dal libro di Babai & Frankl: Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science Lezione 4

Possiamo usare meno grafi bipartiti? Domanda del giorno Prendiamo il grafo completo su n nodi: Copriamo tutti gli archi esattamente una volta con grafi bipartiti completi: Possiamo usare meno grafi bipartiti? NO! Sono necessari n -1

servono “molte” matrici Domanda del giorno Kn B1 + B2 + ⋯ + Bm Copriamo tutti gli archi esattamente una volta con grafi bipartiti completi: servono “molte” matrici matrice “semplice” matrice “complessa” rango Sono necessari n -1

Rango delle matrici massimo numero di righe linearmente indipendenti 2 3 guarda le colonne rango(A) < n ⇒ Ax = 0 per qualche x≠0 rango(A+B) ≤ rango(A) + rango(B)

Domanda del giorno Sono necessari n -1 Falso! Kn = B1 + ⋯ + Bm Kn B1 + B2 + ⋯ + Bm servono “molte” matrici matrice “complessa” rango = n - 1 matrice “semplice” rango =1 copre (3,2) ma non (2,3) rango(A+B) ≤ rango(A) + rango(B) n - 1 ≤ m Sono necessari n -1

servono “molte” matrici Domanda del giorno Kn B1 + B2 + ⋯ + Bm servono “molte” matrici matrice “complessa rango =1 rango(Bi) = 1 Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S)  n - 1 rango(A+B) ≤ rango(A) + rango(B) da vedere n - 1 ≤ m Sono necessari n -1

ho “1” in uno ed uno solo tra Dettaglio mancante copre (3,2) ma non (2,3) Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S)  n - 1 per ogni ij ho “1” in uno ed uno solo tra (i,j) e (j,i) Kn=S + ST

Dettaglio mancante Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S)  n - 1 S + ST =Un - In Kn=S + ST Kn= Un - In

Dettaglio mancante rango(A) < n ⇒ Ax = 0 per qualche x≠0 Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S)  n - 1 S + ST =Un - In Per assurdo rango(S) ≤ n - 2 Sx = 0 con x ≠0 e ∑xi=0 rango(A) < n ⇒ Ax = 0 per qualche x≠0 rango(A+B) ≤ rango(A) + rango(B)

Dettaglio mancante Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S)  n - 1 S + ST =Un - In Per assurdo rango(S) ≤ n - 2 Sx = 0 con x ≠0 e ∑xi=0 (S + ST)x= STx= (Un - In)x = - x xTSTx = (xT) (- x) = -||x||20 xTST= (Sx)T = 0T 00

Ricetta del giorno (lower bound) Quanti “pezzi” B1 ,..., Bm servono per ottenere un oggetto O? Passo 1 associare matrici O B1,...,Bm Passo 2  O = B1+⋯ +Bm tradurre in somma B1,...,Bm O Passo 3 rango(O) ≥ R rango(Bi) ≤ r limitare rango 𝑚≥ 𝑅 𝑟

Esercizio Prendiamo il grafo completo su n nodi: Copriamo tutti gli archi un numero dispari di volte (può cambiare da arco ad arco) con grafi bipartiti completi. Dimostra che servono m ≥ (n-1)/2 grafi bipartiti. Sugg: può essere utile questa cosa: rango(A+B) ≥ rango(A) - rango(B)

Esercizio Dimostra che il rango della matrice Kn può cambiare a seconda del campo in cui facciamo le operazioni.

Cosa ricordare Una “ricetta” per dare un limite inferiore al numero di oggetti (rango) La prima ricetta del corso ci dava un limite superiore (linear algebra bound)