x : variabile indipendente Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazione Considerato un insieme A di elementi x e un insieme B di elementi y , una funzione da A in B è ogni relazione f che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo elemento y di B. Se x è l’elemento associato a x nella f si dice che y è l’immagine di x : y = f (x) Viceversa, x è la controimmagine di y. x : variabile indipendente y : variabile dipendente Dominio della funzione: A (viene indicato con D) Codominio della funzione: insieme delle immagini (viene indicato con C )

Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni suriettive, iniettive, biiettive suriettiva se il codominio coincide con B, cioè non ci sono elementi y in B che non hanno controimmagini in A. La funzione in fig.a è suriettiva se consideriamo come insieme B quello degli y che sono maggiori o uguali a -2: ogni retta parallela all’asse x la incontra in almeno un punto. Una funzione si dice: iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. La funzione in fig.b è iniettiva: ogni retta parallela all’asse x la incontra al massimo in un punto; biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva. La funzione in fig.c è biiettiva; ogni retta parallela all’asse x la incontra in uno e un solo punto. Delle funzioni biiettive si dice che sono delle corrispondenze biunivoche tra gli elementi dell’insieme e quelli dell’insieme , vale a dire che ad ogni elemento di viene associato un solo elemento di e viceversa.

Le funzioni: definizioni e classificazioni La funzione inversa Una funzione è invertibile se la relazione che si ottiene scambiando gli insiemi e , cioè e , è ancora una funzione; la funzione inversa si indica con il simbolo ed è: Le funzioni suriettive e quelle iniettive non sono di norma invertibili, quelle biiettive lo sono sempre. Per trovare l’equazione dell’inversa di una funzione invertibile basta scambiare le variabili e e risolvere l’equazione ottenuta rispetto a . Il grafico della funzione inversa si ottiene per simmetria rispetto alla bisettrice .

definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazioni ESEMPIO Troviamo l’inversa della funzione La funzione è invertibile perché è biettiva; infatti, a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y. se e solo se ed è 6 Troviamo l’equazione dell’inversa scambiando i ruoli di e Il grafico della funzione è quello in colore blu; quello dell’inversa (in rosso) è il suo simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Le funzioni: definizioni e classificazioni La funzione composta Date due funzioni e , si dice funzione composta di e la funzione che si ottiene applicando la agli elementi ottenuti dalla . Per indicare che è il prodotto di e scriviamo: ed è ESEMPIO Date le funzioni: e , calcoliamo: quindi quindi

Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni reali di variabile reale La classificazione Possiamo classificare le funzioni in base alla forma dell’espressione analitica che le definisce in: Funzioni algebriche: funzioni la cui espressione algebrica contiene solo operazione di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, elevamenti a potenza ed estrazioni di radice nella variabile . In tutti gli altri casi si dice che la funzione è trascendente.

Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni Algebriche Trascendenti Razionali Irrazionali Intere Fratte

Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni definite per casi Una funzione si dice definita per casi se è definita da espressioni diverse a seconda del valore assunto da . ESEMPIO

definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazioni Tra le funzioni definite per casi possiamo annoverare anche quelle che contengono moduli. ESEMPIO -1 1

Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni crescenti e decrescenti Consideriamo una funzione definita in un insieme e nell’intervallo ; siano e due punti di . Diciamo che: è crescente in se quando anche è decrescente in se quando allora

definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni pari e dispari Sia una funzione di dominio ; diciamo che: è pari se per ogni è dispari se per ogni Grafico simmetrico rispetto all’asse y ESEMPIO La funzione è una funzione pari:

definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazioni Grafico simmetrico rispetto all’origine La funzione è una funzione dispari: Grafico non simmetrico rispetto all’asse y e all’origine La funzione è una funzione né pari, né dispari:

Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni periodiche Una funzione si dice periodica di periodo , con , se si verifica che: Con numero intero qualsiasi.

Le funzioni: definizioni e classificazioni La funzione e la funzione sono periodiche di periodo . La funzione è periodica di periodo . La funzione e la funzione sono periodiche di periodo . Esempio: La funzione , essendo , è periodica di periodo La funzione è periodica di periodo . Esempio: La funzione , essendo , è periodica di periodo

Il dominio naturale di una funzione Il dominio naturale di una funzione , detto anche insieme di definizione o campo di esistenza, è sempre un sottoinsieme, proprio o improprio, dell’insieme dei numeri reali che dipende dalle operazioni che compaiono nell’espressione di .. Per esempio: La funzione ha dominio La funzione ha dominio l’insieme esclusi i punti che annullano il denominatore:

Il dominio naturale di una funzione ESEMPIO Determiniamo il dominio della funzione La funzione esiste per i valori di che soddisfano il seguente sistema: per l’esistenza del radicale (indice pari) per l’esistenza della frazione per l’esistenza del logaritmo Risolvendo otteniamo: La cui soluzione è Quindi:

Il segno di una funzione Una volta determinato il dominio, si possono ricavare altre informazioni sul grafico della funzione . Intersezioni con gli assi cartesiani I punti di intersezione con l’asse si determinano risolvendo il sistema: Le soluzioni dell’equazione , se esistono, vengono detti zeri della funzione. Una funzione può avere al massimo un punto di intersezione con l’asse che, se esiste, si determina risolvendo il sistema: Cioè valutando Studio del segno Studiare il segno di una funzione significa individuare gli intervalli del dominio in cui la funzione assume valori positivi e quelli in cui assume valori negativi. Cioè equivale a risolvere la disequazione .

Le successioni Un caso particolare di funzioni: le successioni Una successione è una funzione definita nell’insieme dei numeri naturali. ESEMPIO La successione costituita dai cubi dei numeri naturali è una funzione che associa ad ogni numero naturale il suo cubo. .

Le successioni La rappresentazione di una successione Una successione può essere rappresentata Tramite il termine generale espresso in funzione di . Tramite regola ricorsiva così definita: : valore del primo termine della successione : regola che esprime in funzione di

La successione 0, 2, 4, 6, 8, 10, … può essere rappresentata Le successioni ESEMPIO La successione 0, 2, 4, 6, 8, 10, … può essere rappresentata tramite termine generale tramite regola ricorsiva

Le progressioni aritmetiche Una successione di numeri reali tali che la differenza tra un termine e quello immediatamente precedente sia costante si chiama progressione aritmetica. La differenza costante si chiama ragione della progressione. Indicando con la ragione, si ha che . ESEMPIO 3 10 17 24 31 +7 La successione 3, 10, 17, 24, 31, … è una progressione aritmetica di ragione 7. Si può definire anche in modo ricorsivo:

Le progressioni aritmetiche Come si calcolano i termini di una progressione aritmetica Il termine di una progressione aritmetica di ragione è uguale a: ESEMPIO In una progressione aritmetica di ragione d = 4 e primo termine , calcoliamo Conoscendo il termine di una progressione aritmetica di ragione , il termine è uguale a: ESEMPIO In una progressione aritmetica di ragione d = 4, sapendo che , calcoliamo

Le progressioni aritmetiche La somma dei termini di una progressione aritmetica Proprietà: Considerati i primi termini di una progressione aritmetica, la somma di due termini equidistanti dagli estremi e è costante ed è uguale alla somma del primo e dell’n-esimo termine: costante Da questa proprietà si ottiene la formula per il calcolo della somma dei primi termini di una progressione aritmetica: La somma dei primi termini di una progressione aritmetica è uguale a: ESEMPIO Troviamo la somma dei primi 15 termini di una progressione aritmetica di ragione 3 e con . calcoliamo: la somma richiesta è uguale a:

Le progressioni geometriche Una successione di numeri reali tale che il rapporto tra un termine e quello immediatamente precedente sia costante si chiama progressione geometrica. Il rapporto costante si chiama ragione della progressione. Indicando con la ragione, in ogni progressione geometrica il termine si ottiene da moltiplicando per :

Le progressioni geometriche ESEMPIO La successione definita in modo ricorsivo da È una progressione geometrica avente il primo termine uguale a 3 e ragione . I suoi primi termini sono: 3, 24, 192, 1536, 12288, …

Le progressioni geometriche Come si calcolano i termini di una progressione geometrica Il termine di una progressione geometrica di ragione è uguale a: Il termine , in funzione del termine è uguale a: ESEMPIO: se e : Se e :

Le progressioni geometriche Somma e prodotto dei termini di una progressione geometrica La somma dei primi termini di una progressione geometrica è data dalla formula: Il prodotto dei primi termini è dato da: ESEMPIO: La somma e il prodotto dei primi 6 termini della progressione geometrica con è essendo