Tecniche di massimizzazione del rapporto segnale rumore Segnali continui

Ottimizzazione del rapporto segnale rumore nel caso di segnali continui, deboli Consideriamo una semplice misura di intensità luminosa Occorre considerare che quando il segnale è molto debole (campione molto assorbente ) il rapporto segnale rumore può essere inaccettabile. Il rumore può avere molte cause ( ambiente, rivelatore, elettronica ecc.)

a 50Hz e 150 Hz troviamo il rumore dovuto ai sistemi di alimentazione Spettro di potenza del segnale e del rumore Note: Aumento del rumore alle basse frequenze ( fliker noise+corrente di buio+effetti ambientali) a 50Hz e 150 Hz troviamo il rumore dovuto ai sistemi di alimentazione 100 Hz rumore prodotto dalla illuminazione ambientale A frequenze >150 Hz shot noise approx . costante

Un modo per migliorare l’esperimento è quello di utilizzare un filtro che elimini le alte frequenze Ma se l’informazione che cerchiamo è a frequenze vicine allo zero, un filtro a 30Hz, dà solo un parziale miglioramento.

Se abbiamo necessità di un ulteriore miglioramento dobbiamo spostare l’informazione del segnale a frequenze più alte Per farlo possiamo utilizzare un modulatore (chopper) , che utilizzi una frequenza alta (es. 175 Hz). Dovremo quindi utilizzare un filtro passa basso per ottenere alla fine un notevole incremento del rapporto segnale/rumore

Svantaggi: Fattore di qualità Q del filtro . Più stretta è la banda passante, migliore è la reiezione del rumore, ma valori di Q utilizzabili sono intorno a 100 Ogni piccola deriva della frequenza di modulazione produce grandi variazioni dell’uscita ( filtro non più accordato con la modulazione del segnale) Il raddrizzatore ( diodo) raddrizza anche il rumore, che quindi genera un livello DC che si somma al segnale

Tutti questi problemi posso essere superati con un sistema di rivelazione sensibile alla fase Al posto del filtro c’e’ un interruttore che è comandato dallo stesso segnale del modulatore. La rettificazione del segnale avviene solo quando il comando dell’interruttore è in fase con la modulazione del segnale. Lo schema funziona come un filtro passa banda ma la frequenza è bloccata alla stessa frequenza del modulatore.

Implementazione : amplificatori lock-in La rivelazione sensibile alla fase è un metodo potente per rivelare segnali molto piccoli in presenza di rumore dominante. Metodo sviluppato nel 1960, è diventato una tecnica sperimentale usata in moltissime applicazioni, e l’amplificatore lock-in è lo strumento che rende possibile questo metodo. Un amplificatore lock-in è semplicemente un particolare voltmetro in AC. Oltre al segnale di ingresso esso richiede un segnale periodico di riferimento. L'amplificatore, quindi risponde solo alla parte del segnale in ingresso alla frequenza di riferimento con una relazione di fase fissa. Sfruttando questa caratteristica, è possibile misurare segnali che altrimenti sarebbero completamente sommersi dal rumore.

Lo schema di principio è molto semplice: Si consideri un segnale sinusoidale di ingresso Supponiamo di avere la disponibilità di un segnale di riferimento: Il prodotto dei due presenta battimenti alle frequenza somma e differenza: Se ω ‡ Ω il prodotto oscilla nel tempo con una media nulla

Se ω = Ω : DC Se siamo in grado di estrarre la componente DC di questo prodotto e di regolare φ, otteniamo una misura diretta dell'ampiezza del segnale V0. La figura seguente illustra come funziona un amplificatore lock-in: Passa basso Phase shifter

L'idea è semplice, ma l'implementazione è difficile e spesso costosa Occorre approfondire alcuni aspetti: il segnale di riferimento effettivo non deve necessariamente essere sinusoidale. l'ingresso non deve essere sinusoidale, ma semplicemente periodico con frequenza Ω. Sarà l’amplificatore lock-in a selezionare la componente principale di Fourier dell'onda in ingresso. il filtro passa-basso non deve essere perfetto il moltiplicatore (o 'demodulatore') può essere un dispositivo difficile da realizzare in forma analogica. Ma l’approccio digitale comporta il problema della dinamica ( numero di bit)

Consideriamo l’amplificatore lock-in come una macchina che esegue l'operazione seguente: Di solito, lo sperimentatore regola la fase in modo che φ = 0, ossia segnale massimo. I Lock-in sono calibrati in modo che la tensione di uscita massima sia uguale al rms del segnale:

Punto delicato, ma importante (e utile): raramente capita di modulare direttamente una tensione sinusoidale, piuttosto abbiamo a che fare con qualche parametro fisico.   Parametro modulato alla frequenza Ω il sistema risponde con una tensione Va tutto bene se la risposta del sistema e del rilevatore sono lineari

Supponiamo di modulare la grandezza intorno al valore medio alla frequenza di riferimento Ω, con ampiezza A: L’uscita del rivelatore sarà una tensione: L'output sarà ancora periodico nel tempo, ma non necessariamente un'onda sinusoidale. Il lock-in fornirà quindi il valore rms della componente fondamentale della trasformata di Fourier di questa funzione.

Tuttavia, se l’ampiezza di modulazione A è 'adeguatamente' piccola, si può considerare lo sviluppo in serie di Taylor: E l’uscita dell’amplificatore lock-in sarà :

L’ uscita del lock-in è proporzionale, non solo all'ampiezza di modulazione A, ma anche alla derivata della risposta del sistema per s = s. Abbiamo assunto che la differenza di fase relativa sia stata fissata in modo che φ = 0. Altrimenti dobbiamo includere il fattore cos(φ).

Funzione non lineare V(s) Funzione non lineare V(s). Due ingressi s1 e s2, ognuno modulato con ampiezza A. L’uscita dipende non solo dall'ampiezza di modulazione A, ma anche dalla pendenza. Se l'ampiezza non è sufficientemente piccola……..

Con questa tecnica si misura non solo la derivata della risposta, ma anche il segno. L'ampiezza del segnale di uscita è proporzionale a Ma la sensibilità alla fase permette anche di determinarne il segno.

L'output (curva di dispersione) è bipolare, con zero crossing a υ0. La proporzionalità dell'output da dV / ds è in realtà molto utile in un gran numero di situazioni. Un esempio importante si trova nella spettroscopia quando si studia l’ assorbimento di un campione in funzione della frequenza della radiazione incidente υ vicino ad una risonanza centrata a υ0 Se variamo sinusoidalmente la frequenza intorno a un valore medio , possiamo usare la tecnica di lock-in per determinare l'assorbimento in funzione di . L'output (curva di dispersione) è bipolare, con zero crossing a υ0. Vantaggio: In presenza di rumore o per segnali deboli, la curva di dispersione si dimostra più precisa nel determinare la posizione del massimo del picco.

Consideriamo il caso in cui si voglia stabilizzare un laser a diodo rispetto alle derive della frequenza ( ad esempio quelle termiche) Consideriamo un diodo laser in grado di produrre un fascio di uscita quasi monocromatico IR. La lunghezza d'onda di uscita è determinata da un controller, trascurando i dettagli: la tensione di ingresso regola λ in un certo range. Controller reale la lunghezza d'onda del fascio tenderà ad allontanarsi dal valore impostato. Per stabilizzare il laser, il fascio di uscita (o una parte di esso) viene fatto passare attraverso una cella contenete vapori di Cs. Quindi, se la lunghezza d'onda laser è fissata sulla risonanza del Cs ( riga D1) , un lock-in può essere utilizzato per mantenere fissa questa frequenza.

Altro argomento importante: Quando si possono modulare più parametri, la scelta va fatta con attenzione. Esempio: Misura della costante di Hall (RH) di un metallo tramite misura della tensione di Hall Con δ spessore del campione I Intensità della corrente che attraversa il campione B campo di induzione magnetica applicato R resistenza parassita ( incognita)

Se moduliamo I : otterremo Che però contiene ancora la resistenza incognita T, che di solito è grande rispetto ad RH Se moduliamo B : Otteniamo:

Sullo stesso principio opera la rivelazione Eterodina Utilizzata in moltissime applicazioni nelle quali è necessario rivelare debolissimi segnali a frequenza nota o comunque fissa Se si tratta di segnali continui, questi possono essere modulati a frequenza fissa e quindi rientrano nella fattispecie ( look-in del quale abbiamo già discusso)

Schema di principio Il segnale di riferimento e quello da rivelare vengono combinati in un dispositivo a risposta non lineare

Sia F(s) la funzione di risposta , non lineare, del dispositivo (mixer) al segnale s. La F puo’ essere sviluppata in serie: 𝐹 𝑠 = 𝑎 1 𝑠+ 𝑎 2 𝑠 2 + 𝑎 3 𝑠 3 ……. Supponiamo che i segnali in ingresso abbiano la forma: 𝐴 1 𝑠𝑒𝑛 𝜔 1 𝑡 ; 𝐴 2 𝑠𝑒𝑛 𝜔 2 𝑡 Si ottiene: 𝑆 𝑜𝑢𝑡 = 𝐹( 𝐴 1 𝑠𝑒𝑛 𝜔 1 𝑡 + 𝐴 2 𝑠𝑒𝑛 𝜔 2 𝑡) 𝑆 𝑜𝑢𝑡 = 𝑎 1 𝐴 1 𝑠𝑒𝑛 𝜔 1 𝑡 + 𝐴 2 𝑠𝑒𝑛 𝜔 2 𝑡 + 𝑎 2 𝐴 1 𝑠𝑒𝑛 𝜔 1 𝑡 + 𝐴 2 𝑠𝑒𝑛 𝜔 2 𝑡 2 +….   𝑆 𝑜𝑢𝑡 = 𝑎 1 𝐴 1 𝑠𝑒𝑛 𝜔 1 𝑡 + 𝐴 2 𝑠𝑒𝑛 𝜔 2 𝑡 + 𝑎 2 𝐴 2 1 𝑠 𝑒𝑛 2 𝜔 1 𝑡 +2 𝐴 1 𝐴 2 𝑠𝑒𝑛 𝜔 1 𝑡𝑠𝑒𝑛 𝜔 1 𝑡+ 𝐴 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝜔 2 2 𝑡 +… Il secondo termine contiene il prodotto delle funzioni sinusoidali di partenza..

Con un po’ di calcoli si ottiene: 𝑆 𝑜𝑢𝑡 = 𝑎 1 𝐴 1 𝑠𝑒𝑛 𝜔 1 𝑡 + 𝐴 2 𝑠𝑒𝑛 𝜔 2 𝑡 + 𝑎 2 𝐴 2 1 2 1−𝑐𝑜𝑠2 𝜔 1 𝑡 + 𝐴 1 𝐴 2 ( cos 𝜔 1 𝑡− 𝜔 2 𝑡 − cos 𝜔 1 𝑡+ 𝜔 2 𝑡 )+ 𝐴 2 2 2 1−𝑐𝑜𝑠2 𝜔 2 𝑡 +….. 𝐴 2 1 2 1−𝑐𝑜𝑠2 𝜔 1 𝑡 + 𝐴 1 𝐴 2 ( cos 𝜔 1 𝑡− 𝜔 2 𝑡 − cos 𝜔 1 𝑡+ 𝜔 2 𝑡 )+ 𝐴 2 2 2 1−𝑐𝑜𝑠2 𝜔 2 𝑡 +…..   L’uscita contiene quindi termini alla frequenza somma e differenza delle frequenze dei segnali di ingresso. Sono presenti anche termini a frequenze multiple (2ω1 , 2ω2 …..) di quelle originali ( armoniche) ed anche combinazioni più complesse , come αω1+ βω ..., (prodotti di intermodulazione). Ma tutte queste frequenze possono essere filtrate in modo da selezionare solo la componente di interesse (di solito: ω1-ω2)