Liceo delle Scienze Umane «BLAISE PASCAL» Voghera MATEMATICA I

L’INSIEME «N» DEI NUMERI NATURALI Operazioni e proprietà’ OPERAZIONE NOME DEI TERMINI RISULTATO PROPRIETA’ Addizione a + b a e b addendi somma Commutativa: a + b= b +a Associativa: (a + b)+c = a+ ( b + c) Elemento neutro: a+0=0+a=a Sottrazione a-b con a ≥ b a minuendo b sottraendo Differenza Invariantiva: a-b= ( a +c) -(b + c) a-b =(a-c)-(b-c) Due o più sottrazioni consecutive vanno eseguite nell’ordine in cui sono indicate moltiplicazione a ∙ b fattori Prodotto Commutativa: a ∙ b=b ∙ a Associativa : (a ∙ b) ∙ c=a ∙( b ∙ c ) Distributiva: a∙(b + c)=a ∙ b+ a ∙ c Elemento neutro: a ∙ 1 = 1 ∙ a = a Elemento annullatore: a ∙ 0 = 0 ∙ a =0 Legge di annullamento del prodotto: se a ∙ b=0 allora a =0 oppure b=0 Divisione esatta a:b con b≠0 a è multiplo di b ; b è un divisore di a a dividendo b divisore quoziente esatto (quoto) Invariantiva: a : b= (a ∙ c) : (b ∙ c ) a : b =(a : c) : ( b : c ) Distributiva: (b + c) : a=b : a + c : a (b -c) : a=b : a-c : a Due o più divisioni consecutive vanno eseguite nell’ordine in cui sono indicate

Operazioni e proprietà L’INSIEME «N» DEI NUMERI NATURALI Operazioni e proprietà Si definisce POTENZA di base a ed esponente n e si scrive an il prodotto di n fattori tutti uguali ad a ed inoltre a0=1 ( con a≠0) an= a ∙ a ∙a ∙………∙a Proprietà n - volte an ∙ am = an + m an : am = an-m con a≠0 n>=m an ∙ bn = (a∙ b)n an : bn = (a:b)n con b≠0 ( an)m = a n∙ m

L’INSIEME «Z» DEI NUMERI INTERI RELATIVI Operazioni e proprietà Numero intero relativo: è un numero naturale preceduto dal segno + o – Numeri concordi : sono numeri che hanno lo stesso segno Numeri discordi: sono numeri che hanno segno opposto Valore assoluto o modulo: è il numero stesso privato del segno Numeri opposti: sono due numeri con lo stesso valore assoluto ma segno opposto ADDIZIONE: la somma di due numeri relativi concordi è il numero relativo che ha per segno lo stesso segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei valori assoluti La somma di due numeri relativi discordi è il numero relativo che ha per segno il segno dell’addendo che ha il maggiore valore assoluto e per valore assoluto la differenza tra gli addendi La somma di due numeri opposi è 0

L’INSIEME «Z» DEI NUMERI INTERI RELATIVI Operazioni e proprietà SOTTRAZIONE: la differenza è la somma del minuendo con l’opposto del sottraendo Dal momento che la sottrazione è ricondotta ad una addizione, con i numeri con segno si può parlare di SOMMA ALGEBRICA MOLTIPLICAZIONE: il prodotto di due numeri relativi è il numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e per segno, il segno + se i fattori sono concordi, il segno - se i fattori sono discordi Il prodotto di tre o più numeri è il numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei fattori e per segno il + se il numero dei fattori negativi è pari, il segno – se il numero dei fattori negativi è dispari DIVISIONE: Il quoto di due numeri relativi, di cui il secondo ≠ 0 è il numero relativo, che ha per valore assoluto il quoto della divisione tra i valori assoluti del dividendo e del divisore e per segno, il segno + se i numeri sono concordi, il segno – se sono discordi

L’INSIEME «Z» DEI NUMERI INTERI RELATIVI Operazioni e proprietà Per calcolare la POTENZA di un numero intero relativo si calcola la potenza del valore assoluto e si determina il segno secondo il seguente schema: Base positiva potenza positiva Base negativa, esponente pari potenza positiva Base negativa, esponente dispari potenza negativa NOTA: Le proprietà viste in N, per le varie operazioni, sono conservate in Z. L’insieme Z contiene l’insieme N

L’INSIEME «Q» DEI NUMERI RAZIONALI Operazioni e proprietà Frazione: è un’espressione del tipo 𝑛 𝑑 che indica il risultato della divisione tra i numeri interi relativi n e d con d≠0 n è il numeratore e d è il denominatore Frazioni equivalenti: sono frazioni che rappresentano lo stesso quoziente 2 6 = 1 3 = 3 9 =… Frazioni ridotte: sono frazioni in cui n e d non hanno divisori comuni, sono primi fra loro Frazione reciproca (di una data frazione): è la frazione che si ottiene scambiando tra loro il numeratore con il denominatore; la reciproca di 𝑛 𝑑 è 𝑑 𝑛 con n e d ≠0 Riduzione al minimo comun denominatore: significa scrivere altrettante frazioni, ad esse equivalenti, ad uno stesso comun denominatore. Occorre: Ridurre le frazioni ai minimi termini se necessario Calcolare il mcm dei denominatori Moltiplicare il numeratore di ciascuna frazione per il quoto tra il mcm trovato e il corrispondente denominatore

Operazioni e proprietà L’INSIEME «Q» dei NUMERI RAZIONALI Operazioni e proprietà ADDIZIONE: la somma di due frazioni con lo stesso denominatore è a frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma algebrica dei numeratori. In generale per sommare due o più frazioni è necessario prima ridurle allo stesso denominatore ( il minimo comune multiplo tra i denominatori) SOTTRAZIONE: la differenza tra due frazioni è la somma della prima con l’opposta della seconda MOLTIPLICAZIONE: il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Per eseguire la moltiplicazione è opportuno, prima, ridurre le frazioni e, se possibile, semplificare in croce dividendo per uno stesso divisore comune i numeratori e i denominatori. DIVISIONE: il quoto di due frazioni ( la seconda ≠ 0) è il prodotto della prima per la reciproca della seconda

Operazioni e proprietà L’INSIEME «Q» dei NUMERI RAZIONALI Operazioni e proprietà La POTENZA di una frazione è una frazione che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore; per i segni valgono le regole viste in Z. Se m, n sono numeri naturali con n≠0; d è un numero dispari p è un numero pari 𝑚 𝑛 𝑞 = 𝑚 𝑞 𝑛 𝑞 − 𝑚 𝑛 𝑑 = - 𝑚 𝑑 𝑛 𝑑 − 𝑚 𝑛 𝑝 = + 𝑚 𝑝 𝑛 𝑝 La potenza di una frazione ad esponente negativo è una potenza avente per base la frazione reciproca della frazione di partenza e per esponente l’opposto dell’esponente di partenza 𝑝 𝑞 −𝑛 = 𝑞 𝑛 𝑝 𝑛 p e q ≠ 0 NOTE: sono conservate in Q tutte le proprietà delle operazioni. L’insieme Q contiene l’insieme Z

CALCOLO LETTERALE Monomi monomio: è un’espressione letterale in cui figurano soltanto operazioni di moltiplicazione. E’ in forma normale se è espresso come prodotto di un numero (coefficiente) per potenze di lettere diverse (parte letterale) Esempio: l’espressione -3ab è un monomio, 3 è il coefficiente, ab è la parte letterale. Monomio nullo: se il coefficiente è 0 Monomi simili: se, sono diversi dal monomio nullo e se, ridotti a forma normale, hanno la stessa parte letterale. Monomi opposti: hanno coefficienti opposti e parti letterali uguali Grado complessivo di un monomio: è la somma degli esponenti delle lettere Grado rispetto ad una lettera: è l’esponente con il quale quella lettera figura nel monomio, ridotto a forma normale Monomio di grado 0: se il monomio ha solo il coefficiente  

Operazioni con i monomi CALCOLO LETTERALE Operazioni con i monomi ADDIZIONE: la somma tra monomi non simili non si può eseguire, si lascia indicata, è un polinomio La somma tra monomi simili è un monomio simile ai dati che ha per coefficiente la somma dei coefficienti MOLTIPLICAZIONE: il prodotto tra monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto tra i coefficienti e per parte letterale quella che si ottiene indicando tutte le lettere che compaiono, ciascuna con un esponente pari alla somma degli esponenti nei singoli monomi fattori DIVISIONE: il quoziente tra due monomi è un monomio in cui il coefficiente è il quoziente tra i coefficiente e la parte letterale è quella che si ottiene indicando tutte le lettere del monomio dividendo ciascuna elevata ad un esponente pari alla differenza tra gli esponenti del dividendo e del divisore POTENZA: di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente del monomio di partenza e per parte letterale quella in cui ciascuna lettera del monomio (base della potenza) ha per esponente il prodotto tra gli esponenti ( esponente lettera monomio base x esponente della potenza)

CALCOLO LETTERALE Polinomi Polinomio: è la somma di più monomi Polinomio ridotto: se è formato da monomi diversi Termine noto: è il termine di grado zero Grado di un polinomio: è il maggiore tra i gradi dei suoi monomi Polinomio omogeneo: se formato da monomi dello stesso grado Polinomio ordinato: è un polinomio in cui i termini sono scritti in modo che le potenze di una data lettera si susseguono crescendo o decrescendo Polinomio completo: se compaiono tutte le potenze di una data lettera  

CALCOLO LETTERALE Polinomi ADDIZIONE: La somma tra due o più polinomi si indica scrivendo di seguito i vari polinomi e procedendo poi alla riduzione dei termini simili MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO: il prodotto è il polinomio che si ottiene moltiplicando il monomio per tutti i termini (monomi) del polinomio DIVISIONE TRA UN POLINOMIO E UN MONOMIO: il quoziente si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio divisore MOLTIPLICAZIONE DI POLINOMI: il prodotto si ottiene moltiplicando ciascun termine del polinomio per tutti i termini dell’altro

EQUAZIONI e DISEQUAZIONI Definizione di equazione EQUAZIONE: è un’ uguaglianza tra due espressioni algebriche contenente una o più lettere ; Le lettere possono essere: Incognite : rappresentano numeri non ancora determinati, di solito sono indicate con x, y, z… deve sempre esserci almeno una incognita Parametri : rappresentano numeri noti il cui valore non è specificato , di solito sono indicate con a, b, c… possono anche non essere presenti Sono CLASSIFICATE : Intere: l’incognita non compare al denominatore Frazionarie: l’incognita compare al denominatore Numeriche : non compaiono altre lettere oltre alla incognita Letterale : oltre all’incognita compare almeno un parametro PRIMO E SECONDO MEMBRO: sono le espressioni che compaiono rispettivamente a sinistra e a destra del simbolo di uguaglianza SOLUZIONI: sono quei numeri che sostituiti all’incognita rendono il primo membro uguale al secondo. Rispetto alle soluzioni una equazione può essere: Determinata : se ha un numero finito di soluzioni Indeterminata: se ha infinite soluzioni Impossibile : se non ha soluzioni

EQUAZIONI e DISEQUAZIONI Principi di equivalenza EQUAZIONI EQUIVALENTI: sono equazioni con lo stesso insieme di soluzioni PRIMO PRINCIPIO: aggiungendo o togliendo ad entrambi i membri di una equazione la stessa quantità si ottiene una equazione equivalente alla data: 𝐴=𝐵→𝐴+𝐶=𝐵+𝐶 𝐴=𝐵→𝐴−𝐶=𝐵−𝐶 Conseguenze: è possibile trasportare un termine da un membro all’altro cambiandogli il segno è possibile eliminare termini uguali da parti opposte dell’uguale SECONDO PRINCIPIO: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per una stessa quantità ≠0 si ottiene una equazione equivalente alla data 𝐴=𝐵→𝐴∙𝐶=𝐵·𝐶 con C≠0 𝐴=𝐵→𝐴:𝐶=𝐵:𝐶 con C≠ 0 tra Conseguenze: se tutti i termini della equazione sono tutti multipli di uno stesso numero, si può dividere per quel numero è possibile cambiare il segno di entrambi i membri, perché equivale a moltiplicare per -1 è possibile ridurre entrambi i membri ad uno stesso denominatore e poi eliminarlo

Definizione di disequazione EQUAZIONI e DISEQUAZIONI Definizione di disequazione DISEQUAZIONE: è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche contenente una o più lettere ; Le lettere possono essere: Incognite : rappresentano numeri non ancora determinati, di solito sono indicate con x, y, z… deve sempre esserci almeno una incognita Parametri : rappresentano numeri noti il cui valore non è specificato , di solito sono indicate con a, b, c… possono anche non essere presenti Sono CLASSIFICATE : Intere: l’incognita non compare al denominatore Frazionarie: l’incognita compare al denominatore Numeriche : non compaiono altre lettere oltre alla incognita Letterale : oltre all’incognita compare almeno un parametro PRIMO E SECONDO MEMBRO: sono le espressioni che compaiono rispettivamente a sinistra e a destra del simbolo di disuguaglianza (<; >; ≥; ≤ ) SOLUZIONI: sono quei numeri che sostituiti all’incognita rendono la disuguaglianza vera.

DISEQUAZIONI Principi di equivalenza DISEQUAZIONI EQUIVALENTI: sono equazioni con lo stesso insieme di soluzioni PRIMO PRINCIPIO: aggiungendo o togliendo ad entrambi i membri di una disequazione la stessa quantità si ottiene una disequazione equivalente alla data: 𝐴>𝐵→𝐴+𝐶>𝐵+𝐶 𝐴>𝐵→𝐴−𝐶>𝐵−𝐶 SECONDO PRINCIPIO: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per una stessa quantità >0 si ottiene una disequazione equivalente alla data 𝐴>𝐵→𝐴∙𝐶>𝐵·𝐶 con C>0 𝐴>𝐵→𝐴:𝐶>𝐵:𝐶 con C> 0 tra TERZO PRINCIPIO: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per una stessa quantità <0 e cambiando il verso della disuguaglianza si ottiene una disequazione equivalente alla data 𝐴>𝐵→𝐴∙𝐶<𝐵·𝐶 con C<0 𝐴>𝐵→𝐴:𝐶<𝐵:𝐶 con C< 0

STATISTICA STATISTICA : è lo studio dei fenomeni collettivi UNITA’ STATISTICA: ciascuno dei soggetti su cui è svolta l’indagine statistica. Di ciascuna unità statistica vengono considerati uno o più caratteri, che si possono presentare in diverse modalità POPOLAZIONE: l’insieme delle unità statistiche FREQUENZA ASSOLUTA di una modalità: è il numero di unità statistiche per cui il carattere si presenta con quella modalità FREQUENZA RELATIVA di una modalità: è il rapporto tra la sua frequenza assoluta e il numero di unità statistiche della popolazione .

STATISTICA Le Medie MEDIA ARITMETICA di n numeri: x1, x2, x3,……xn è MEDIA ARITMETICA PONDERATA di n numeri: x1, x2, x3,……xn a cui sono associati i pesi p1, p2, p3,….pn è 𝑀= 𝑝1∙𝑥1+𝑝2𝑥2+𝑝3𝑥3+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 𝑝1+𝑝2+𝑝3+ ….𝑝𝑛 MEDIA GEOMETRICA di n numeri positivi x1, x2, x3,……xn è MG = 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 ∙ 𝑥 3 ∙… 𝑥 𝑛 MEDIA ARMONICA di n numeri: : x1, x2, x3,……xn è MA= 𝑛 1 𝑥 1 + 1 𝑥 2 + 1 𝑥 3 + ……..+ 1 𝑥 𝑛

STATISTICA Indici MODA: di un insieme di dati è il dato che si presenta con la frequenza maggiore MEDIANA di un insieme di dati numerici posti in ordine non crescente è : il valore centrale, se il numero di dati è dispari la media aritmetica dei due valori centrali, se il numero di dati è pari VARIANZA di n numeri x1, x2, x3,……xn è la media aritmetica dei loro scarti dalla media 𝜎 2 = 𝑥 1 −𝑀 2+ 𝑥 2 −𝑀 2 +…+ 𝑥 𝑛 −𝑀 2 𝑛 SCARTO QUADRATICO MEDIO: è la radice quadrata della varianza: 𝑠= 𝜎 2 = 𝑥 1 −𝑀 2+ 𝑥 2 −𝑀 2 +…+ 𝑥 𝑛 −𝑀 2 𝑛

Teoremi di Euclide e Pitagora GEOMETRIA Teoremi di Euclide e Pitagora I teorema di Euclide :in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente ad un rettangolo che ha per basi l’ipotenusa e per altezza la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa : 𝐴𝐵 2 =𝐴𝐶∙𝐴𝐽 𝐵𝐶2=𝐴𝐶∙𝐽𝐶 II teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ altezza relativa all’ipotenusa è equivalente ad un rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa: BH2= CH·HA Teorema di Pitagora: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2