Le Funzioni Goniometriche Lezione di Matematica Emanuele Paone

Prerequisiti Fino ad adesso per misurare gli angoli abbiamo utilizzato il sistema sessagesimale, ma ora con lo studio della goniometria ci è utile anche utilizzare i radianti. Definizione di radiante: Data una circonferenza, chiamiamo radiante l’angolo al centro che insiste su un arco di lunghezza uguale al raggio.

VALORI NOTEVOLI DI ANGOLI IN RADIANTI: Andiamo a vedere quanto valgono gli angoli in radianti, partiamo dall’angolo giro: 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑔𝑖𝑟𝑜= 𝑙𝑢𝑛𝑔ℎ𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑟𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜 = 2π𝑟 𝑟 =2π 180°= 360° 2 = 2π 2 = π 90°= 180° 2 = π 2 60°= 180° 3 = π 3 45°= 180° 4 = π 4 30°= 180° 6 = π 6

IL PIANO CARTESIANO Con piano Cartesiano si intende un sistema di riferimento basato sulle coordinate cartesiane in cui ogni b b punto viene individuato attraverso una coppia ordinata di numeri reali. Esso è costituito da due assi detti ascisse (x) e ordinate (y) che si intersecano in un punto detto origine (O) ed è costituito da 4 quadranti. Riguardo il nostro corso viene utilizzato il senso orario(come quello in figura) mentre nelle altre scuole il senso antiorario.

𝐼𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑠𝑖 𝑝𝑢ò 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑎𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑖 𝐵 La Funzione Seno 𝐼𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑖 α è 𝑢𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑎 𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑑 ′ α 𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙 ′ 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎. 𝑠𝑒𝑛α= 𝐵𝐶 𝐵𝑂 = 𝐵𝐶 1 = 𝐵𝐶 𝐼𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑠𝑖 𝑝𝑢ò 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑎𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑖 𝐵 Da OA si ha l’origine di tutti gli archi, sulla circonferenza goniometrica OA vale 1. Ma perché proprio 1? Semplice se consideriamo circonferenze concentriche si ottengono triangoli simili ed il rapporto dei loro lati è costante, per convenzione si è deciso 1 come raggio unitario.

Valori della funzione seno Andiamo a vedere i valori che assume il seno nei vari angoli: 𝑠𝑒𝑛0°=0 𝑠𝑒𝑛90°=1 𝑠𝑒𝑛180°=0 −1≤𝑠𝑒𝑛α≤1 𝑠𝑒𝑛270°=−1 𝑠𝑒𝑛360°=0 Il seno nel I° quadrante è crescente (0 a 1), nel II° decrescente (1 a 0); nel III° è decrescente (0 a -1) e nel IV° crescente (-1 a 0).Inoltre il seno è una funzione periodica di periodo di 360° 𝑠𝑒𝑛 α+𝑘360° =𝑠𝑒𝑛α

𝐼𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑠𝑖 𝑝𝑢ò 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝐵 La Funzione Coseno 𝐼𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑖 α è 𝑢𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑎 𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑑 ′ α 𝑒 𝑖𝑙 𝑟𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜. 𝑐𝑜𝑠α= 𝐶𝑂 𝐵𝑂 = 𝐶𝑂 1 = 𝐶𝑂 𝐼𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑠𝑖 𝑝𝑢ò 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝐵 Ricorda che le funzioni goniometriche non hanno unità di misura, sono numeri puri.

Valori della funzione coseno Andiamo a vedere i valori che assume il coseno nei vari angoli: cos0°=1 cos90°=0 cos180°=−1 −1≤𝑐𝑜𝑠α≤1 cos270°=0 cos360°=1 Il coseno nel I° quadrante è decrescente (1 a 0), nel II° decrescente (1 a -1); nel III° è crescente (-1 a 0) e nel IV° crescente (0 a 1). Inoltre il coseno è una funzione periodica di periodo di 360° 𝑐𝑜𝑠 α+𝑘360° =𝑐𝑜𝑠α

Prima relazione fondamentale Consideriamo il triangolo rettangolo OBC, per il Teorema di Pitagora 𝐵𝐶 2 + 𝑂𝐶 2 = 𝑂𝐵 2 Facciamo le sostituzioni: 𝑠𝑒𝑛 2 α+ 𝑐𝑜𝑠 2 α=1 Si ricava che: 𝑠𝑒𝑛α=± 1− 𝑐𝑜𝑠 2 α 𝑐𝑜𝑠α=± 1− 𝑠𝑒𝑛 2 α Prima Relazione Fondamentale della Goniometria

Tangente di un angolo Si definisce tangente il rapporto tra il cateto opposto ad α e il cateto adiacente ad α. 𝑡𝑔α= 𝐴𝑇 𝐴𝑂 = 𝐴𝑇 1 = 𝐴𝑇

Valori della funzione tangente Vediamo i valori che assume la tangente 𝑡𝑔0°=0 𝑡𝑔90°=∄ α→90° 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑝𝑖𝑢 𝑝𝑖𝑐𝑐𝑜𝑙𝑖 𝑑𝑖 90 𝑡𝑔α→+∞ α→90° 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑝𝑖𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑖 𝑑𝑖 90 𝑡𝑔α→−∞ 𝑡𝑔180°=0 𝑡𝑔270°=∄ α→270° 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑝𝑖𝑢 𝑝𝑖𝑐𝑐𝑜𝑙𝑖 𝑑𝑖 270 𝑡𝑔α→+∞ α→270° 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑝𝑖𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑖 𝑑𝑖 270 𝑡𝑔α→−∞ 𝑡𝑔360°=0 La tangente ha periodo di 180°: 𝑡𝑔 α+𝑘180° =𝑡𝑔α

Seconda relazione fondamentale Consideriamo i triangoli 𝑂𝐴𝑇 𝑒 𝑂𝐶𝐵 Essi sono simili perché hanno: l’angolo retto e α in comune. Scriviamo il rapporto di similitudine: 𝐶𝐵 : 𝑂𝐶 = 𝐴𝑇 : 𝐴𝑂 Facciamo le sostituzioni e otteniamo: 𝑠𝑒𝑛α:𝑐𝑜𝑠α=𝑡𝑔α:1 𝑡𝑔α= 𝑠𝑒𝑛α 𝑐𝑜𝑠α Seconda relazione fondamentale della goniometria

Cotangente di un angolo Si definisce cotangente il rapporto del segmento che si ottiene prolungando il raggio sulla retta tangente e il raggio c𝑜𝑡𝑔α= 𝐷𝐸 𝑂𝐵 = 𝐷𝐸 1 = 𝐷𝐸

Valori della funzione cotangente Vediamo i valori che assume la tangente co𝑡𝑔0°=∄ α→0° 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑝𝑖𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑖 𝑑𝑖 0 𝑐𝑜𝑡𝑔α→+∞ α→0° 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑝𝑖𝑢 𝑝𝑖𝑐𝑐𝑜𝑙𝑖 𝑑𝑖 0 𝑐𝑜𝑡𝑔α→−∞ 𝑐𝑜𝑡𝑔90°=0 𝑐𝑜𝑡𝑔180=∄ α→180° 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑝𝑖𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑖 𝑑𝑖 180 𝑐𝑜𝑡𝑔α→−∞ α→180° 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑝𝑖𝑢 𝑝𝑖𝑐𝑐𝑜𝑙𝑖 𝑑𝑖 180 𝑐𝑜𝑡𝑔α→+∞ 𝑐𝑜𝑡𝑔270°=0 Per la cotangente di 360° si fa lo stesso ragionamento a 0° La cotangente ha periodo di 180°: co𝑡𝑔 α+𝑘180° =𝑐𝑜𝑡𝑔α

Terza relazione fondamentale Consideriamo i triangoli 𝑂𝐶𝐷 𝑒 𝐷𝐸𝑂 Essi sono simili perché hanno: l’angolo retto e α e α’ alterni interni. Scriviamo il rapporto di similitudine: 𝐵𝐶 : 𝑂𝐵 = 𝑂𝐸 : 𝐷𝐸 Facciamo le sostituzioni e otteniamo: 𝑠𝑒𝑛α:𝑐𝑜𝑠α=1:𝑐𝑜𝑡𝑔α co𝑡𝑔α= 𝑐𝑜𝑠α 𝑠𝑒𝑛α Terza relazione fondamentale della goniometria

Seno, coseno, tangente e cotangente di 30°, 45° e 60°

SENO, COSENO, TANGENTE E COTANGENTE DI 60° 𝑠𝑒𝑛α= 𝑙 2 − 𝑙 2 2 = 3 4 = √3 2 𝑐𝑜𝑠α = 𝑙 2 = 1 2 𝑡𝑔α= √3 2 ∙2=√3 𝑐𝑜𝑡𝑔α= 1 2 ∙ 2 √3 = √3 3

La secante che è uguale a 1/cosαe la cosecante che è uguale a 1/senα SENO, COSENO, TANGENTE E COTANGENTE DI 45° 𝑠𝑒𝑛α=𝑂𝐵∙ √2 2 = √2 2 𝑐𝑜𝑠α= 𝑂𝐵∙ √2 2 = √2 2 𝑡𝑔α= √2 2 ∙ 2 2 =1 co𝑡𝑔α= √2 2 ∙ 2 2 =1 Oltre al seno, coseno, tangente e cotangente abbiamo altre due funzioni: La secante che è uguale a 1/cosαe la cosecante che è uguale a 1/senα

Angoli associati ANGOLI SUPPLEMENTARI : α; 180-α Consideriamo i triangoli OCB e OB’C’ sono congruenti per il III° criterio dei triangoli rettangoli perché hanno: CB e C’B’ congruenti per costruzione OB e OB’ perché raggi. Di conseguenza possiamo dire: v 𝑠𝑒𝑛 180−α =𝑠𝑒𝑛α cos 180−α =−𝑐𝑜𝑠α 𝑡𝑔 180−α =−𝑡𝑔α 𝑐𝑜𝑡𝑔 180−α =−𝑐𝑜𝑡𝑔α

ANGOLI LA CUI DIFFERENZA E’ 180 : α; 180+α Consideriamo i triangoli OCB e OB’C’ sono congruenti per il III° criterio dei triangoli rettangoli perché hanno: CB e C’B’ congruenti per costruzione OB e OB’ perché raggi. Di conseguenza possiamo dire: 𝑠𝑒𝑛 180+α =−𝑠𝑒𝑛α cos 180+α =−𝑐𝑜𝑠α 𝑡𝑔 180+α =𝑡𝑔α 𝑐𝑜𝑡𝑔 180+α =𝑐𝑜𝑡𝑔α

ANGOLI ESPLEMENTARI : α; 360-α Consideriamo i triangoli OCB e OCB’ sono congruenti per il III° criterio dei triangoli rettangoli perché hanno: CB e CB’ congruenti per costruzione OB e OB’ perché raggi. Di conseguenza possiamo dire: 𝑠𝑒𝑛 360−α =−𝑠𝑒𝑛α cos 360−α =𝑐𝑜𝑠α 𝑡𝑔 360−α =−𝑡𝑔α 𝑐𝑜𝑡𝑔 360−α =−𝑐𝑜𝑡𝑔α

ANGOLI COMPLEMENTARI : α; 90-α Consideriamo i triangoli OCB e OC’B’ sono congruenti per il III° criterio dei triangoli rettangoli perché hanno: CB e C’B’ congruenti per costruzione OB e OB’ perché raggi. Di conseguenza possiamo dire: 𝑠𝑒𝑛 90−α =𝑐𝑜𝑠α cos 90−α =𝑠𝑒𝑛α 𝑡𝑔 90−α = 𝑠𝑒𝑛(90−α) cos⁡(90−α) = 𝑐𝑜𝑠α 𝑠𝑒𝑛α =𝑐𝑜𝑡𝑔α co𝑡𝑔 90−α = 𝑐𝑜𝑠(90−α) sen⁡(90−α) = 𝑠𝑒𝑛α 𝑐𝑜𝑠α =𝑡𝑔α Ricorda che a 90±α e a 270±α I valori di seno e coseno si scambiano e di conseguenza anche la tangente e cotangente

ANGOLI LA CUI DIFFERENZA E’ UN ANGOLO RETTO : α; 90+α Consideriamo i triangoli OCB e OC’B’ sono congruenti per il III° criterio dei triangoli rettangoli perché hanno: CB e C’B’ congruenti per costruzione OB e OB’ perché raggi. Di conseguenza possiamo dire: 𝑠𝑒𝑛 90+α =𝑐𝑜𝑠α cos 90+α =−𝑠𝑒𝑛α 𝑡𝑔 90+α =−𝑐𝑜𝑡𝑔α co𝑡𝑔 90+α =−𝑡𝑔α

ANGOLI LA CUI SOMMA E’ 270°: α; 270-α Consideriamo i triangoli OCB e OC’B’ sono congruenti per il III° criterio dei triangoli rettangoli perché hanno: CB e C’B’ congruenti per costruzione OB e OB’ perché raggi. Di conseguenza possiamo dire: 𝑠𝑒𝑛 270−α =−𝑐𝑜𝑠α cos 270−α =−𝑠𝑒𝑛α 𝑡𝑔 270−α =𝑐𝑜𝑡𝑔α co𝑡𝑔 270−α =𝑡𝑔α

ANGOLI LA CUI DIFFERENZA E’ 270°: α; 270+α Consideriamo i triangoli OCB e OC’B’ sono congruenti per il III° criterio dei triangoli rettangoli perché hanno: CB e C’B’ congruenti per costruzione OB e OB’ perché raggi. Di conseguenza possiamo dire: 𝑠𝑒𝑛 270+α =−𝑐𝑜𝑠α cos 270+α =𝑠𝑒𝑛α 𝑡𝑔 270+α =−𝑐𝑜𝑡𝑔α co𝑡𝐺 270+α =−𝑡𝑔α

Grafici delle funzioni goniometriche Tutte le funzioni goniometriche hanno un loro grafico; incominciamo dal seno il cui grafico viene chiamato Sinusoide Impostiamo la funzione 𝑦=𝑠𝑒𝑛𝑥 e sostituiamo i valori; dopodiché riportiamo i punti sul piano cartesiano e otteniamo: Il grafico della sinusoide varia tra -1 e 1 e ha periodo 0−2π

Dopo la sinusoide abbiamo la cosinusoide, il grafico della funzione coseno. Anche qui impostiamo la funzione 𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥 e sostituiamo i valori; dopo aver fatto ciò li riportiamo nel piano e otteniamo: Possiamo notare che la cosinusoide ha una traslazione di -π/2 rispetto alla sinusoide. E’ una funzione che varia tra -1 e 1 ed ha periodo 1−2π

Ora facciamo lo stesso ragionamento anche per la tangente il quale grafico si chiama tangentoide: Impostiamo la funzione 𝑦=𝑡𝑔𝑥 e sostituiamo i valori; dopo aver fatto ciò li riportiamo nel piano e otteniamo: La funzione varia tra −∞e +∞ ed ha periodo π. Inoltre in corrispondenza di π/2 e 3/2π vi è l’asintoto(verticale) il quale non si interseca mai con la funzione.

Dopo aver fatto il ragionamento per la tangente facciamo lo stesso per la cotangente però impostando la funzione 𝑦=𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥. Otteniamo: Questo grafico è chiamato cotangentoide ,varia tra −∞e +∞ ed ha periodo π. Anche qui vi è presente l’asintoto che si trova in corrispondenza di π e 2π.

Funzioni goniometriche inverse Per esempio se abbiamo 𝑠𝑒𝑛α= 1 2 come facciamo a ricavare l’angolo alfa? Semplice introduciamo la funzione inversa al seno che viene chiamata arcoseno. Quindi α=𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 1 2 =30° Le funzioni inverse delle altre funzioni si chiamano: Per il coseno si chiama arcocoseno Per la tangente si chiama arcotangente Per la cotangente si chiama arcocotangente

La lezione è finita…. …ci vediamo alla prossima!!! Emanuele Paone E se sei appassionato ricorda di visitare il sito della mia docente: blog.libero.it/ruffini Dove trovi tantissime curiosità e gli altri miei lavori. Ciao!!