Viganò Samuele, Marone Davide, Mongelli Alessandro SOLIDI PLATONICI

Cos’è un solido platonico? Si definisce solido platonico o poliedro regolare un qualsiasi poliedro convesso avente come facce dei poligoni regolari, e avente tutti gli spigoli e gli angoloidi congruenti tra loro.   I Solidi Platonici devono il loro nome all’ampia e particolare descrizione che ne fa Platone nel suo dialogo“Timeo” COS’E’ UN SOLIDO PLATONICO? Un poligono avente i lati e gli angoli uguali è detto poligono regolare, ne sono un esempio il triangolo equilatero e il quadrato. Si definisce invece “solido platonico” o “poliedro regolare” un qualsiasi poliedro convesso, avente come facce dei poligoni regolari e tutti gli spigoli e gli angoloidi congruenti tra loro. photo by actionjack.wordpress.com 1

Teetèto : scoprì l'ottaedro e l'icosaedro. Storia Pitagora: la scoperta del tetraedro, esaedro e dodecaedro è attribuito a Pitagora e alla sua scuola (VI sec. a.C.) Teetèto : scoprì l'ottaedro e l'icosaedro. STORIA Il più antico scritto pervenutoci nel quale si citano i poliedri regolari è il Timeo di Platone. Ed è sia per questo ritrovamento,sia per il ruolo fondamentale che giocano nella “fisica” elaborata da Platone che tradizionalmente i poliedri regolari sono chiamati Solidi Platonici. Tuttavia ci sono buone ragioni per ritenere che la scoperta delle cinque figure poliedriche sia dovuta alla Scuola Pitagorica del VI secolo a.C. L’esistenza del cubo, dell’ottaedro e del tetraedro non sorprende molto, data la particolare semplicità di queste figure. Diverso è il caso del dodecaedro e dell'icosaedro; la loro scoperta può esser fatta risalire al fatto che nella Magna Grecia (in Sicilia, in particolare) si rinvenivano con facilità cristalli di pirite aventi forma di dodecaedro. Inoltre sono stati rinvenuti, in vari siti archeologici italiani, oggetti scolpiti con questa forma regolare, databili intorno al VI sec. a.C. La scoperta di questi due solidi si attribuisce a Teetèto, inoltre sembra che sia stato il primo a scrivere un trattato sistematico sui cinque solidi regolari, ma l'opera è andata persa. Le costruzioni di questi solidi sono contenute nel Libro XIII degli Elementi di Euclide. La proposizione 13 descrive la costruzione del tetraedro regolare, la proposizione 14 è dedicata all'ottaedro regolare, la proposizione 15 al cubo, la proposizione 16 all'icosaedro regolare e la proposizione 17 al dodecaedro regolare. Essi furono poi studiati con ben maggiore razionalità dai geometri greco-alessandrini. Nel Rinascimento italiano i poliedri regolari sono stati un ottimo soggetto su cui compiere studi prospettici: li ritroviamo in opere per esempio di Paolo Uccello, Piero della Francesca, Leonardo da Vinci e Leonardo Pisano Euclide: le costruzioni di questi solidi sono contenute nel Libro XIII degli Elementi di Euclide. photo by gabriellagiudici.it 2

Interpretazioni di Platone Platone nel Timeo , associò ad ogni poliedro regolare un elemento INTERPRETAZIONI DI PLATONE Platone, teorizza che l’intero cosmo sia cosituito da particelle microscopiche, le cui masse non possiamo vedere se non quando si radunano insieme, poiché è dalla loro combinazione che derivano gli elementi fondamentali. Il filosofo descrive i cinque poliedri regolari, le loro proprietà e li definisce come forme delle particelle di base dei quattro elementi. Platone vede un legame quasi necessario fra le forme geometriche "perfette" e la natura, quinidi scrive; "perciò conserviamo la verosimiglianza, attribuendo questa forma (l’esaedro) alla terra, e poi all'acqua la forma meno mobile delle altre, al fuoco la più mobile, e all'aria l'intermedia: e così il corpo più piccolo al fuoco, il più grande all'acqua, e l'intermedio all'aria, ed inoltre il più acuto al fuoco, il secondo per acutezza all'aria, il terzo all'acqua". Associa quinidi il tetraedro al fuoco, l’esaedro alla terra, l’ottaedro all’aria e l’icosaedro all’acqua. Per quanto riguarda il quinto solido regolare, il dodecaedro, nell'Epinomide, sembra che lo identifichi con il quinto elemento, l'etere. L’autenticità di questo scritto è però incerta e nel Timeo invece, nega che l'etere sia un elemento, perchè non è altro che la parte più pura dell'aria; e parla invece del solido in questi termini: "restava una quinta combinazione, e Dio se ne giovò per decorare l'universo". L’associazione potrà sembrare azzardata ma la teoria di Platone non è diversa in spirito da quello che effettua la chimica moderna, assegnando alle molecole strutture geometriche che, attraverso le reazioni chimiche, si scompongono e si ricompongono in maniera non dissimile da quella anticipata dal Timeo. Addirittura, Platone esemplifica la cosa scomponendo i venti triangoli che compongono un icosaedro in due ottaedri e un tetraedro, e ricomponendoli in un icosaedro. Ovvero ritiene che l’acqua si possa considerare come composta da due parti di aria e una di fuoco: il che anticipa in maniera sorprendente, benché per un puro colpo di fortuna, la formula dell’acqua (H2O) fuoco terra aria acqua etere/decorativo photo by progetti.iisleviponti.it 3

Tetraedro Facce: Triangoli equilateri N. Facce: 4 N. Vertici: 4 N. Spigoli: 6 N. Facce per vertice: 3 N. Spigoli per vertice: 3 Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici. Esso presenta un angolo diedro di 70° 32'. photo by wikipedia.org 4

Esaedro Facce: Quadrati N. Facce: 6 N. Vertici: 8 N. Spigoli: 12 N. Facce per vertice: 3 N. Spigoli per vertice: 3 photo by wikipedia.org 5

Ottaedro Facce: Triangoli equilateri N. Facce: 8 N. Vertici: 6 N. Spigoli: 12 N. Facce per vertice: 4 N. Spigoli per vertice: 4 In geometria solida, l'ottaedro è un poliedro con otto facce triangolari. L'ottaedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, le cui facce sono triangoli equilateri. Ha sei vertici e dodici spigoli. photo by wikipedia.org 6

Dodecaedro Facce: Pentagoni N. Facce: 12 N. Vertici: 20 N. Spigoli: 30 N. Facce per vertice: 3 N. Spigoli per vertice: 3 Il dodecaedro è uno dei 5 solidi platonici, possiede 12 faccie, le quali sono dei pentagoni. I vertici sono 20 e gli spigoli sono 30. Le facce per vertice sono 3 come le facce per gli spigoli. photo by wikipedia.org 7

Icosaedro Facce: Triangoli equilateri N. Facce: 20 N. Vertici: 12 N. Spigoli: 30 N. Facce per vertice: 5 N. Spigoli per vertice: 5 In geometria l'icosaèdro è un qualsiasi poliedro con venti facce. Con il termine icosaedro si intende però generalmente l'icosaedro regolare: nell'icosaedro regolare, le facce sono triangoli equilateri. photo by wikipedia.org 8

Dualità poliedrale photo by zibalsc.blogspot.it 9 DUALITA’ La dualità poliedrale é la trasfigurazione di un poliedro in un secondo poliedro scambiando i ruoli dei vertici e delle facce. Questo procedimento trasforma tetraedri in tetraedri e scambia cubi con ottaedri e dodecaedri con icosaedri. photo by zibalsc.blogspot.it 9

I cristalli photo by mineralicristalli.it 10 CRISTALLI I solidi platonici si trovano realizzati in natura sotto diverse forme, nei cristalli ad esempio. Il cristallo del cloruro di sodio presenta una forma cubica, il fluoruro di calcio una struttura a ottaedro e a dodecaedro nella pirite. photo by mineralicristalli.it 10

I poliedri regolari sono 5 Non possono esistere altri solidi platonici oltre ai cinque considerati precedentemente, per dimostrarlo occorre fare alcune considerazioni: Ad ogni vertice di un poliedro regolare devono convergere almeno tre facce 1 Tali facce non possono stare sullo stesso piano, quindi la somma delle ampiezze degli angoli che convergono ad uno stesso vertice deve essere inferiore a 360° 2 Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza dei cinque solidi platonici è contenuta nell'ultimo libro degli Elementi di Euclide e costituisce la conclusione dell'opera. La prima dimostrazione di tale esistenza è stata attribuita al matematico greco Teetèto ma è andata persa. 3 l'ampiezza degli angoli di un poligono regolare aumenta all'aumentare del numero dei suoi lati 11

Dimostrazione intuitiva Consideriamo un triangolo equilatero   3• 60 = 180 180<360  4• 60 = 240 240<360 DIMOSTRAZIONI Non possono esistere altri solidi platonici oltre ai cinque considerati precedentemente, per dimostrarlo occorre fare alcune considerazioni: •Ad ogni vertice di un poliedro regolare devono convergere almeno tre facce •Tali facce non possono stare sullo stesso piano, quindi la somma delle ampiezze degli angoli che convergono ad uno stesso vertice deve essere inferiore a 360 •L'ampiezza degli angoli di un poligono regolare aumenta all'aumentare del numero dei suoi lati Dimostrazione intuitiva Consideriamo un triangolo equilatero   3• 60 = 180 180<360  Tetraedro  4• 60 = 240 240<360  Ottaedro  5• 60 = 300 300<360  Icosaedro  6 • 60 = 360 360=360  Impossibile  5• 60 = 300 300<360  6 • 60 = 360  impossibile photo by progettomatematica.dm.unibo.it 12

Dimostrazione intuitiva Consideriamo un quadrato  3• 90 = 270 270<360 4 • 90 = 360 impossibile Consideriamo un pentagono Consideriamo un quadrato  3• 90 = 270 270<360  Esaedro Consideriamo un pentagono  3• 108 = 324 324<360  Dodecaedro 4 • 108 = 432  432>360  Impossibile Consideriamo un esagono 3 • 120 = 360 360=360  Impossibile  3• 108 = 324 324<360 4 • 108 = 432 impossibile Consideriamo un esagono: 3 • 120 = 360 impossibile photo by progettomatematica.dm.unibo.it 13

Dimostrazione geometrica È possibile dimostrare che non esistono più di cinque poliedri regolari anche a partire dalla relazione di Eulero. Specifichiamo prima il significato di alcune variabili F= numero di facce S= numero degli spigoli V= numero dei vertici Formula di Eulero Sia V il numero dei vertici, S quello degli spigoli e F quello delle facce di un poliedro convesso, allora si ha che: V - S + F = 2 È possibile dimostrare che non esistono più di cinque poliedri regolari anche a partire dalla relazione di Eulero. Sia dato un poliedro con F facce, ognuna delle quali è un poligono regolare con n lati e nel quale, a ogni vertice, si incontrano r spigoli, i quali sono in totale S. Moltiplicando il numero dei lati di ogni faccia per il numero delle facce del poliedro si ottiene il doppio della totalità degli spigoli (ogni spigolo viene contato due volte, una sulla prima faccia e una sulla faccia attaccata alla prima per quello spigolo): nF = 2S inoltre, la totalità degli spigoli moltiplicata per due equivale al numero dei vertici V moltiplicati per il numero r di spigoli che si incontrano in essi, perché ogni spigolo collega tra loro due vertici: rV = 2S quindi si ottiene F = \frac{2S}{n} V = \frac{2S}{r} e sostituendo questi valori nella caratteristica di Eulero-Poincaré V + F - S = 2 \frac{2S}{r}+\frac{2S}{n}-S = 2 e, dividendo per 2S, si arriva a \frac{1}{r}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}=\frac{1}{S} Entrambi n e r devono essere maggiori o uguali a tre, poiché un poligono deve avere almeno tre lati e almeno tre lati devono incontrarsi nel vertice di ciascuno degli angoloidi di un poliedro. Inoltre n e r non possono essere entrambi uguali a quattro, poiché in tal caso il primo membro dell'equazione sarebbe uguale a 0, mentre 1/S è positivo. Se n e r fossero poi contemporaneamente maggiori di tre, S dovrebbe essere negativo; questa possibilità è quindi esclusa, e almeno uno deve essere tre. Se n = 3, si ha \frac{1}{3}+\frac{1}{r}-\frac{1}{2}=\frac{1}{S} \frac{1}{r}-\frac{1}{6}=\frac{1}{S} e quindi r può essere uguale solo a 3, 4, oppure 5, casi che corrispondono rispettivamente al tetraedro, all'ottaedro e all'icosaedro. Allo stesso modo, se r = 3, allora n può assumere solo i valori 3, 4, oppure 5. Si può scartare 3 perché lo abbiamo considerato nel caso precedente; restano i casi 4 e 5, che corrispondono al cubo e al dodecaedro. n= numero dei lati di ogni faccia r= numero di spigoli che si incontrano in ogni vertice 14

Dimostrazione geometrica Relazione di Eulero rV=2S nF=2S F+V=S+2 F= 2𝑆 𝑛 V= 2𝑆 𝑟 V +F – S=2 Formula di Eulero Sia V il numero dei vertici, S quello degli spigoli e F quello delle facce di un poliedro convesso, allora si ha che: V - S + F = 2 È possibile dimostrare che non esistono più di cinque poliedri regolari anche a partire dalla relazione di Eulero. Sia dato un poliedro con F facce, ognuna delle quali è un poligono regolare con n lati e nel quale, a ogni vertice, si incontrano r spigoli, i quali sono in totale S. Moltiplicando il numero dei lati di ogni faccia per il numero delle facce del poliedro si ottiene il doppio della totalità degli spigoli (ogni spigolo viene contato due volte, una sulla prima faccia e una sulla faccia attaccata alla prima per quello spigolo): nF = 2S inoltre, la totalità degli spigoli moltiplicata per due equivale al numero dei vertici V moltiplicati per il numero r di spigoli che si incontrano in essi, perché ogni spigolo collega tra loro due vertici: rV = 2S quindi si ottiene F = \frac{2S}{n} V = \frac{2S}{r} e sostituendo questi valori nella caratteristica di Eulero-Poincaré V + F - S = 2 \frac{2S}{r}+\frac{2S}{n}-S = 2 e, dividendo per 2S, si arriva a \frac{1}{r}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}=\frac{1}{S} Entrambi n e r devono essere maggiori o uguali a tre, poiché un poligono deve avere almeno tre lati e almeno tre lati devono incontrarsi nel vertice di ciascuno degli angoloidi di un poliedro. Inoltre n e r non possono essere entrambi uguali a quattro, poiché in tal caso il primo membro dell'equazione sarebbe uguale a 0, mentre 1/S è positivo. Se n e r fossero poi contemporaneamente maggiori di tre, S dovrebbe essere negativo; questa possibilità è quindi esclusa, e almeno uno deve essere tre. Se n = 3, si ha \frac{1}{3}+\frac{1}{r}-\frac{1}{2}=\frac{1}{S} \frac{1}{r}-\frac{1}{6}=\frac{1}{S} e quindi r può essere uguale solo a 3, 4, oppure 5, casi che corrispondono rispettivamente al tetraedro, all'ottaedro e all'icosaedro. Allo stesso modo, se r = 3, allora n può assumere solo i valori 3, 4, oppure 5. Si può scartare 3 perché lo abbiamo considerato nel caso precedente; restano i casi 4 e 5, che corrispondono al cubo e al dodecaedro. 2𝑆 𝑟 + 2𝑆 𝑛 −S=2 15

Dimostrazione geometrica Dividiamo per 2S 1 𝑟 + 1 𝑛 − 1 2 = 1 𝑆 n=3 r=3 1 3 + 1 𝑟 − 1 2 = 1 𝑆 1 3 + 1 𝑛 − 1 2 = 1 𝑆 Formula di Eulero Sia V il numero dei vertici, S quello degli spigoli e F quello delle facce di un poliedro convesso, allora si ha che: V - S + F = 2 È possibile dimostrare che non esistono più di cinque poliedri regolari anche a partire dalla relazione di Eulero. Sia dato un poliedro con F facce, ognuna delle quali è un poligono regolare con n lati e nel quale, a ogni vertice, si incontrano r spigoli, i quali sono in totale S. Moltiplicando il numero dei lati di ogni faccia per il numero delle facce del poliedro si ottiene il doppio della totalità degli spigoli (ogni spigolo viene contato due volte, una sulla prima faccia e una sulla faccia attaccata alla prima per quello spigolo): nF = 2S inoltre, la totalità degli spigoli moltiplicata per due equivale al numero dei vertici V moltiplicati per il numero r di spigoli che si incontrano in essi, perché ogni spigolo collega tra loro due vertici: rV = 2S quindi si ottiene F = \frac{2S}{n} V = \frac{2S}{r} e sostituendo questi valori nella caratteristica di Eulero-Poincaré V + F - S = 2 \frac{2S}{r}+\frac{2S}{n}-S = 2 e, dividendo per 2S, si arriva a \frac{1}{r}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}=\frac{1}{S} Entrambi n e r devono essere maggiori o uguali a tre, poiché un poligono deve avere almeno tre lati e almeno tre lati devono incontrarsi nel vertice di ciascuno degli angoloidi di un poliedro. Inoltre n e r non possono essere entrambi uguali a quattro, poiché in tal caso il primo membro dell'equazione sarebbe uguale a 0, mentre 1/S è positivo. Se n e r fossero poi contemporaneamente maggiori di tre, S dovrebbe essere negativo; questa possibilità è quindi esclusa, e almeno uno deve essere tre. Se n = 3, si ha \frac{1}{3}+\frac{1}{r}-\frac{1}{2}=\frac{1}{S} \frac{1}{r}-\frac{1}{6}=\frac{1}{S} e quindi r può essere uguale solo a 3, 4, oppure 5, casi che corrispondono rispettivamente al tetraedro, all'ottaedro e all'icosaedro. Allo stesso modo, se r = 3, allora n può assumere solo i valori 3, 4, oppure 5. Si può scartare 3 perché lo abbiamo considerato nel caso precedente; restano i casi 4 e 5, che corrispondono al cubo e al dodecaedro. 1 𝑟 − 1 6 = 1 𝑆 1 𝑛 − 1 6 = 1 𝑆 Tetraedro, ottaedro, icosaedro Esaedro, dodecaedro 16

Solidi platonici nell’arte Nell campo dell’arte i solidi platonici sono stati utilizzati come soggetti di alcune opere, in particolare dal pittore Salvador Dalì. Come esempio prendiamo in considerazione due sue opere: “Corpus Hypercubus” e “Sacramento dell'Ultima Cena”. Corpus Hypercubus; è una Crocifissione in cui la figura del Cristo è sospesa nell'aria e la Croce è sostituita da una struttura fatta da otto Esaedri, rappresentante lo sviluppo tridimensionale dell’Ipercubo, un solido a quattro dimensioni avente come facce otto cubi. Il mistero della morte di Cristo, dell’unione dei Divino con l’Umano, viene rappresentato per mezzo dell’irriducibilità delle diverse geometrie. Nel “Sacramento dell’Ultima Cena” l’artista unisce l’episodio evangelico (rappresentato con seicentesco realismo) con l’evocazione della transustanziazione (attraverso l’evanescente corpo che sovrasta l’azione) e con la reiterazione di due numeri particolarmente mistici, il Dodici e il “numero aureo”, il “phi”, (rappresentati entrambi con un immenso Dodecaedro che penetra la scena). Egli stesso, usando il suo particolare linguaggio, definì questo quadro come una “cosmologia aritmetica e filosofica basata sulla sublime paranoia del numero dodici”. Dalì sente il bisogno di evocare il mistero cristiano attraverso l’uso della Geometria, ricollegandosi in questo caso esplicitamente alla rappresentazione dell’universo per mezzo dei Solidi Platonici e alla concezione pitagorica del Numero. by: wikipedia.org by: cultura.biografieonline.it 17

Solidi platonici nell’architettura L’edificio a forma di solido platonico più famoso è sicuramente la ka’ba. Il suo nome deriva dal sostantivo kaʿb, che significa "dado" o "cubo" ed è un'antica costruzione che è situata all'interno del Masjid al-Haram, al centro della Mecca, in Arabia Saudita, e che costituisce il luogo più sacro dell'islam. Un'altra costruzione, questa volta meno conosciuta è il bosco della speranza situato a Socha, in Colombia. La costruzione progettata da Giancarlo Mazzanti è formata da dodecaedri che si ripetono fino a costituire l'intera copertura del centro ricreativo. Evoca un bosco, simbolo della natura, senso di unione e speranza per l'area. 18