Equazioni differenziali - introduzione Pensiamo al seguente problema : Non conoscendo y=f(x) sappiamo che la sua derivata soddisfa la relazione: y’-2x=1 Vogliamo determinare la funzione incognita y=f(x) Isoliamo y’ y’=2x+1 Integriamo ambo i membri rispetto alla variabile x La funzione cercata é y=x2+x+c N.B. Non si tratta di una funzione ma di un’insieme di funzioni che si ottengono al variare di c

Equazioni differenziali - definizioni La relazione iniziale y’-2x=1 viene detta equazione differenziale L’incognita è la funzione y=f(x) Definizione di equazione differenziale del primo ordine: Si chiama equazione differenziale del primo ordine un’equazione del tipo F(x,y,y’)=0. Ognuna delle funzioni y=f(x) che soddisfano tale equazione si chiama soluzione integrale o integrale dell’equazione N.B. F(x,y,y’)=0 indica un’equazione differenziale in forma implicita Invece: y’=g(x,y) è un’equazione differenziale in forma normale o esplicita

Equazioni differenziali - definizioni Definizione di equazione differenziale del secondo ordine Si chiama equazione differenziale del secondo ordine un’equazione del tipo F(x,y,y’,y’’)=0. Risolvere o integrare un’equazione differenziale del secondo ordine significa ricercare tutte le funzioni incognite y=f(x) tali che F(x,f(x),f’(x),f’’(x))=0 Una equazione differenziale del secondo ordine è in forma normale se è nella forma y’’=F(x,y,y’)

Equazioni differenziali - definizioni Si chiama integrale generale di una equazione differenziale, l’insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell’equazione. Questo integrale generale è costituito dalla famiglia di funzioni y=f(x,c) La soluzione che si ottiene sostituendo a c un valore numerico ammissibile è detta integrale particolare Nell’esempio iniziale l’equazione differenziale y’-2x= -1 ha come integrale generale y=x2-x+c e come integrale particolare (ad esempio…) y=x2-x+1 Si può verificare se esse sono soluzione semplicemente sostituendo gli integrali nell’equazione.

Equazioni differenziali - Problema di Cauchy Il problema della determinazione di un integrale particolare di un’equazione differenziale del primo ordine passante per un punto (x0 ; y0) è detto Problema di Cauchy La condizione y0=f(x0) è detta condizione iniziale del problema di Cauchy Teorema di Cauchy Sia data l’equazione differenziale del primo ordine in forma normale y’=F(x,y) e sia F(x,y) una funzione continua in un insieme AR2 dotata di derivata parziale rispetto a y , anch’essa continua in A. Allora per ogni punto (x0,y0)  A esiste una e una sola soluzione y=f(x) tale che y0=f(x0) Il teorema di Cauchy fornisce condizioni per l’esistenza e l’unicità di soluzioni nel caso in cui l’equazione differenziale sia espressa in forma normale

Equazioni differenziali - Esempio Dal punto di vista geometrico significa che per ogni punto (x0,y0) del dominio passa una e una sola curva la cui equazione è soluzione dell’equazione differenziale Tornando all’esempio il problema di Cauchy ha un’ unica soluzione y=x2-x (in rosso nella figura)

Equazioni differenziali y’=F(x) Un’equazione differenziale del primo ordine riducibile al tipo y’=F(x) si risolve nel seguente modo : si isola la y’ si integrano ambo i membri rispetto ad x si determinano le funzioni primitive Es : Risolvere il problema di Cauchy

Equazioni differenziali y’=F(x) Es : Risolvere il problema di Cauchy si isola la y’ si determina l’integrale generale Ed infine si determina l’integrale particolare

Equazioni differenziali del 1° ordine a Variabili Separabili Una equazione differenziali del 1° ordine è detta a variabili separabili se può essere scritta nella forma y’=g(x)•h(y) con g(x) e h(y) funzioni continue e h(y)0 Soluzione : Si sostituisce a y’ dy/dx Si separano le variabili in modo da avere al primo membro la y e al secondo la x Si integrano ambo i membri Si trovano le primitive e si ricava la y in funzione di x

Equazioni differenziali del 1° ordine a Variabili Separabili Esempio : yy’=3

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Con a(x) e b(x) funzioni continue in un opportuno intervallo 1° Caso : Equazione differenziale omogenea È a variabili separabili quindi si pone Per y0

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Detta A(x) una qualsiasi primitiva di a(x) e c una costante arbitraria, si ottiene con kR Quindi da si ha con kR

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Esempio : y’=4xy con kR

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Esempio : y’=4xy Ricordando che la soluzione è con kR, e dove A(x) una qualsiasi primitiva di a(x)

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine 2° Caso: Si usa il metodo di Lagrange o metodo della variazione della costante arbitraria Si risolve l’equazione omogenea associata e si ottiene con kR si sostituisce nell’espressione precedente la costante k con una funzione incognita k(x) da determinarsi in modo che l’equazione sia soluzione della equazione differenziale di partenza Deriviamo quindi y

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Se l’equazione differenziale è nella forma: La sua soluzione generale è data dalla formula: dove A(x) una qualsiasi primitiva di a(x)

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Esempio: y’=-xy+x Applicando direttamente la formula risolutiva si ha :

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Esempio: y’=2xy-2x3 Considero l’omogenea associata y’=2xy la cui soluzione è

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Si risolve l’integrale per parti (ricordare che )

Equazioni differenziali lineari omogenee del 2° ordine a coefficienti costanti

Equazioni differenziali lineari del 2° ordine a coefficienti costanti Prima di tutto si trova la soluzione dell’equazione omogenea associata

La soluzione particolare dipende da f(x) Se a=0 NON è soluzione di l2+al+b=0 f(x)= Pn(x) Se a=0 è soluzione di l2+al+b=0 di moltelicità 1(cioè b=0 a≠0) f(x)= x∙Pn(x) Se a=0 è soluzione di l2+al+b=0 di molteplicità 2 (cioè b=0 a≠0) f(x)= x2∙Pn(x)

Se a+ib=0 NON è soluzione di l2+al+b=0 f(x)= eax(A(x)cosbx+B(x)sinb(x)) con A(x) e B(x)polinomi di grado non superiore al più grande fra i gradi di P(x) e Q(x) Se a+ib=0 è soluzione di l2+al+b=0 f(x)= x∙[eax(A(x)cosbx+B(x)sinb(x))] con A(x) e B(x)polinomi di grado non superiore al più grande fra i gradi di P(x) e Q(x)

Se f(x) = A∙eax

Come si calcola una soluzione particolare: Sintesi