Gli integrali definiti Il calcolo delle aree La funzione integrale Se 𝑓(𝑥) è una funzione continua in un intervallo [𝑎,𝑏], possiamo valutare l’integrale definito della funzione 𝑓 tra 𝑎 e un punto 𝑥 variabile in [𝑎,𝑏]. In questo modo: 𝐹 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 diventa una funzione che rappresenta l’area del trapezoide tra 𝑎 e 𝑥. A questa funzione si dà il nome di funzione integrale.

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree Il teorema fondamentale del calcolo integrale La funzione integrale gode di un’importante proprietà: la sua derivata coincide con la funzione 𝑓 𝐹 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 → 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 ∀𝑥∈[𝑎,𝑏] Di conseguenza, la funzione integrale 𝐹 𝑥 diventa un primitiva della funzione 𝑓 𝑥 .

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree Il teorema fondamentale del calcolo integrale ci dà un modo per calcolare un integrale definito. Indicata con 𝜑(𝑥) una generica primitiva della funzione 𝑓(𝑥), si ha che: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =[𝜑 𝑏 −𝜑(𝑎)] Questa relazione prende il nome di formula di Newton-Leibniz.

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree ESEMPI 1. Calcoliamo 1 2 𝑥 2 −1 𝑑𝑥 Troviamo una primitiva 𝜑 della funzione 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −1: 𝑥 2 −1 𝑑𝑥= 𝑥 2 3 −𝑥+𝑐 𝜑 2 = 8 3 −2+𝑐 𝜑 1 = 1 3 −1+𝑐 quindi 𝜑 3 −𝜑 1 = 4 3 In definitiva: Poiché la costante c è ininfluente per il calcolo dell’integrale, possiamo ometterla nella scrittura della primitiva. 2. Calcoliamo 0 𝜋 sin 𝑥 − cos 𝑥 𝑑𝑥

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree Il calcolo di un’area Se 𝑓(𝑥) è positiva o nulla: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Se 𝑓(𝑥) è negativa o nulla: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅=− 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Se 𝑓(𝑥) non è sempre positiva o nulla: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅= (somma degli integrali definiti di 𝑓 negli intervalli in cui 𝑓 è positiva o nulla) – (somma degli integrali definiti di 𝑓 negli intervalli in cui 𝑓 è negativa o nulla) Nel caso della figura: 𝑅= 𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥− 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑑 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree ESEMPIO Troviamo l’area della regione di piano delimitata dalla parabola di equazione 𝑦= 𝑥 2 −4𝑥+3 nell’intervallo [0, 4]. La parabola interseca l’asse delle ascisse nei punti 𝑥=1 e 𝑥=3 ed è negativa se 1<𝑥<3. L’area richiesta è quindi data da: 0 1 𝑥 2 −4𝑥+3 𝑑𝑥− 1 3 𝑥 2 −4𝑥+3 𝑑𝑥+ 3 4 𝑥 2 −4𝑥+3 𝑑𝑥 = 1 3 𝑥 3 −2 𝑥 2 +3𝑥 0 1 − 1 3 𝑥 3 −2 𝑥 2 +3𝑥 1 3 + 1 3 𝑥 3 −2 𝑥 2 +3𝑥 3 4 = 4 3 − − 4 3 + 4 3 =4 1 3 4

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree L’area della regione definita da due o più curve Siano 𝑓(𝑥) e 𝑔 𝑥 funzioni continue e tali che sia 𝑓(𝑥)≥𝑔 𝑥 in tutti i punti dell’intervallo 𝑎, 𝑏 . 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑖 𝑅= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥− 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree Se la regione di piano di cui si vuole calcolare l’area è delimitata da più funzioni: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑖 𝑅= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑏 𝑐 𝑔 𝑥 𝑑𝑥− 𝑎 𝑐 ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 cioè: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑖 𝑅= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑏 𝑐 𝑔 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑐 𝑎 ℎ 𝑥 𝑑𝑥

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree Questa formula viene anche detta formula circolare in quanto, fissato un punto di partenza, per esempio quello di ascissa 𝑎, si calcolano gli integrali definiti che si incontrano percorrendo il contorno della curva che delimita l’area 𝑅 fino a tornare nel punto di inizio.

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree ESEMPIO Calcoliamo l’area della regione finita di piano delimitata dalle curve 𝑓 𝑥 =2− 𝑥 2 e 𝑔 𝑥 =𝑥 Calcoliamo le ascisse dei punti di intersezione delle due curve risolvendo l’equazione: 2− 𝑥 2 =𝑥→𝑥=−2∨𝑥=1 Poiché 𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥) nell’intervallo [−2, 1], l’area richiesta è uguale a: −2 1 2− 𝑥 2 𝑑𝑥− −2 1 𝑥 𝑑𝑥= −2 1 2− 𝑥 2 −𝑥 𝑑𝑥= − 1 3 𝑥 3 − 1 2 𝑥 2 +2𝑥 −2 1 = 9 2

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree L’area della regione delimitata da una curva e dall’asse 𝒚 Nel caso in cui la funzione 𝑓 abbia come variabile indipendente 𝑦 si procede come nel caso precedente. ESEMPIO Calcoliamo l’area della regione finita di piano delimitata dalla parabola di equazione 𝑥= 𝑦 2 +2𝑦−3 La parabola interseca l’asse 𝑦 nei punti di ordinata −3 e 1. 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑖 𝑅=− −3 1 𝑦 2 +2𝑦−3 𝑑𝑦=− 1 3 𝑦 3 + 𝑦 2 −3𝑦 −3 1 = 32 3

Gli integrali definiti Il calcolo delle aree Se la funzione 𝑓 ha come variabile indipendente 𝑥 ed è invertibile, prima si scrive l’equazione della funzione in funzione di 𝑦 e poi si procede come nel caso precedente. ESEMPIO Calcoliamo l’area della regione di piano delimitata dall’iperbole di equazione 𝑦= 3𝑥−2 𝑥+1 , dall’asse 𝑦 e dalla retta 𝑦=2. Esplicitiamo l’equazione dell’iperbole rispetto a 𝑥: 𝑥= 𝑦+2 3−𝑦 𝐴𝑟𝑒𝑎= −2 2 𝑦+2 3−𝑦 𝑑𝑦= −2 2 −1+ 5 3−𝑦 𝑑𝑦= −𝑦−5 ln (3−𝑦) −2 2 =5 ln 5−4

Il volume di un solido di rotazione Gli integrali definiti Volume di un solido di rotazione Il volume di un solido di rotazione La rotazione attorno all’asse 𝒙 Se 𝑓(𝑥) è una funzione continua in 𝑎, 𝑏 il volume 𝑉 del solido generato da 𝑓(𝑥) in una rotazione completa attorno all’asse 𝑥 è dato dalla formula: 𝑉=𝜋 𝑎 𝑏 [𝑓 𝑥 ] 2 𝑑𝑥.

Gli integrali definiti Volume di un solido di rotazione ESEMPIO Calcoliamo il volume del solido di rotazione ottenuto dalla rotazione completa attorno all’asse 𝑥 della funzione 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥 nell’intervallo −2, 2 . 𝑉=𝜋 −2 2 1 2 2𝑥 𝑑𝑥 =𝜋 − 1 2 ln 2∙ 2 2𝑥 −2 2 = 255𝜋 32 ln 2 ≈36,12

Gli integrali definiti Volume di un solido di rotazione La rotazione attorno all’asse 𝒚 Il volume 𝑉 del solido generato da 𝑓(𝑥), funzione continua in 𝑎, 𝑏 , in una rotazione completa attorno all’asse 𝑦 si calcola con la formula: 𝑉=2𝜋 𝑎 𝑏 𝑥∙𝑓(𝑥)𝑑𝑥 se 𝑓(𝑥) è positiva 𝑉=−2𝜋 𝑎 𝑏 𝑥∙𝑓(𝑥)𝑑𝑥 se 𝑓(𝑥) è negativa oppure 𝑉=𝜋 𝑝 𝑞 [𝑔 𝑦 ] 2 𝑑𝑦 con g 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) e 𝑝=𝑓 𝑎 , 𝑞=𝑓(𝑏)

Gli integrali impropri Gli integrali definiti Integrali impropri Gli integrali impropri Nel calcolo di aree e volumi abbiamo supposto che la funzione 𝑓(𝑥) da integrare fosse una funzione continua in un intervallo [𝑎, 𝑏] con estremi finiti. Ora vogliamo generalizzare il concetto di integrale definito nel caso in cui cada una delle due ipotesi precedenti. In particolare esamineremo cosa accade se: la funzione tende a infinito in uno degli estremi di integrazione o in un punto interno ad 𝑎, 𝑏 uno degli estremi di integrazione o entrambi non sono finiti.

Gli integrali definiti Integrali impropri Il primo caso Se 𝑓(𝑥) non è continua in 𝑏 e lim 𝑥→ 𝑏 − 𝑓 𝑥 =∞ , se esiste ed è finito lim 𝑘→𝑏 𝑎 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 con 𝑘∈ 𝑎,𝑏 , allora diciamo che 𝑓(𝑥) è integrabile in 𝑎, 𝑏 e poniamo: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑘→ 𝑏 − 𝑎 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Se invece tale limite non esiste o non è finito diciamo che 𝑓 𝑥 non è integrabile in 𝑎, 𝑏 .

Gli integrali definiti Integrali impropri Analogamente, se la funzione 𝑓(𝑥) non è continua in 𝑎 e lim 𝑥→ 𝑎 + 𝑓 𝑥 =∞ , se esiste ed è finito lim ℎ→ 𝑎 + ℎ 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 con ℎ∈(𝑎, 𝑏], diciamo che 𝑓(𝑥) è integrabile in 𝑎, 𝑏 e poniamo: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim ℎ→ 𝑎 + ℎ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Se invece tale limite non esiste oppure è infinito diciamo che 𝑓 𝑥 non è integrabile in 𝑎, 𝑏 .

Gli integrali definiti Integrali impropri ESEMPIO Vogliamo stabilire se è finita l’area della regione di piano delimitata dalla funzione 𝑦= ln 𝑥 nell’intervallo [0, 1]. La funzione tende a −∞ per 𝑥→ 0 + . Calcoliamo allora lim ℎ→ 0 + ℎ 1 ln 𝑥 𝑑𝑥= lim ℎ→ 0 + 𝑥( ln 𝑥−1) ℎ 1 = lim ℎ→ 0 + −1−ℎ ln ℎ −1 =−1 Poiché il limite ha valore finito e tenendo conto che la funzione è negativa in 0, 1 , possiamo concludere che l’area ha misura finita e vale 1.

Gli integrali definiti Integrali impropri ESEMPIO Vogliamo stabilire se è finita l’area della regione di piano delimitata dalla funzione 𝑦= 1 (𝑥−2) 2 e l’asse 𝑥 nell’intervallo [0, 1]. La funzione tende a +∞ per 𝑥→ 1 − . Calcoliamo allora lim 𝑘→ 1 − 0 𝑘 1 (𝑥−2) 2 𝑑𝑥= lim 𝑘→ 1 − 1 1−𝑥 0 𝑘 = lim 𝑘→ 1 − 1 1−𝑘 −1 =+∞ Poiché il limite ha valore infinito la funzione non è integrabile in 0, 1 e l’area richiesta non ha valore finito.

Gli integrali definiti Integrali impropri Il secondo caso Sia 𝑓(𝑥) una funzione definita e continua in un intervallo 𝑎, +∞ . Allora, se esiste finito lim 𝑏→+∞ 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , la funzione è integrabile nell’intervallo 𝑎, +∞ e poniamo: 𝑎 +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑏→+∞ 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

−∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑎→−∞ 𝑏→+∞ 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Gli integrali definiti Integrali impropri In modo analogo si pongono le definizioni nel caso in cui la funzione: è definita nell’intervallo −∞, 𝑏 : −∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑎→−∞ 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 è definita nell’intervallo −∞, +∞ : −∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑎→−∞ 𝑏→+∞ 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 sempre che tali limiti esistano finiti.

Gli integrali definiti Integrali impropri ESEMPIO Stabiliamo se esiste 2 +∞ 1 𝑥 3 𝑑𝑥 Dobbiamo calcolare: lim 𝑏→+∞ 2 𝑏 1 𝑥 3 𝑑𝑥= lim 𝑏→+∞ − 1 2 𝑥 2 2 𝑏 = lim 𝑏→+∞ − 1 2 𝑏 2 + 1 8 = 1 8 Quindi 2 +∞ 1 𝑥 3 𝑑𝑥= 1 8

L’integrazione numerica Gli integrali definiti L’integrazione numerica L’integrazione numerica Il calcolo di un integrale definito è possibile solo se della funzione integranda 𝑓(𝑥) è possibile trovare una primitiva. Non sempre si riesce in questa operazione; per esempio non siamo in grado di trovare una primitiva della funzione 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 2 . In tal caso si ricorre a metodi che consentono di dare una valutazione approssimata dell’integrale: questi metodi prendono il nome di metodi di quadratura numerica. Il problema è dunque il seguente: determinare un valore approssimato dell’integrale definito 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 essendo 𝑓(𝑥) una funzione continua in 𝑎, 𝑏 .

Il metodo dei rettangoli Gli integrali definiti L’integrazione numerica Il metodo dei rettangoli Data una funzione 𝑓(𝑥) continua e positiva in un intervallo 𝑎, 𝑏 , si può calcolare un valore approssimato dell’integrale definito di 𝑓(𝑥) nell’intervallo 𝑎, 𝑏 procedendo nel seguente modo: si suddivide l’intervallo 𝑎, 𝑏 in un numero 𝑛 di parti uguali di ampiezza ℎ= 𝑏−𝑎 𝑛 mediante i punti di suddivisione 𝑥 0 =𝑎 𝑥 1 =𝑎+ℎ 𝑥 2 =𝑎+2ℎ … 𝑥 𝑛 =𝑎+𝑛ℎ=𝑏 si considerano i valori assunti dalla funzione 𝑓 in ciascuno di questi punti: 𝑓 𝑎 𝑓 𝑥 1 𝑓 𝑥 2 … 𝑓( 𝑥 𝑛 ) si costruiscono una serie di rettangoli che hanno per base il segmento di estremi 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖+1 e altezza 𝑓( 𝑥 𝑖 ) (valore della funzione assunto nell’estremo sinistro di ciascun intervallo).

Gli integrali definiti L’integrazione numerica si calcola l’area di ciascun rettangolo: ℎ∙𝑓( 𝑥 𝑖 ) si sommano i valori ottenuti e si ottiene un valore approssimato dell’integrale definito che indichiamo con 𝑅 𝑆 : 𝑅 𝑠 =ℎ[𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 +…+ 𝑓 𝑥 𝑛−1 ] Se si assume come altezza il valore assunto dalla funzione 𝑓 nell’estremo destro di ciascun intervallo si ottiene l’espressione seguente: 𝑅 𝑆 =ℎ[ 𝑓 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 +…+ 𝑓 𝑏 ] dove ℎ viene detto passo dell’integrazione.

Gli integrali definiti L’integrazione numerica Al crescere di 𝑛, il grado di approssimazione migliora, cioè troviamo valori approssimati che via via si avvicinano al valore vero dell’integrale. Se 𝑓 è una funzione derivabile con derivata prima continua in 𝑎, 𝑏 , l’errore commesso 𝐸 rispetta la relazione: 𝐸≤ (𝑏−𝑎) 2 2𝑛 ∙ 𝑓 𝑀 ′ dove 𝑓 𝑀 ′ è il massimo dei valori assunti da | 𝑓 ′ 𝑥 | in 𝑎, 𝑏 .

Gli integrali definiti L’integrazione numerica Il metodo dei trapezi Possiamo approssimare l’area del trapezoide utilizzando trapezi che hanno come basi i valori 𝑓 𝑥 𝑖 e 𝑓 𝑥 𝑖+1 e altezza ℎ. Otteniamo un valore approssimato 𝑇 dell’area dato dalla seguente espressione: 𝑇=ℎ 𝑓 𝑥 0 +𝑓( 𝑥 𝑛 ) 2 +𝑓 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 +…+𝑓( 𝑥 𝑛−1 ) L’errore che si introduce rispetta la relazione: 𝐸≤ 𝑏−𝑎 3 12 𝑛 2 ∙ 𝑓 𝑀 ′′ nell’ipotesi che 𝑓 sia una funzione due volte derivabile e con entrambe le derivate continue in 𝑎, 𝑏 e dove 𝑓 𝑀 ′′ è il massimo dei valori assunti da |𝑓′′(𝑥)| in 𝑎, 𝑏 .

Il metodo delle parabole Gli integrali definiti L’integrazione numerica Il metodo delle parabole Approssimiamo ora la funzione 𝑓 in ciascuno degli intervalli 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖+1 con una parabola seguendo la procedura: suddividiamo l’intervallo [𝑎, 𝑏] in 2𝑛 parti uguali mediante i punti di suddivisione 𝑥 0 =𝑎 ,𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 2𝑛 =𝑏 posto h= 𝑏−𝑎 2𝑛 si consideriamo gli 𝑛 intervalli 𝑥 0 , 𝑥 2 , 𝑥 2 , 𝑥 4 , …, [ 𝑥 2𝑛−2 , 𝑥 2𝑛 ] ciascuno di ampiezza 2ℎ= 𝑏−𝑎 𝑛 che hanno come punti medi i punti 𝑥 1 , 𝑥 3 , …, 𝑥 2𝑛−1 ; scriviamo in ogni intervallo l’equazione della parabola che passa per i punti estremi e per il punto medio; calcoliamo l’integrale definito di ciascuna parabola nel proprio intervallo; sommiamo i valori ottenuti .

Gli integralo definiti L’integrazione numerica La somma dei valori ottenuti è data dalla formula: 𝐼= 1 3 ℎ 𝑦 0 + 𝑦 2𝑛 +4( 𝑦 1 + 𝑦 3 +…+ 𝑦 2𝑛−1 +2( 𝑦 2 + 𝑦 4 +…+ 𝑦 2𝑛−2 ) 𝑓 𝑎 𝑓(𝑏) nota come formula di Cavalieri-Simpson. L’errore commesso rispetta la relazione: 𝐸≤ (𝑏−𝑎) 5 2880 𝑛 4 𝑓 𝑀 (4) nell’ipotesi che 𝑓 sia derivabile fino alla derivata quarta e tutte le derivate siano continue in [𝑎, 𝑏] e dove 𝑓 𝑀 (4) è il massimo dei valori assunti da |𝑓 𝑀 (4) | in 𝑎, 𝑏 .