più importante è quella che ha per base il numero irrazionale e, detto numero di Nepero e= 2,718281….. Poiché risulta e>1 la funzione esponenziale y= ex è crescente; Un’altra funzione molto utilizzata è y= e-x = 1 𝑒 𝑥 che è decrescente Definizione : si definisce equazione esponenziale un’equazione in cui l’incognita figura nell’esponente di almeno una potenza. La forma canonica è la seguente: 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑎>0 𝑒 𝑎≠1 →→ 𝑓 𝑥 =𝑔 𝑥 3 𝑥 = 1 27 → 3 𝑥 = 3 −3 →𝑥=−3 1 2 3𝑥+5 = 4 𝑥 → 2 −3𝑥−5 = 2 2𝑥 →−3𝑥−5=2𝑥→5𝑥=−5→𝑥=−1

FUNZIONI ESPONENZIALI Definizione : si definisce disequazione esponenziale una disequazione in cui l’incognita figura nell’esponente di almeno una potenza. Forme canoniche: 𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑎 𝑔(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑎>1 →→ 𝑓 𝑥 <𝑔 𝑥 5 𝑥 < 5 2 →𝑥<2 𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑎 𝑔(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑎>1 →→ 𝑓 𝑥 >𝑔 𝑥 2 𝑥 > 2 3 →𝑥>3 1 3 𝑥 < 1 3 2 ; 𝑥>2 𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑎 𝑔(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 0<𝑎<1 →→ 𝑓 𝑥 >𝑔 𝑥 1 4 𝑥 > 1 4 3 ; 𝑥<3 𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑎 𝑔(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 0<𝑎<1 →→ 𝑓 𝑥 <𝑔 𝑥

FUNZIONE LOGARITMICA Si definisce logaritmo in base a del numero b (detto argomento) e si scrive logab, l’esponente da attribuire alla base a per ottenere l’argomento: log 𝑎 𝑏 =𝑥 ↔ 𝑎 𝑥 =b 𝑐𝑜𝑛 𝑎>0 𝑒 ≠1;𝑏>0 In particolare: log 𝑎 1=0 𝑝𝑜𝑖𝑐ℎè 𝑎 0 =1 log 𝑎 𝑎=1 𝑝𝑜𝑖𝑐ℎè 𝑎 1 =𝑎 Si definisce logaritmo decimale il logaritmo in base 10 e si scrive: log 10 𝑥 o più semplicemente, sottintendendo la base, 𝐥𝐨𝐠 𝒙 Si definisce logaritmo naturale il logaritmo la cui base è il numero di Nepero e e si scrive log 𝑒 𝑥 o più frequentemente 𝐥𝐧 𝒙 Valgono le seguenti proprietà fondamentali: log 𝑎 𝑎 𝑐 =𝑐 𝑎 log 𝑎 𝑏 =𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑎>0 𝑒 ≠1;𝑏>0

FUNZIONE LOGARITMICA Il logaritmo del prodotto di due o più numeri positivi è la somma dei logaritmi dei singoli fattori log 𝑎 𝑏∙𝑐 = log 𝑎 𝑏+ log 𝑎 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎>0 𝑒 ≠1;𝑏>0;𝑐>0 Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è la differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore log 𝑎 𝑏 𝑐 = log 𝑎 𝑏− log 𝑎 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎>0 𝑒 ≠1;𝑏>0;𝑐>0 Il logaritmo della potenza di un numero positivo è il prodotto tra l’esponente e il logaritmo della base della potenza log 𝑎 𝑏 𝑐 =𝑐 log 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑎>0 𝑒 ≠1;𝑏>0;𝑐 ∈𝑅 Cambiamento di base log 𝑎 𝑏= log 𝑐 𝑏 log 𝑐 𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎>0 𝑒 ≠1;𝑏>0;𝑐>0 𝑒 ≠1

FUNZIONE LOGARITMICA La funzione logaritmica in base a : 𝑦= log 𝑎 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑎>0 𝑒 𝑎≠1 è la funzione inversa della funzione esponenziale di base a. Analogamente alla funzione esponenziale si presentano i due casi: a>1 e 0<a<1 Caso a>1 𝑦= log 2 𝑥 Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione logaritmica con base a>1 la funzione è: definita per tutti i valori positivi di x; x>0 sia positiva che negativa crescente Interseca l’asse x nel punto (0 ; 1) Non interseca mai l’asse y (l’asse y è asintoto verticale per valori di x vicini a 0)

FUNZIONE LOGARITMICA 𝑦= log 1 2 𝑥 Caso 0<a<1 Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione logaritmica con base 0<a<1 la funzione è: definita per tutti i valori positivi di x; x>0 sia positiva che negativa decrescente Interseca l’asse x nel punto (0 ; 1) Non interseca mai l’asse y (l’asse y è asintoto verticale per valori di x vicini allo 0) 𝑦= log 1 2 𝑥

FUNZIONE LOGARITMICA log 𝑎 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥) Si definisce equazione logaritmica un’equazione in cui l’incognita figura nell’ argomento di uno o più logaritmi. La forma canonica è la seguente: log 𝑎 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥) N.B: occorre verificare l’accettabilità delle soluzioni trovate. Sono accettabili tutti i valori che rendono gli argomenti dei logaritmi positivi Si definisce disequazione logaritmica un’equazione in cui l’incognita figura nell’ argomento di uno o più logaritmi. Forme canoniche sono le seguente: log 𝑎 𝑓 𝑥 < log 𝑎 𝑔(𝑥) log 𝑎 𝑓 𝑥 > log 𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓 𝑥 <𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 >𝑔(𝑥) Se la base a del log è a >1 log 𝑎 𝑓 𝑥 < log 𝑎 𝑔(𝑥) log 𝑎 𝑓 𝑥 > log 𝑎 𝑔(𝑥) → 𝑓 𝑥 >𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 <𝑔(𝑥) Se la base a del log è 0<a<1 N.B: al posto del simbolo < o > può figurare anche ≤ oppure ≥

La soluzione è 4<x<7 FUNZIONE LOGARITMICA ESEMPIO 1 2 log 5 𝑥=𝑙𝑜𝑔 𝑥+6 𝑥>0 𝑥+6>0 𝑥>0 𝑥>−6 𝑥>0 Condizioni di accettabilità log 5 𝑥 2 =𝑙𝑜𝑔 𝑥+6 𝑥 2 =𝑥+6 𝑥 2 −𝑥−6=0→ 𝑥 1,2 = 1± 1+24 2 = 1±5 2 → 𝑥 1 =−2; 𝑥 2 =3 L’unica soluzione ammessa è x=3 ESEMPIO 2 log 1 2 3𝑥+5 <1→ log 1 2 3𝑥+5 < log 1 2 1 2 → 3𝑥+5> 1 2 →6𝑥+10>1→6𝑥>−9 →𝑥>− 9 6 →𝑥>− 3 2 3𝑥+5>0→𝑥>− 5 3 è la condizione di accettabilità → La soluzione trovata 𝑥>− 3 2 è accettabile ESEMPIO 3 La soluzione è 4<x<7 log 3𝑥−1 > log 7−𝑥 → 3𝑥−1 >7−𝑥→2𝑥>8→𝑥>4 3𝑥−1>0 7−𝑥>0 → 𝑥> 1 3 𝑥<7 → 1 3 <𝑥<7 È la condizione di accettabilità

GONIOMETRIA Definizione: si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine. Definizione: si dice arco (di circonferenza) l’intersezione tra una circonferenza e un angolo al centro della circonferenza stessa. Definizione: Si definisce grado la 360° parte dell’angolo giro. Consideriamo un angolo al centro α di due circonferenze C e C1 di raggi r e r1. Detti l e l1 gli archi corrispondenti, si ha che 𝑙:𝑙1=𝑟:𝑟1 Si definisce radiante l’angolo al centro di una circonferenza che corrisponde ad un arco di lunghezza uguale al raggio Se g è la misura in gradi di un angolo e α la misura in radianti dello stesso angolo, si ha: 360°:2𝜋=𝑔:𝛼 da cui 𝑔= 360°∙𝛼 2𝜋 𝛼= 2𝜋∙𝑔 360°

GONIOMETRIA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA: è una circonferenza che ha origine nel centro degli assi cartesiani e raggio unitario e nella quale si assume come senso di rotazione positivo quello antiorario. A partire dalla circonferenza goniometrica si definiscono le funzioni principali: seno (indicato con senα); coseno (indicato con cosα) e tangente (indicato con tgα) senα= OQ=yP cosα= OR=xP tgα= TS=yT definita per α ≠ 𝜋 2 Dalla definizione data è evidente che le funzioni -1≤ senα ≤ 1 e -1 ≤cosα ≤ 1 mentre la funzione tgα può assumere un qualunque valore reale

GONIOMETRIA y= senα y= cosα y= tgα

Formule goniometriche GONIOMETRIA Formule goniometriche formule fondamentali Possono essere considerate un sistema di due equazioni . Se è noto il valore di una delle funzioni goniometriche , il sistema può essere risolto considerando come incognite i valori delle due restanti 𝑠𝑖𝑛 2 𝑎+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼=1 tan 𝛼= sin 𝛼 cos 𝛼 Si definisce cotangente dell’angolo α, e si indica con ctgα la funzione reciproca della tangente ctg 𝛼 = cos 𝛼 s𝑖𝑛 𝛼 = 1 tan 𝛼 Archi associati sin 3𝜋 2 +𝛼 =− cos 𝛼 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 2 +𝛼 = sin 𝛼 tan 3𝜋 2 +𝛼 = - ctg 𝛼 sin 𝜋+𝛼 = - sin 𝛼 cos 𝜋+𝛼 = - cos 𝛼 tan 𝜋+𝛼 = tan 𝛼 sin 𝜋 2 −𝛼 = cos 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 −𝛼 = sin 𝛼 tan 𝜋 2 −𝛼 = ctg 𝛼 sin 3𝜋 2 −𝛼 =− cos 𝛼 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 2 −𝛼 =− sin 𝛼 tan 3𝜋 2 −𝛼 = ctg 𝛼 sin 2𝜋−𝛼 = - sin 𝛼 cos 2𝜋−𝛼 = cos 𝛼 tan 2𝜋−𝛼 = tan 𝛼 sin 𝜋−𝛼 = sin 𝛼 cos 𝜋−𝛼 = - cos 𝛼 tan 𝜋−𝛼 = - tan 𝛼

Formule goniometriche GONIOMETRIA Formule goniometriche sin 𝛼+𝛽 = sin 𝛼∙ cos 𝛽+ cos 𝛼 ∙ sin 𝛽 cos 𝛼+𝛽 = cos 𝛼∙ cos 𝛽− sin 𝛼∙ sin 𝛽 tan 𝛼+𝛽 = tan 𝛼+ tan 𝛽 1− tan 𝛼∙ tan 𝛽 con α+β ,α, β, ≠ π 2 +k𝜋 Addizione sin 𝛼−𝛽 = sin 𝛼∙ cos 𝛽− cos 𝛼 ∙ sin 𝛽 cos 𝛼−𝛽 = cos 𝛼∙ cos 𝛽+ sin 𝛼∙ sin 𝛽 tan 𝛼−𝛽 = tan 𝛼− tan 𝛽 1+ tan 𝛼∙ tan 𝛽 con α-β ,α, β, ≠ π 2 +k𝜋 Sottrazione sin 2𝛼=2 sin 𝛼 cos 𝛼 cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼− 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 tan 2𝛼= 2 tan 𝛼 1− 𝑡𝑎𝑛 2 𝛼 con α ≠ π 2 +k𝜋 e ≠ 𝜋 4 +𝑘 𝜋 2 Duplicazione sin 𝛼 2 =± 1− cos 𝛼 2 cos 𝛼 2 =± 1+ cos 𝛼 2 tan 𝛼 2 =± 1− cos 𝛼 1+ cos 𝛼 con α ≠𝜋 +2k𝜋 Bisezione Parametriche sin 𝛼= 2𝑡 1+ 𝑡 2 cos 𝛼= 1− 𝑡 2 1+ 𝑡 2 Con t=tan 𝛼 2 𝑒 α ≠𝜋 +2k𝜋

TRIGONOMETRIA sin = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 E’ quella parte della matematica che si occupa di risolvere i triangoli Risolvere un triangolo significa determinare gli elementi incogniti quando siano noti tre elementi di cui almeno uno è un lato Considerando un triangolo rettangolo, valgono le relazioni seguenti: 𝑠𝑖𝑛𝛼= 𝑎 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑏 𝑐 tanα= 𝑎 𝑏 𝑠𝑖𝑛β= 𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑠β= 𝑎 𝑐 tanβ= 𝑏 𝑐 In generale si può dire che il seno, il coseno e la tangente di un dato angolo sono dati rispettivamente dalle relazioni : sin = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 cos = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 tan = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜

TRIGONOMETRIA In un triangolo qualsiasi valgono le seguenti relazioni e teoremi. Detti a, b, g, gli angoli opposti rispettivamente ai lati a, b, e c del triangolo L’area del triangolo A è data da: 𝐴= 1 2 𝑎∙𝑏∙𝑠𝑒𝑛𝛾= 1 2 𝑎∙𝑐∙𝑠𝑒𝑛𝛽= 1 2 𝑏∙𝑐∙𝑠𝑒𝑛𝛼 Teorema del coseno (o di Carnot) Teorema dei seni 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 −2𝑏∙𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐= 𝑎 2 + 𝑏 2 −2𝑏∙𝑎∙𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑏 2 = 𝑎 2 + 𝑐 2 −2𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾 𝑎 sin 𝛼 = 𝑏 sin 𝛽 = 𝑐 sin 𝛾

CALCOLO COMBINATORIO Permette di calcolare in quanti modi si possono combinare, seguendo certi criteri, gli elementi di un dato insieme. I possibili modi di raggruppare permettono di distinguere i raggruppamenti in permutazioni, disposizioni e combinazioni Permutazioni semplici: dati n elementi distinti, le permutazioni semplici Pn di questi elementi sono tutti i possibili raggruppamenti formati in modo che ognuno contenga tutti gli n elementi e differisca dagli altri per l’ordine secondo il quale gli n elementi si susseguono. Si calcola con la relazione: 𝑃 𝑛 =𝑛∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 ∙ …3∙2∙1=𝑛! 𝑖𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑛! è 𝑖𝑙 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛 𝑐ioè il prodotto di n numeri interi decrescenti a partire da n , 𝑠𝑖 ℎ𝑎 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒 0!=1!=1 La figura rappresenta le permutazioni di 3 elementi A, B, C. Sono possibili 6 raggruppamenti : 6 =3! = 3·2·1

CALCOLO COMBINATORIO Disposizioni semplici: dati n elementi distinti e un numero k≤ n, le disposizioni semplici Dn,k di n elementi di classe k, sono tutti i possibili raggruppamenti che si possono formare con gli elementi dati, in modo che ogni raggruppamento ne contenga k tutti distinti tra loro e che due raggruppamenti differiscano tra loro o per qualche elemento o per l’ordine secondo il quale gli elementi si susseguono 𝐷 𝑛,𝑘 =𝑛∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 ∙… 𝑛−𝑘+1 o anche, usando la forma fattoriale 𝐷 𝑛,𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 ! L’immagine rappresenta le disposizioni semplici di tre elementi, A, B e C presi 2 a 2, le coppie cerchiate corrispondono ad una scelta di disposizioni dalle quali le altre differiscono per l'ordine degli oggetti (come indicato dalle frecce). Applicando la relazione, essendo n = 3 e k= 2 si ha : 𝐷 𝑛,𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 ! = 3! (3−2)! = 3∙2∙1 1! =6

CALCOLO COMBINATORIO Combinazioni semplici: le combinazioni Cn,k di n elementi distinti, di classe k, con k≤n sono i sottoinsiemi di k elementi distinti di un dato insieme di n elementi 𝐶 𝑛,𝑘 = 𝐷 𝑛,𝑘 𝑃 𝑘 = 𝑛∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 ∙… 𝑛−𝑘+1 𝑘∙ 𝑘−1 ∙ 𝑘−2 ∙…3∙2∙1 O anche, usando la forma fattoriale 𝐶 𝑛,𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 !∙𝑘! Con riferimento alla figura, gli oggetti cerchiati corrispondono alle combinazioni semplici di 3 oggetti presi 2 a 2. Applicando la formula si ha : n=3; k=2 𝐶 𝑛,𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 !∙𝑘! = 3! 3−2 !∙2! = 3∙2∙1 1∙2∙1 =3