Gli integrali Il caso 𝐦<𝐧 Integrazione delle funzioni razionali fratte Vogliamo occuparci dell’integrazione delle funzioni che si presentano nella forma 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) , dove 𝐴(𝑥) è un polinomio di grado 𝑚 e 𝐵(𝑥) è un polinomio di grado 𝑛. Il caso 𝐦<𝐧 Poiché il grado del numeratore è minore di quello del denominatore diciamo che la frazione è propria. Le procedure di integrazione sono diverse a seconda della forma che assume la frazione.

Gli integrali Integrazione delle funzioni razionali fratte Integrale in cui il numeratore è la derivata del denominatore Qualunque sia il grado del denominatore, si ha: 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln 𝑓 𝑥 +𝑐 ESEMPIO 1 3𝑥−4 𝑑𝑥= 1 3 3 3𝑥−4 𝑑𝑥= 1 3 ln 3𝑥−4 +𝑐

Integrali della forma 𝟏 (𝒂𝒙+𝒃) 𝒌 con 𝒌>𝟏 Gli integrali Integrazione delle funzioni razionali fratte Integrali della forma 𝟏 (𝒂𝒙+𝒃) 𝒌 con 𝒌>𝟏 Applichiamo la regola della potenza: 1 (𝑎𝑥+𝑏) 𝑘 = (𝑎𝑥+𝑏) −𝑘 𝑑𝑥= 1 𝑎 𝑎 (𝑎𝑥+𝑏) −𝑘 𝑑𝑥= 1 𝑎(−𝑘+1) (𝑎𝑥+𝑏) −𝑘+1 +𝑐 ESEMPIO 1 (2𝑥+7) 4 𝑑𝑥= 1 2 2 (2𝑥+7) −4 𝑑𝑥= 1 2 ∙ − 1 3 2𝑥+7 −3 +𝑐=− 1 6 2𝑥+7 3 +𝑐

Gli integrali I CASO: il discriminante è positivo Integrazione delle funzioni razionali fratte Integrali della forma 𝒎𝒙+𝒏 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 con 𝒂≠𝟎 Il metodo di integrazione è diverso a seconda del segno del discriminante del polinomio al denominatore. I CASO: il discriminante è positivo Il denominatore si può scomporre nel prodotto di due o più fattori: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑎 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2 . In tal caso: scriviamo la frazione come somma di altre frazioni che hanno come denominatori i fattori della scomposizione; integriamo ciascuna frazione ottenuta.

Gli integrali ESEMPIO 1 3 𝑥 2 −4𝑥+1 𝑑𝑥 Scomponiamo il denominatore: Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 1 3 𝑥 2 −4𝑥+1 𝑑𝑥 Scomponiamo il denominatore: 3 𝑥 2 −4𝑥+1=3 𝑥− 1 3 𝑥−1 = 3𝑥−1 𝑥−1 Cerchiamo due numeri 𝐴 e 𝐵 tali che sia: 1 3 𝑥 2 −4𝑥+1 = 𝐴 3𝑥−1 + 𝐵 𝑥−1

Gli integrali Integrazione delle funzioni razionali fratte Poiché 𝐴 3𝑥−1 + 𝐵 𝑥−1 = 𝐴 𝑥−1 +𝐵(3𝑥−1) (3𝑥−1)(𝑥−1) = 𝐴𝑥−𝐴+3𝐵𝑥−𝐵 (3𝑥−1)(𝑥−1) = 𝑥 𝐴+3𝐵 −𝐴−𝐵 (3𝑥−1)(𝑥−1) affinché sussista l’uguaglianza 1 3 𝑥 2 −4𝑥+1 = 𝑥 𝐴+3𝐵 −𝐴−𝐵 (3𝑥−1)(𝑥−1) per il principio di identità dei polinomi dovrà essere: 𝐴+3𝐵=0 manca il termine in x −𝐴−𝐵=1 il termine noto vale 1

Gli integrali Risolvendo il sistema otteniamo: 𝐴=− 3 2 ∧𝐵= 1 2 Integrazione delle funzioni razionali fratte Risolvendo il sistema otteniamo: 𝐴=− 3 2 ∧𝐵= 1 2 Possiamo perciò scrivere: 1 3 𝑥 2 −4𝑥+1 𝑑𝑥= −3/2 3𝑥−1 𝑑𝑥+ 1/2 𝑥−1 𝑑𝑥 = =− 1 2 3 3𝑥−1 𝑑𝑥+ 1 2 1 𝑥−1 𝑑𝑥 =− 1 2 ln 3𝑥−1 + 1 2 ln 𝑥−1 +𝑐 e applicando la proprietà dei logaritmi: 1 2 ln 𝑥−1 3𝑥−1 +𝑐

Gli integrali II CASO: il discriminante è nullo Integrazione delle funzioni razionali fratte II CASO: il discriminante è nullo Il denominatore è il quadrato di un binomio. Se il numeratore è costante rientriamo nel caso di integrazione di una potenza. Se il numeratore è un polinomio di primo grado, allora: scriviamo la frazione come somma di altre due, la prima delle quali ha al denominatore il binomio e l’altra il quadrato del binomio; integriamo ciascuna frazione ottenuta.

Gli integrali ESEMPIO 2𝑥+1 4𝑥 2 −4𝑥+1 𝑑𝑥= 2𝑥+1 (2𝑥−1) 2 𝑑𝑥 Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 2𝑥+1 4𝑥 2 −4𝑥+1 𝑑𝑥= 2𝑥+1 (2𝑥−1) 2 𝑑𝑥 Cerchiamo due numeri 𝐴 e 𝐵 tali che sia: 2𝑥+1 (2𝑥−1) 2 = 𝐴 2𝑥−1 + 𝐵 (2𝑥−1) 2

Gli integrali Perciò: eseguendo la somma delle due frazioni: Integrazione delle funzioni razionali fratte Perciò: eseguendo la somma delle due frazioni: 𝐴 2𝑥−1 + 𝐵 (2𝑥−1) 2 = 𝐴 2𝑥−1 +𝐵 (2𝑥−1) 2 = 2𝐴𝑥−𝐴+𝐵 (2𝑥−1) 2 allora dovrà essere: 2𝐴=2 −𝐴+𝐵=1 → 𝐴=1 𝐵=2 Possiamo quindi scrivere: 2𝑥+1 (2𝑥−1) 2 𝑑𝑥= 1 2𝑥−1 𝑑𝑥+ 2 (2𝑥−1) 2 = 1 2 2 2𝑥−1 𝑑𝑥+ 2 (2𝑥−1) −2 𝑑𝑥 Integrando otteniamo: 1 2 ln 2𝑥−1 − 1 2𝑥−1 +𝑐

Gli integrali III CASO: il discriminante è negativo Integrazione delle funzioni razionali fratte III CASO: il discriminante è negativo Caso del numeratore costante Il metodo di integrazione consiste nel ricondursi alla forma nota: 𝑓′(𝑥) [𝑓 𝑥 ] 2 +𝑘 𝑑𝑥= 1 𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑓(𝑥) 𝑘 +𝑐 (𝑐𝑜𝑛 𝑘>0)

Gli integrali ESEMPIO 5 3 𝑥 2 −2𝑥+1 𝑑𝑥 Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 5 3 𝑥 2 −2𝑥+1 𝑑𝑥 Per trasformare il denominatore seguiamo il seguente procedimento: raccogliamo il coefficiente del termine di grado massimo: 3 𝑥 2 − 2 3 𝑥+ 1 3 aggiungiamo e togliamo all’interno della parentesi un termine opportuno in modo da ricondurci al quadrato di un binomio: 3 𝑥 2 − 2 3 𝑥+ 1 3 =3 𝑥 2 − 2 3 𝑥+ 1 9 − 1 9 + 1 3 =3 𝑥− 1 3 2 + 2 9

Gli integrali L’integrale diventa: 5 3 1 𝑥− 1 3 2 + 2 9 𝑑𝑥 Integrazione delle funzioni razionali fratte L’integrale diventa: 5 3 1 𝑥− 1 3 2 + 2 9 𝑑𝑥 con 𝑓 𝑥 =𝑥− 1 3 , 𝑓 ′ 𝑥 =1, 𝑘= 2 9 . Applicando la regola di integrazione troviamo: 5 3 𝑥 2 −2𝑥+1 𝑑𝑥= 5 3 1 2 9 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥− 1 3 2 9 +𝑐= 5 2 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2 (3𝑥−1) 2 +𝑐

Gli integrali Caso in cui il numeratore è un polinomio di primo grado Integrazione delle funzioni razionali fratte Caso in cui il numeratore è un polinomio di primo grado In questo caso dobbiamo prima trasformare il numeratore in modo che compaia la derivata del numeratore e poi riscrivere la frazione come somma di due componenti: una in cui il numeratore è la derivata del denominatore e l’altra in cui il numeratore è costante.

Gli integrali ESEMPIO 𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥 𝐷 𝑥 2 +𝑥+1 =2𝑥+1. Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥 𝐷 𝑥 2 +𝑥+1 =2𝑥+1. Moltiplichiamo e dividiamo la frazione per 2 in modo da ottenere 2𝑥: 1 2 2𝑥+2 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥 Abbiamo così: 1 2 2𝑥+1+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥= 1 2 2𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥+ 1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥 = = 1 2 2𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥+ 1 2 1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥

Gli integrali Integrazione delle funzioni razionali fratte Calcoliamo separatamente i due integrali omettendo per il momento la costante additiva: 1 2 2𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥= 1 2 ln⁡( 𝑥 2 +𝑥+1 ) 1 2 1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥= 1 2 1 𝑥 2 +𝑥+ 1 4 − 1 4 +1 𝑑𝑥= 1 2 1 𝑥+ 1 2 2 + 3 4 𝑑𝑥= = 1 2 ∙ 1 3 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥+ 1 2 3 4 = 3 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3 (2𝑥+1) 3 In definitiva: 𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥= 1 2 ln 𝑥 2 +𝑥+1 + 3 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3 (2𝑥+1) 3 +𝑐

Gli integrali Integrazione delle funzioni razionali fratte Riassumiamo in una tabella la procedura di calcolo nei tre casi visti:

Gli integrali Il caso 𝐦≥𝐧 Integrazione delle funzioni razionali fratte Il caso 𝐦≥𝐧 Se la frazione 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ha il numeratore di grado maggiore o uguale di quello del denominatore, si esegue la divisione tra polinomi: 𝑄 𝑥 : quoziente 𝑅 𝑥 : resto 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) =𝑄 𝑥 + 𝑅(𝑥) 𝐵(𝑥) Il calcolo dell’integrale si riconduce alla determinazione della primitiva del polinomio 𝑄(𝑥) e della frazione 𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥) con le regole viste nei casi precedenti.

Gli integrali ESEMPIO 𝑥 2 +1 𝑥+1 𝑑𝑥 Eseguiamo la divisione: 𝑥 2 +1 𝑥+1 Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 𝑥 2 +1 𝑥+1 𝑑𝑥 Eseguiamo la divisione: 𝑥 2 +1 𝑥+1 −𝑥 2 −𝑥 𝑥−1 −𝑥+1 +𝑥+1 2 Quindi: 𝑥 2 +1 𝑥+1 𝑑𝑥= 𝑥−1 𝑑𝑥+ 2 𝑥+1 𝑑𝑥= 𝑥 2 2 −𝑥+2 ln 𝑥+1 +𝑐

Gli integrali Integrazione per parti Date due funzioni 𝑓 𝑥 e 𝑔(𝑥) continue con derivata continua in un intervallo [𝑎, 𝑏], si ha: 𝑓 ′ 𝑥 ∙𝑔 𝑥 𝑑𝑥=𝑓 𝑥 ∙𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥)∙ 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 Questa formula si applica quando la funzione integranda può essere vista come prodotto di due funzioni, una delle quali è la derivata di una funzione nota. La funzione 𝑔(𝑥) prende il nome di fattore finito. La funzione 𝑓(𝑥) prende il nome di fattore differenziale.

Gli integrali ESEMPIO 𝑥∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 ∙𝑥− 𝑒 𝑥 ∙1 𝑑𝑥=𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 +𝑐 Integrazione per parti ESEMPIO 𝑥∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 ∙𝑥− 𝑒 𝑥 ∙1 𝑑𝑥=𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 +𝑐 𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔′(𝑥)

Gli integrali Integrazione per sostituzione Questo metodo si usa quando, operando un cambio di variabile, si riesce ad ottenere un integrale immediato o facilmente calcolabile. Posto 𝑥=𝑔(𝑡) si sfrutta l’uguaglianza: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑓[𝑔 𝑡 ]∙ 𝑔 ′ 𝑡 𝑑𝑡

Gli integrali ESEMPIO Calcoliamo 𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥. Integrazione per sostituzione ESEMPIO Calcoliamo 𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥. I passo: poniamo 𝑥 =𝑡 cioè 𝑥= 𝑡 2 , con 𝑡≥0. La funzione da integrare diventa: 𝑡 1+ 𝑡 2 . II passo: dobbiamo calcolare 𝑑𝑥. Differenziamo entrambi i membri dell’uguaglianza 𝑥=𝑡 2 : 𝑑𝑥=2𝑡 𝑑𝑡.

Gli integrali III passo: operiamo le sostituzioni. Integrazione per sostituzione III passo: operiamo le sostituzioni. 𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥= 𝑡 1+ 𝑡 2 ∙2𝑡 𝑑𝑡= 2 𝑡 2 1+ 𝑡 2 𝑑𝑡 Calcoliamo l’integrale: 2 𝑡 2 1+ 𝑡 2 𝑑𝑡=2 𝑡 2 1+ 𝑡 2 𝑑𝑡=2 𝑡 2 +1−1 1+ 𝑡 2 𝑑𝑡 = =2 𝑡 2 +1 𝑡 2 +1 𝑑𝑡− 1 1+𝑡 2 𝑑𝑡 =2 𝑑𝑡− arctan 𝑡 +𝑐= =2 𝑡− arctan 𝑡 +𝑐 IV passo: operiamo la sostituzione inversa; otteniamo: 𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥=2 𝑥 −2 arctan 𝑥 +𝑐

Gli integrali Sintetizziamo la procedura: Integrazione per sostituziome Sintetizziamo la procedura: si opera una opportuna sostituzione 𝑥=𝑔 𝑡 si differenziano entrambi i membri della relazione ottenendo 𝑑𝑥= 𝑔 ′ 𝑡 𝑑𝑡 si sostituisce a 𝑑𝑥 la sua espressione in funzione di 𝑡 si integra la nuova funzione in 𝑡 ottenuta si opera infine la sostituzione inversa.

Gli integrali Integrazione per sostituzione Segnaliamo alcune sostituzioni particolari, dove 𝑘 rappresenta un numero reale: 𝑘 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 si pone 𝑥=𝑘 sin 𝑡 𝑥 2 ± 𝑘 2 𝑑𝑥 e 1 𝑥 2 ± 𝑘 2 𝑑𝑥 si pone 𝑥 2 ± 𝑘 2 =𝑡−𝑥