POLIEDRI Francesca Benanti Dipartimento di Matematica ed Informatica   Dipartimento di Matematica ed Informatica Università degli Studi di Palermo, Via Archirafi 34, 90123 Palermo Tel: 09123891105 Email: fbenanti@math.unipa.it Web: http://math.unipa.it/~fbenanti/

Si comincia da una pizza... Poliedri: formula di Eulero Si comincia da una pizza... Cominciamo con un gioco: al centro c'è una figura geometrica, che due giocatori, affamati e muniti di coltello e forchetta, dovranno mangiare a triangolini come si fa con una pizza. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero Uno degli obiettivi della geometria del piano è lo studio delle proprietà delle figure piane racchiuse da segmenti, quali i triangoli, i quadrilateri ed i poligoni in genere. Analogamente, nella geometria dello spazio, si studiano in primo luogo le figure solide racchiuse da facce poligonali. Tali oggetti geometrici, che rappresentano l’equivalente tridimensionale dei poligoni, sono i poliedri. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero Un poliedro convesso, o semplicemente poliedro, è una figura solida con le seguenti caratteristiche:   La sua superficie è costituita dall’unione di poligoni disposti su piani diversi e tali che ogni loro lato sia comune soltanto a due di essi; Comunque presi due suoi punti il segmento che ha per estremi tali punti è contenuto interamente nel poliedro stesso. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero In un poliedro si distinguono i seguenti elementi essenziali: le facce, ovvero i poligoni che formano la superficie poliedrica, gli spigoli, ovvero i lati dei poligoni che costituiscono le facce, i vertici, ovvero i vertici dei poligoni che costituiscono le facce. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero E’ interessante notare che la relazione che lega, nel piano, il numero dei vertici v e il numero dei lati l di un poligono è molto semplice:   v=l ossia il numero dei vertici è uguale al numero dei lati.   LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero Il triangolo ha 3 vertici e 3 lati LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero Il quadrato ha 4 vertici e 4 lati LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero Il pentagono ha 5 vertici e 5 lati E così via…. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero La relazione che lega facce, spigoli e vertici di un poliedro non è facilmente intuibile. Proviamo a determinarla…. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero La relazione che lega facce, spigoli e vertici di un poliedro non è facilmente intuibile. Nel Cubo: f=6, v=8, s=12, dunque f+v-s=6+8-12=2. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero Nel Parallelepipedo rettangolo: f=6, v=8, s=12, dunque f+v-s=6+8-12=2. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero Nel Prisma retto a base esagonale: f=8, v=12, s=18, dunque f+v-s=8+12-18=2. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero Dunque f+v-s=2. Tale relazione, nota come relazione di Eulero, è in effetti valida in generale per tutti i poliedri. Fu indipendentemente dimostrata da Cartesio (1596-1650) e dal matematico svizzero Eulero (1707-1783) da cui prese il nome. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: formula di Eulero Relazione di Eulero: In ogni poliedro, indicati con f il numero delle facce, con s il numero degli spigoli e con v il numero dei vertici, si ha f+v-s=2 Fatti Vedere Sabato alle 2 Dimostrazione LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

è valida per qualsiasi solido? Poliedri: formula di Eulero La Relazione di Eulero è valida per qualsiasi solido? Esercizio LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

TOPOLOGIA Poliedri: formula di Eulero LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017

Poliedri: I Poliedri Regolari Un poliedro regolare è un poliedro le cui facce sono tutte poligoni regolari uguali fra loro e i cui angoloidi sono pure regolari ed uguali (ricordiamo che un angoloide è detto regolare quando ha le facce uguali tra loro e i diedri uguali tra loro). LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a. 2014-2015

Poliedri: I Poliedri Regolari Nel piano esistono infiniti poligoni regolari per ogni n3 esiste sempre un poligono regolare di n lati: per n=3 è il triangolo equilatero, per n=4 è il quadrato, per n=5 è il pentagono regolare e così via LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a. 2014-2015

Poliedri: I Poliedri Regolari I Solidi Platonici sono solo 5: TETRAEDRO, ESAEDRO, OTTAEDRO, DODECAEDRO, ICOSAEDRO LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a. 2014-2015

Poliedri: I Poliedri Regolari Attività 1 Risposta 1 PERCHE’ SOLO 5? Risposta 2 LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a. 2014-2015

Poliedri: I Poliedri Regolari testo 1 Un po’ di storia Video 5 LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a. 2014-2015

Poliedri: I Poliedri Regolari Sviluppi Piani: Tetraedro, Esaedro, ottaedro, dodecaedro, icosaedro LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a. 2014-2015

Poliedri: I Poliedri Regolari DUALITA’ spigoli vertici facce NOME DEL POLIEDRO 6 4 Tetraedro 12 8 Ottaedro 30 20 Icosaedro Cubo Dodecaedro LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a. 2014-2015

Poliedri: I Poliedri Regolari Video 1 LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a. 2014-2015