Dinamica dei portatori Dinamica sotto un campo esterno Gradienti di concentrazione Ricombinazione di coppie Eccitazione di coppie Eq del moto In approssimazione quadratica per E In un semiconduttore perfetto gli elettroni si muovono attraverso il potenziale periodico senza scattering. Ma imperfezioni e impurezze possono essere causa di scattering. Impurezze → droganti (p n) o inintenzionali Fononi → vibrazioni reticolari Leghe → Fluttuazioni nel potenziale Rugosità di superficie → Interfacce In ogni urto il portatore perde memoria dello stato precedente all’urto e quindi riparte con un k qualsiasi Il tempo medio tra due urti è tsc LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2015/16 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Scattering rate Impurezze → droganti o inintenzionali I diversi processi di scattering sono scorrelati tra loro. Il rate totale è la somma dei rate dei singoli processi Impurezze → droganti o inintenzionali Fononi → vibrazioni reticolari Leghe → Fluttuazioni nel potenziale Rugosità di superficie → Interfacce Lo scattering dovuto alle impurenze diminuisce con la temperatura Lo scattering dovuto al reticolo aumenta con la temperatura Quando un cristallo è soggetto ad un campo elettrico le cariche si muovono nella direzione del campo (gli elettroni nella direzione opposta). Se ci sono stati a k superiore la distribuzione si sposta nel verso del campo. Ma, a causa dello scattering, si ha una velocità di drift vd costante nella direzione del campo Il trattamento completo del problema richiede di risolvere una eq. differenziale per la funzione di distribuzione per gli elettroni. Eq. del trasporto di Boltzmann Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Relazione velocità - campo Risposta a campo debole Elettroni indipendenti Scattering da varie sorgenti con tempo medio tra due collisioni tsc Tra due collisioni l'elettrone si muove in accordo all'eq dell'elettrone libero Dopo ogni collisione l'elettrone perde tutta l'energia in eccesso → il gas di elettroni è in equilibrio termico. La velocità è quindi nulla. Nel tempo tsc l'elettrone guadagna velocità fino a ( ) Mobilità (cm2/Vs) Elettr Buche C 800 1200 Ge 3900 1900 Si 1500 450 GaAs 8500 400 InAs 33000 460 Per elettroni e buche Forte dipendenza da massa efficace (anche attraverso t) Nei semicond drogati t diminuisce → anche m Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Hall Effect Un metodo per misurare la densità di portatori (oltre che determinarne il segno) è fornito dall’effetto Hall All’equilibrio abbiamo che: Il segno del campo trasversale mi dà il segno dei portatori, le intensità dei campi applicati e misurati la densità di portatori Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Relazione velocità - campo Risposta a campo forte (F ~ 1 ÷100 kV/cm) E' il caso di molti dispositivi (FET) Rate di scattering molto aumentato. tsc e m diminuiscono La risposta dei portatori è rappresentata da una relazione velocità - campo Si E0V/cm g e 7x103 2 h 2x104 1 A forti campi la velocità satura ad un valore di vs~107cm/s To understand this phenomenon, consider the simple two-valley model of n-type Gallium Arsenide I portatori saturano ad una certa velocità vs ma poi cominciano a passare nella seconda valle dove la mobilità è minore (massa efficace + grande) La mobilità media diminuisce Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Fenomeni di “rottura” (breakdown) Per campi elettrici estremamente alti (≥ 100 kV/cm) Avvengono fenomeni di “rottura” in cui la corrente produce una “scarica” Questo avviene per moltiplicazione dei portatori; il numero di portatori aumenta progressivamente. Un elettrone “caldo” ovvero con energia molto alta in banda di conduzione interagisce con un elettrone in banda di valenza cedendogli energia e portandolo in banda di conduzione. Il bilancio è che da un unico portatore in banda di conduzione si termina con due elettroni in banda di conduzione ed una buca in valenza (Valanga) Si definisce campo critico di rottura il valore per cui il rate è 1 mm-1 Bandgap (eV) Campo critico (V/m) SiO2 9 107 C 5.5 GaAs 1.43 4x105 Si 1.1 3x105 Ge 0.664 105 Rate di impatto di portatori Dipende fortemente dalla gap (minima energia necessaria) Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Tunnel banda-banda. Zener L'elettrone vede una barriera di potenziale triangolare alta Eg e larga d=Eg/eF La probabilità di tunneling (per E=0) attraverso uno spessore dx è data dal quadrato della funzione d’onda Trascurando le riflessioni e considerando la sequenza di barriere di spessore dx e altezza decrescente Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Trasporto per diffusione di portatori Gradiente di concentrazione di particelle → diffusione da zona a maggiore concentrazione a quella di minore. Moto casuale delle particelle In tale moto sono soggette a processi di collisione Cammino libero medio l, tempo medio di collisione tsc Sia n(x,t) il profilo di concentrazione di elettroni f(x,t) il flusso di elettroni attraverso un piano x=x0 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Trasporto per diffusione di portatori Dn coeff di diffusione → dipende da l , tsc ma anche, indirettamente, da T. In media vettorialmente nulla ma in modulo non nulla. Con la diffusione avviene anche trasporto di corrente NB: il diverso segno dei due termini Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Trasporto di portatori Le cariche si muovono per l'effetto combinato di diffusione e campo esterno. All'equilibrio le due correnti totali devono essere individualmente nulle. @RT Dn (cm2/s) Dp (cm2/s) mn (cm2/Vs) mp (cm2/Vs) Ge 100 50 3900 1900 Si 35 12.5 1350 480 GaAs 220 10 8500 400 Possiamo esprimere n(x) in funzione di EF(x) = 0 Equipartizione dell’energia 1/2KT=Ecin unidim Relazione di Einstein Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Iniezione di carica - Livelli quasi-Fermi In condizioni di equilibrio abbiamo una funzione di distribuzione di elettroni (Fermi) tra i vari livelli permessi. Non c'è flusso netto di energia esterna né di particelle. Ma, ad esempio, fotoni possono rilasciare energia o una batteria cariche. Dobbiamo trovare il modo di rappresentare questi fenomeni. Anche se non in equilibrio complessivo, possiamo assumere che separatamente in banda di conduzione e di valenza ci sia una certa forma di equilibrio. Quasi-equilibrio Definiamo una funzione di Fermi per elettroni (conduzione) ed una per buche (valenza) con differenti EF . Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Generazione e ricombinazione di portatore In condizioni di equilibrio termico, alcuni elettroni vengono eccitati (generazione termica) Gth in banda di conduzione mentre altrettanti si rilassano (ricombinazione) Rth in banda di valenza. Il rate di ricombinazione sarà proporzionale al numero di elettroni e di buche disponibili All’equilibrio Gth=Rth=bn0p0 Altri meccanismi di generazione (ottica) e di ricombinazione (sia ottica che con difetti) sono possibili e importanti. Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Generazione e ricombinazione ottica di portatori Assorbimento ed emissione di luce Transizioni banda-banda. Conservazione dell'energia ~ 0.5 ÷ 5 eV Conservazione del momento ~ 2.5x10-4 ÷ 2.5x10-3 Å-1 (~ 10 Å-1 ) → transizioni verticali TRANSIZIONE DIRETTA fotone ↔ elettrone eccitato TRANSIZIONE INDIRETTA fotone ↔ elettrone eccitato + fonone Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Generazione e ricombinazione di portatori Se non c'è assorbimento l'onda si propaga senza attenuazione con velocità c/nr Se c'è assorbimento l'intensità, energia per unità di area nell’unità di tempo ovvero flusso di fotoni di energia ħw, decade come In funzione della densità di potenza ottica che cade sul semiconduttore, il flusso di fotoni è Il rate di generazione ottica GL è allora Il rate netto per i portatori minoritari dp (in un semicond drogato n) è allora Processi radiativi Gth=Rth=bn0p0 Gap diretta tr ~ 1 ns, Gap indiretta tr ~ 1÷0,1 ms Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Generazione e ricombinazione di portatori Semiconduttore tipo-n Gth=Rth=bn0p0 Rate di generazione è indipendente dalla popolazione Rate di ricombinazione è dominato dalla concentrazione di portatori minoritari Gap diretta tr ~ 1 ns, Gap indiretta tr ~ 1÷0,1 ms Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Ricombinazione nonradiativa Impurezze e difetti creano livelli nella gap tra le bande Trappole profonde Portatori possono essere intrappolati se passano entro un'area s dal difetto Sezione d'urto di cattura Così può avvenire ricombinazione nonradiativa in competizione con quella radiativa. (numero trap/unità di tempo) La probabilità di incontrare una trappola è: Shockley-Read-Hall Nell'assunzione: Livelli di trappola a mezza gap Condizione di iniezione di portatori np>>ni2 n≈n0 3 ÷ 30 Å La sezione d'urto tipica è dell'ordine s ~ 10-13 ÷ 10-15 cm2 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Ricombinazione nonradiativa Impurezze e difetti creano livelli nella gap tra le bande Trappole profonde Portatori possono essere intrappolati se passano entro un'area s dal difetto Sezione d'urto di cattura Così può avvenire ricombinazione nonradiativa in competizione con quella radiativa. (Ra=Rb all’eq. termico) Fuori dell’equilibrio termico (iniezione di portatori) Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Equazione di continuità Nel trattare il processo di trasporto di carica occorre tenere conto dei processi di ricombinazione e generazione Il bilancio dei processi deve portare alla conservazione delle particelle. In un volume fissato, il rate di flusso di particelle è determinato da flusso dovuto alla corrente, la perdita di particelle per ricombinazione ed il guadagno da generazione. Il rate di ricombinazione nel volume A dx Il rate di flusso di corrente Jn Il rate di generazione Eq. continuità Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Trasporto per diffusione Consideriamo solo processi di diffusione in assenza di generazione. (e.g. diodo p-n) Il profilo di carica in un diodo p-n in stato stazionario Ln2=Dn tn Lunghezza di diffusione Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis

Trasporto per diffusione con iniezione esterna In x=0 iniettiamo una densità di elettroni in eccesso dn(0) A x=L la densità sia dn(L) Combinazione lineare delle due soluzioni L >>Ln ; dn(L)=0 L<< Ln Sviluppiamo al primo ordine Ln distanza media percorsa da un elettrone prima di ricombinarsi Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis