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Cinematica del moto rotatorio Sino adesso ci siamo occupati del moto traslatorio di un corpo. In questo caso ciascun punto del corpo si muove come tutti gli altri e quindi il moto di una singola particella, il punto materiale, è rappresentativo del moto dell’intero corpo. Adesso studieremo il moto rotatorio di un corpo. Cioè il caso in cui il corpo ruota attorno ad un certo asse. Per semplicità cominciamo a considerare il caso di un corpo rigido. Cioè un corpo in cui le distanze relative fra tutti i punti sono costanti, anche quando il corpo è soggetto a forze esterne. In questo caso, potremo trascurare eventuali vibrazioni del corpo in questione.

Sia una particella che un corpo rigido in moto traslatorio si possono identificare univocamente assegnando loro una posizione x, y, z nel nostro sistema di riferimento. Queste 3 coordinate tuttavia non sono sufficienti se il corpo rigido è anche soggetto ad un moto rotatorio oltre che ad un moto traslatorio. In generale, oltre alle tre coordinate x, y, z che definiscono la posizione di un punto di riferimento del corpo rigido, serviranno anche altre tre coordinate, tipicamente degli angoli, che definiscono l’orientazione del corpo rispetto al sistema di riferimento.

Le figure che seguono illustrano la differenza fra moto semplicemente traslatorio e moto traslatorio + rotatorio di un corpo rigido e la conseguente necessità di definire 6 coordinate Moto traslatorio y x

Moto traslatorio + rotatorio y x

In questo caso, oltre che definire le coordinate x0-y0 del punto di riferimento 0 sul corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento, dovremo definire anche l’orientazione di un sistema di assi x’-y’ solidale col corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento x-y. Moto traslatorio + rotatorio y’ y x’ y’ y’ x x’ x’

Studieremo questo tipo di moto separando il moto traslatorio dal moto rotatorio. Applicheremo in sostanza il principio di sovrapposizione. Cioè: ad ogni istante lo stato del corpo è definibile in base ad una traslazione + una rotazione

Rotazione Traslazione y x

Rotazione Traslazione y x

Rotazione Traslazione y x

Abbiamo già visto che per un sistema di particelle, rigido o non rigido, il centro di massa (baricentro) si muove come se tutta la massa fosse concentrata in quel punto e se tutte le forze esterne agissero su quel punto. Cioè il moto del centro di massa di un corpo rigido è determinato dalla: Fest = mtotale abaricentro Questo moto è ovviamente solo traslatorio, essendo il baricentro un punto. Quindi: Il moto traslatorio di un corpo può essere descritto dal moto del suo baricentro Il moto rotatorio sarà descritto dalla rotazione del corpo in questione rispetto ad un determinato sistema di assi

Definizione formale di moto puramente traslatorio e di moto puramente rotatorio Il moto di un corpo rigido è puramente traslatorio se tutti i punti del corpo subiscono lo stesso spostamento in un dato intervallo di tempo Il moto di un corpo rigido è puramente rotatorio se tutti i punti del corpo si muovono su dei cerchi i cui centri sono localizzati tutti lungo una retta detta asse di rotazione

Se per ogni punto del corpo in questione, tracciamo dei segmenti perpendicolari all’asse di rotazione, tutti questi segmenti ruoteranno di uno stesso angolo Δ θ in un dato intervallo di tempo Δt Δ θ Δ θ

E questo va inteso anche nel caso 3D

E questo va inteso anche nel caso 3D

Per semplicità di trattazione, adesso prenderemo in considerazione il caso di un corpo rigido che si estende solo in superfice, per esempio su un piano x-y e che ruota attorno ad un punto 0, preso come origine del sistema di assi. In questo caso l’asse di rotazione è l’asse z che interseca perpendicolarmente il piano x-y passando per 0. y O x z

Consideriamo un generico punto P e consideriamo il segmento O-P Consideriamo un generico punto P e consideriamo il segmento O-P. Questo segmento è fisso rispetto al corpo e ruota con esso. Ad ogni istante possiamo individuare la posizione del corpo specificando l’angolo θ che il segmento O-P forma con l’asse x, che stabiliremo positivo nel caso di rotazione in senso antiorario. y P θ O x θ  θ (t) z

Stabiliremo di misurare gli angoli in radianti Stabiliremo di misurare gli angoli in radianti. Un radiante è l’angolo al centro in un cerchio sotteso da un arco di s lunghezza pari al raggio R. Pertanto un angolo θ è espresso in radianti dalla relazione θ = s / R s = R 1 rad R Poiché la circonferenza di un cerchio di raggio R è lunga 2πR, vi sono 2π radianti in un angolo giro. Quindi 2π rad = 360°  1 rad ≈ 57,3 °

< ω > = (θ2 − θ1) / (t2 − t1 ) = Δθ / Δt Supponiamo che il corpo rigido in questione ruoti in senso antiorario. Indichiamo con θ1 l’angolo formato dal segmento O-P con l’asse x all’istante t1 e con θ2 l’angolo al tempo t2. Lo spostamento angolare nell’intervallo di tempo Δt = t2 − t1 sarà Δθ = θ2 − θ1 Definiremo la velocità angolare media < ω > del corpo nell’intervallo Δt : < ω > = (θ2 − θ1) / (t2 − t1 ) = Δθ / Δt In perfetta analogia con quanto abbiamo studiato in cinematica nel caso lineare, la velocità angolare istantanea sarà data dal limite per Δt  0 di questo rapporto: ω(t) = lim Δθ / Δt = dθ /dt Δt  0

La velocità angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo: e in generale l’unità di misura è il radiante / sec

< α > è definita dalla relazione: Se la velocità angolare ω (t) di un corpo non è costante, il corpo è soggetto ad una accelerazione angolare. In analogia con quanto abbiamo già studiato, indicate con ω1 e ω2 le velocità angolari agli istanti t1 e t2 l’accelerazione angolare media < α > è definita dalla relazione: < α > = (ω2 − ω1) / (t2 − t1 ) = Δ ω / Δt e di conseguenza l’accelerazione angolare istantanea è data dalla relazione α (t) = lim Δ ω / Δt = d ω /dt Δt  0

L’accelerazione angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo quadrato: e in generale l’unità di misura è il radiante / sec2

x [L] θ [ ] v = dx /dt [L T-1] ω = dθ /dt [T-1] a = dv/dt = d2x/dt2 Analogia fra le grandezze cinematiche lineari e quelle angolari Caso lineare Caso rotazionale x [L] θ [ ] v = dx /dt [L T-1] ω = dθ /dt [T-1] a = dv/dt = d2x/dt2 [L T-2] α = dω/dt = d2θ/dt2 [T-2] Le dimensioni lineari differiscono dalle corrispondenti dimensioni angolari per un fattore avente dimensione di una lunghezza, il che deriva dalla definizione di radiante θ= s / R che è un numero puro, essendo il rapporto fra due lunghezze

Carattere vettoriale delle grandezze rotazionali Avevamo visto che in cinematica lineare lo spostamento, la velocità e l’accelerazione sono grandezze vettoriali, cioè necessitano anche della definizione di una direzione e di un verso per essere individuate. Poi avevamo anche visto che nel caso unidimensionale la trattazione era riconducibile al semplice caso scalare, in quanto la direzione è già individuata, e il verso è specificato dal segno della grandezza scalare. A prima vista sembra che anche le grandezze rotazionali siano dei vettori, in quanto per ogni rotazione dobbiamo individuare l’asse di rotazione e il verso. E anche in questo caso laddove esiste solo un asse preassegnato, possiamo trattare le grandezze in questione come scalari. Tuttavia, prima di affermare che le grandezze rotazionali sono dei vettori occorre verificare che esse obbediscono alle regole del calcolo vettoriale, in particolare le regole sulla addizione di vettori

Consideriamo il caso dello spostamento angolare θ Si può verificare sperimentalmente che gli spostamenti angolari non si sommano come vettori. Infatti se si sommassero come vettori dovrebbero obbedire alle regole sulla somma dei vettori e in particolare alla proprietà commutativa della somma di due vettori, cioè: θ1 + θ2 = θ2 + θ1

Un libro ruota di 90° in senso orario visto di fronte, e poi in senso antiorario visto da sopra. Se l’ordine delle due rotazioni viene invertito la posizione finale è differente Lo stesso succede se si adotta un angolo di rotazione più piccolo, per esempio di 45°, ma in questo caso la differenza di orientazione finale è minore Nel caso di angoli sempre più piccoli, la differenza di orientazione finale tende a 0

dell’algebra vettoriale e infatti sono vettori Quindi: θ1 + θ2 = θ2 + θ1 Ma: dθ1 + dθ2 = dθ2 + dθ1 Gli spostamenti angolari infinitesimi obbediscono alla proprietà commutativa dell’algebra vettoriale e infatti sono vettori

ω(t) = dθ /dt ω Di conseguenza, la velocità angolare: poiché dθ è un vettore e dt è uno scalare, ω è un vettore (e di conseguenza anche α) Ma qual è la rappresentazione grafica di questo vettore? Consideriamo per esempio un cilindro che ruota attorno al proprio asse in senso antiorario: ω Il vettore velocità angolare ω è una freccia lungo la direzione dell’asse di rotazione, orientata verso l’alto se la rotazione è in senso antiorario e viceversa se è in senso orario, la cui lunghezza è pari al modulo ω.

La cosiddetta regola della mano destra La cosiddetta regola della mano destra. Nozione mnemonica: se con la mano destra si afferra idealmente l’asse di rotazione, in modo che le dita si avvolgano intorno ad esso nel senso della rotazione, allora il pollice disteso punta nella direzione del vettore ω

ω Notate che non c’è niente che si muove nella direzione del vettore ω Il moto avviene nel piano ortogonale ad esso. ω

Simboli comunemente usati: Se consideriamo un moto rotatorio in due dimensioni, tale cioè che si sviluppi per esempio sulla pagina del nostro quaderno: • Useremo il simbolo ๏ per il caso in cui il vettore emerge dalla pagina Useremo il simbolo per il caso in cui il vettore punta verso la pagina

๏ 

v = v0 + a t ω = ω0 + α t x = ½ ( v0 + v ) t θ = ½ ( ω0 + ω ) t Rotazione con accelerazione angolare costante Il caso più semplice di un moto rotatorio è quello che avviene con accelerazione costante In questo caso le equazioni del moto sono del tutto analoghe a quelle lineari (moto traslatorio): Moto traslatorio Moto rotatorio v = v0 + a t ω = ω0 + α t x = ½ ( v0 + v ) t θ = ½ ( ω0 + ω ) t x = v0 t + ½ a t 2 θ = ω0 t + ½ α t 2

Il caso di una particella che si muove di moto circolare: relazioni fra cinematica lineare e cinematica rotazionale Abbiamo già studiato il caso di una particella che si muove di moto circolare, e lo abbiamo fatto nell’ambito della cinematica lineare: Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso , tutti i suoi punti compiono una traiettoria circolare. Quindi possiamo trattare il moto di tali particelle sia usando variabili lineari che usando variabili rotazionali.

Consideriamo una particella situata nel punto P di un corpo rigido ad una distanza r dall’asse di rotazione passante per il punto O. La particella in P si muove lungo un cerchio di raggio r mentre il corpo ruota y La particella percorre un arco di lunghezza s mentre il corpo ruota di un angolo θ e si ha: s = r θ Se la posizione iniziale del punto P era lungo l’asse x lo spostamento risulta come indicato in verde P r O θ x

Derivando la relazione s = r θ rispetto al tempo e osservando che r è costante, si ha: 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 Osserviamo che ds/dt è la velocità lineare v della particella nel punto P e dθ/dt è la velocità angolare ω, e quindi risulta: v = r ω Questa è una relazione fra i moduli dei vettori v e ω

v = r ω 𝑑v 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑑ω 𝑑𝑡 a T = r α a R = v2/r = ω2 r Data la relazione: Derivando rispetto al tempo e ricordando che r è costante, otteniamo: 𝑑v 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑑ω 𝑑𝑡 Ma dv/dt è la componente tangenziale della accelerazione della particella (quella che nel moto circolare uniforme risultava nulla) e dω/dt è il modulo della accelerazione angolare del corpo rotante, quindi possiamo scrivere: a T = r α Abbiamo già visto a proposito del moto circolare che l’accelerazione centripeta (che non è altro che l’accelerazione radiale) è invece data da v2/r Quindi a R = v2/r = ω2 r

usando variabili lineari che usando variabili rotazionali Nel caso del moto circolare uniforme, che avevamo già studiato (adottando le grandezze lineari e non ancora quelle rotazionali) risultava per definizione a T = 0 Quindi: il moto di una particella lungo una traiettoria circolare si può descrivere sia usando variabili lineari che usando variabili rotazionali E poiché un corpo rigido è composto da N particelle, in linea di principio anche il moto rotatorio delle N particelle di cui si compone un corpo rigido potrebbe essere descritto da N variabili lineari. Il problema è appunto che servirebbero N variabili, una per ogni punto, mentre adottando le variabili rotazionali, queste sono le stesse per ogni punto ECCO PERCHE’ ABBIAMO INTRODOTTO LE VARABILI ROTAZIONALI

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Dinamica del moto rotatorio Abbiamo visto che la relazione fondamentale di tutta la dinamica è la II Legge di Newton: F = m a Questa formulazione si è rivelata particolarmente utile per il trattamento della dinamica delle particelle puntiformi e per il moto traslatorio di corpi, ma è chiaro che per il trattamento del moto rotatorio dei corpi occorre riformulare questa legge usando variabili rotazionali. Abbiamo già definito l’analogo rotazionale della accelerazione lineare a e cioè l’accelerazione angolare α = d ω /dt . Dobbiamo adesso definire quali variabili rotazionali sono analoghe a F e m

Consideriamo una barra disposta sul piano x-y e libera di ruotare attorno all’origine O. Supporremo che il piano è orizzontale, così che non ci sia forza gravitazionale, e che il piano sia privo di attrito: y O F1 F1 x Se applichiamo una forza F1 in un punto come in figura, la barra acquisirà una certa accelerazione angolare α1 Se però applichiamo la stessa forza F1 in un punto più distante dall’asse di rotazione, come in figura, la barra acquisirà una certa accelerazione angolare maggiore

Questo è un fenomeno che ci è familiare in base alla nostra esperienza quotidiana: Per aprire una porta facciamo meno fatica se spingiamo in un punto distante dall’asse di rotazione: è per questo che la maniglia è li e non vicino l’asse ! Se dovessimo aprire una porta applicando la forza ad un punto vicino l’asse, dovremmo applicare una forza molto elevata, e se applicassimo la stessa forza lontano dall’asse, la porta acquista maggiore accelerazione angolare ! Evidentemente ciò che conta per imprimere una accelerazione angolare non è solo la forza E’ vero che se aumentiamo la forza aumenta l’accelerazione angolare, ma possiamo aumentare l’accelerazione angolare anche spostando il punto di applicazione della forza

nel determinare l’accelerazione angolare ? Se invece applichiamo una forza F2 come in figura, cioè una forza la cui direzione passa per l’asse di rotazione, non otterremo alcun moto rotatorio (e neanche traslatorio se la barra è vincolata al suo asse) y O F2 x Evidentemente, oltre al punto di applicazione, anche la direzione della forza è rilevante nel determinare l’accelerazione angolare ?

nel determinare l’accelerazione angolare Se adesso applichiamo una forza F3 come in figura, e scomponiamo la forza nelle sue componenti x e y ci renderemo conto che l’unica componente che conta è quella lungo y y F3 O x Questo fatto conferma che, oltre al punto di applicazione, anche la direzione della forza è rilevante nel determinare l’accelerazione angolare

grandezza analoga a ciò che è la massa nel caso lineare. Occorre quindi identificare una grandezza fisica che rappresenti la causa della accelerazione angolare, e che sia legata alla forza dalle proprietà che abbiamo appena esaminato. Questa grandezza sarà il cosiddetto momento della forza. Ma prima di passare alla definizione del momento della forza, vediamo come si comporta la massa, e vediamo se non sia necessario definire anche un’altra grandezza analoga a ciò che è la massa nel caso lineare.

Supponiamo che la nostra barra sia costituita di due materiali di massa differente, per esempio legno e ferro, e applichiamo la nostra forza F come in figura. y O x F Otterremo una certa accelerazione angolare a

Se però capovolgiamo la barra e applichiamo la stessa forza F nel punto come in figura: y O x F Otterremo una certa accelerazione angolare a maggiore ! E questo sebbene la massa della barra non sia cambiata! E sebbene non sia cambiata la forza, né la sua distanza dall’asse di rotazione !! Ciò che è cambiato è la distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione

Inerzia rotazionale in funzione della distribuzione della massa Quindi: La grandezza analoga, nel moto rotazionale, alla massa nel caso traslatorio, non è la massa ma una grandezza che potrebbe essere chiamata inerzia rotazionale e che dipende in qualche modo dalla distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione Cominciamo quindi a sviluppare in modo più rigoroso questi due concetti: Momento di una forza Inerzia rotazionale in funzione della distribuzione della massa

Momento di una forza Definizione: Se una forza F agisce su un punto P la cui posizione rispetto al riferimento O è individuata da un vettore r, il momento della forza rispetto a O è un vettore definito dalla: τ = r x F dove il simbolo x rappresenta il prodotto vettoriale fra r e F Il modulo di τ è dato dalla relazione: τ = r F sin θ dove θ è l’angolo fra r e F La direzione è ortogonale al piano individuato da r e F, e il verso segue la regola della mano destra

Avevamo accennato durante le prime lezioni all’esistenza del cosiddetto prodotto vettoriale fra due vettori, ma ci eravamo riservati di definirlo non appena avessimo trovato una applicazione fisica che lo rendesse comprensibile. Eccola ! Le dimensioni del momento della forza sono quelle di forza x distanza E cioè [ M L T−2 L ]  [ M L2 T−2 ] L’unità di misura il nt-metro

Energia di rotazione e momento di inerzia Non c’è dubbio che ciascuna particella di cui si compone un corpo rigido in rotazione possiede un certa energia cinetica: Una particella di massa m di un corpo rigido situata ad una distanza r dall’asse di rotazione del corpo rigido in questione avrà una velocità v = ω r , dove ω è la velocità angolare del corpo rigido. ω r Pertanto l’energia cinetica di questa particella sarà: ½ m v2 = ½ m ω2r2

K = ½ m1 ω2 r21 + ½ m2 ω2 r22 + ………….. ½ mN ω2 r2N Se, come stiamo supponendo, il corpo è rigido allora la velocità angolare ω è la stessa per tutte le particelle di cui si compone, e l’energia cinetica totale K sarà la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle : K = ½ m1 ω2 r21 + ½ m2 ω2 r22 + ………….. ½ mN ω2 r2N K = ½ ( m1 r21 + m2 r22 + ………….. mN r2N ) ω2 K = ½ ∑ ( mi r2i ) ω2 Il termine ∑ ( mi r2i ) che indichiamo col simbolo I è denominato Momento di Inerzia del corpo rigido rispetto a quel particolare asse di rotazione I = ∑ ( mi r2i )

Va sottolineato che il Momento di Inerzia di un corpo rigido dipende quindi dall’asse, oltre che dalla forma del corpo e dalla distribuzione delle masse. Il Momento di Inerzia I ha dimensioni: [ M L2 ] e si misura in: kg m2 Introducendo il Momento di Inerzia, l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione Krot è espressa pertanto dalla: Krot = ½ I ω2

Una interessante analogia: Moto traslatorio Moto rotatorio Energia cinetica ½ m v2 ½ I ω2 velocità v ω massa m I Cosi come ω è nel moto rotatorio l’equivalente della velocità v nel moto traslatorio, I è nel moto rotatorio l’equivalente della massa m nel moto traslatorio. Occorre però ricordare che mentre m non dipende dalla posizione del corpo, I dipende dal particolare asse attorno a cui avviene la rotazione

energie cinetiche di tutte le particelle di cui si compone il corpo, Nota bene: Questa non è una nuova forma di energia, ma è semplicemente la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle di cui si compone il corpo, scritta semplicemente in una formulazione conveniente

Nel caso in cui il corpo rigido non è costituito da un insieme finito di particelle distinte, ma è costituito da una distribuzione continua di materia, l’operazione di somma che compare nella formula: I = ∑ ( mi r2i ) diventerà una integrazione: considereremo il corpo costituito da masse infinitesime dm e considereremo la distanza r fra tali masse e l’asse di rotazione: I = r2dm dove l’integrale è esteso sull’intero corpo ∫

Nel caso di corpi di forma complicata, il calcolo di questo integrale può essere difficile, ma nel caso di corpi con una geometria regolare e l’asse di rotazione coincidente con l’asse di simmetria, il calcolo è abbastanza semplice. Ecco di seguito alcuni esempi:

Moto rettilineo di una particella Moto rotatorio di un corpo rigido Per la dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido si definiranno pertanto una serie di grandezze perfettamente analoghe a quelle del moto rettilineo di una particella : Moto rettilineo di una particella Moto rotatorio di un corpo rigido Spostamento x Spostamento angolare θ Velocita v = dx/dt Velocità angolare ω = dθ/dt Accelerazione a = dv /dt Accelerazione angolare α = dω/dt Massa m Momento di inerzia I Forza F = ma Momento della forza τ = I α Lavoro ∫ F dx ∫ τ dθ Energia cinetica ½ m v2 ½ I ω2 Quantità di moto mv Momento angolare I ω

Momento angolare di una particella Nella dinamica del moto rotatorio, il concetto di momento angolare (o momento della quantità di moto) ha un ruolo simile a quello che ha la quantità di moto nella dinamica del moto traslatorio. Vedremo che la definizione e l’applicazione di questo concetto ci permetterà di ricavare un’altra importante Legge di conservazione. Consideriamo una particella di massa m e quantità di moto p situata ad una distanza r dall’origine O di un sistema di assi x-y-z. Il momento angolare della particella rispetto al punto O è definito dalla: L = r x p Cioè: il prodotto vettoriale di r per p

L y p x r z

In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, il modulo di L è dato da: L = r p sin θ La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r e p Il verso è stabilito dalla consueta regola della mano destra. Dalla definizione, che è del tutto analoga al momento di una forza, si vede che il momento angolare L è il momento della quantità di moto.

F = 𝑑(𝑚𝒗) 𝑑𝑡 r x F = r x 𝑑(𝑚𝒗) 𝑑𝑡 τ = r x 𝑑(𝑚𝒗) 𝑑𝑡 Adesso passeremo a dimostrare una importante relazione fra questi due momenti, cioè il momento di una forza e il momento della quantità di moto. Partiamo dalla II Legge di Newton, scritta nella sua forma più generale: F = 𝑑(𝑚𝒗) 𝑑𝑡 e consideriamo il prodotto vettoriale di r per entrambi i membri e cioè: r x F = r x 𝑑(𝑚𝒗) 𝑑𝑡 che in base alla definizione di momento di una forza diventa: τ = r x 𝑑(𝑚𝒗) 𝑑𝑡

Conserviamo per un attimo questa relazione τ = r x 𝑑(𝑚𝒗) 𝑑𝑡 e torniamo alla definizione del momento angolare: L = r x p e deriviamo questa equazione rispetto al tempo 𝑑𝐋 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 (r x p ) La derivata di un prodotto vettoriale si esegue esattamente con le stesse regole di un prodotto normale, fatto salvo il fatto che occorre fare attenzione a non invertire l’ordine dei fattori.

𝑑𝐋 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 (r x p ) = ( 𝑑𝒓 𝑑𝑡 x p ) + ( r x 𝑑𝒑 𝑑𝑡 ) Quindi si ha: 𝑑𝐋 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 (r x p ) = ( 𝑑𝒓 𝑑𝑡 x p ) + ( r x 𝑑𝒑 𝑑𝑡 ) Notiamo che dr/dt altro non è che la velocità istantanea v della particella in questione. Quindi potremo scrivere: 𝑑𝐋 𝑑𝑡 = (v x mv ) + ( r x 𝑑 𝑑𝑡 mv ) ma poiché il prodotto vettoriale di due vettori paralleli risulta nullo, v x mv = 0 Si ha quindi: 𝑑𝐋 𝑑𝑡 = ( r x 𝑑 𝑑𝑡 mv )

𝑑𝐋 𝑑𝑡 = ( r x 𝑑 𝑑𝑡 mv ) τ = ( r x 𝑑 𝑑𝑡 mv ) τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 Confrontando questa equazione 𝑑𝐋 𝑑𝑡 = ( r x 𝑑 𝑑𝑡 mv ) con quella che avevamo scritto per il momento della forza τ = ( r x 𝑑 𝑑𝑡 mv ) risulta: τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 Cioè: la derivata rispetto al tempo del momento angolare (o momento della quantità di moto) di una particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa.

Questa equazione: τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 è analoga alla equazione che avevamo scritto per il moto traslatorio: F = 𝑑𝐩 𝑑𝑡 che stabiliva che la derivata rispetto al tempo della quantità di moto di una particella è uguale alla forza che agisce su di essa, e che implicava che: dp = F dt  Δp = F(t) dt (relazione impulso – variazione quantità di moto) Ci aspettiamo pertanto che risulti anche che: dL = τ dt  ΔL = τ(t) dt ∫ ∫

Momento angolare di un sistema di particelle Il caso trattato riguarda una particella. Nel caso di un sistema di più particelle, dovremo tenere in conto la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ogni particella rispetto allo stesso punto di riferimento O . A variare del tempo, a secondo delle forze (o meglio dei loro momenti) agenti sul sistema, potrà essere osservata una variazione dL/dt. In linea di principio, questa variazione potrebbe essere imputabile a due cause: Vi sono momenti di forze interne al sistema di particelle Vi sono momenti di forze esterne al sistema di particelle Tuttavia, in base alla III legge di Newton, le forze fra coppie di particelle, non solo sono eguali e contrarie, ma sono dirette lungo la linea che unisce le particelle e pertanto il momento risultante è nullo.

τest = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 τest = I α Possiamo pertanto affermare che: E cioè: la rapidità con cui varia il momento angolare rispetto ad un dato punto è uguale alla somma dei momenti delle forze esterne che agiscono sul sistema. Poiché un corpo rigido è un particolare caso di un sistema di particelle (nel caso specifico le distanze relative delle particelle sono fisse), la relazione dovrà valere anche per il caso di un corpo rigido. Avevamo già visto che in un corpo rigido risulta: τest = I α dove τ è il momento risultante delle forze esterne, I è il momento di inerzia del corpo e α è la sua accelerazione angolare.

𝑑𝐋 𝑑𝑡 = I α τest = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 τest = I α 𝑑𝐋 𝑑𝑡 = I 𝑑𝝎 𝑑𝑡 Confrontando la con la τest = I α risulta: 𝑑𝐋 𝑑𝑡 = I α 𝑑𝐋 𝑑𝑡 = I 𝑑𝝎 𝑑𝑡 nel caso in cui I = costante questa può essere scritta: 𝑑𝐋 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 Iω e cioè: L = I ω

E cioè: il momento angolare di un corpo rigido è il prodotto del suo momento di inerzia per la sua velocità angolare. Si noti l’analogia della formula: L = I ω con la formula relativa al moto traslatorio: p = m v Risulta quindi τ = 𝑑 𝑑𝑡 Iω Se I = costante risulta τ = I α

F = m a τ = I α F = 𝑑 𝑑𝑡 (m v) = 𝑑 𝑑𝑡 p τ = 𝑑 𝑑𝑡 (Iω) = 𝑑 𝑑𝑡 L Quindi, come in dinamica traslatoria si ha F = m a In dinamica rotatoria si ha τ = I α E così come la F = m a poteva essere formulata nel caso più generale caso di una massa variabile con la formula: F = 𝑑 𝑑𝑡 (m v) = 𝑑 𝑑𝑡 p Per il momento angolare avremo in generale: τ = 𝑑 𝑑𝑡 (Iω) = 𝑑 𝑑𝑡 L

Conservazione del momento angolare Dalla relazione precedente risulta che se : τest = 0  𝑑 𝑑𝑡 L = 0 Cioè: quando il momento risultate delle forze applicate ad un sistema è nullo, il momento angolare è costante. Cioè: il momento angolare di un sistema isolato è costante QUINDI: in un sistema isolato I ω = costante

Se durante il moto rotatorio cambia la distribuzione delle masse (e quindi cambia I) cambierà di conseguenza ω, un fenomeno largamente usato da atleti e ballerini !!!

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Adesso ci proponiamo di rispondere al seguente quesito: Si consideri un corpo costituito da due sfere A e B di massa m = 5kg ciascuna, collegate da un’asta leggera ma rigida di lunghezza 1 metro, come in figura. O A B 1 m Si trattino le sfere come masse puntiformi e si trascuri la massa dell’asta. Calcolare il momento di inerzia del corpo: Rispetto ad un asse ortogonale all’asta e passante per il punto centrale O Rispetto ad un asse parallelo al precedente ma passante per una della due sfere

Avevamo visto che il concetto di momento di inerzia era stato introdotto a proposito della formulazione dell’energia cinetica di rotazione. Rivediamo

Energia di rotazione e momento di inerzia Non c’è dubbio che ciascuna particella di cui si compone un corpo rigido in rotazione possiede un certa energia cinetica: Una particella di massa m di un corpo rigido situata ad una distanza r dall’asse di rotazione del corpo rigido in questione avrà una velocità v = ω r , dove ω è la velocità angolare del corpo rigido. ω r Pertanto l’energia cinetica di questa particella sarà: ½ m v2 = ½ m ω2r2

K = ½ m1 ω2 r21 + ½ m2 r22 + ………….. ½ mN ω2 r2N Se, come stiamo supponendo, il corpo è rigido allora la velocità angolare ω è la stessa per tutte le particelle di cui si compone, e l’energia cinetica totale K sarà la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle : K = ½ m1 ω2 r21 + ½ m2 r22 + ………….. ½ mN ω2 r2N K = ½ ( m1 r21 + m2 r22 + ………….. mN r2N ) ω2 K = ½ ∑ ( mi r2i ) ω2 Il termine ∑ ( mi r2i ) che indichiamo col simbolo I è denominato Momento di Inerzia del corpo rigido rispetto a quel particolare asse di rotazione I = ∑ ( mi r2i )

Va sottolineato che il Momento di Inerzia di un corpo rigido dipende quindi dall’asse, oltre che dalla forma del corpo e dalla distribuzione delle masse. Il Momento di Inerzia I ha dimensioni: [ M L2 ] e si misura in: kg m2 Introducendo il Momento di Inerzia, l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione Krot è espressa pertanto dalla: Krot = ½ I ω2

Una interessante analogia: Moto traslatorio Moto rotatorio Energia cinetica ½ m v2 ½ I ω2 velocità v ω massa m I Cosi come ω è nel moto rotatorio l’equivalente della velocità v nel moto traslatorio, I è nel moto rotatorio l’equivalente della massa m nel moto traslatorio. Occorre però ricordare che mentre m non dipende dalla posizione del corpo, I dipende dal particolare asse attorno a cui avviene la rotazione

Nel caso in cui il corpo rigido non è costituito da un insieme finito di particelle distinte, ma è costituito da una distribuzione continua di materia, l’operazione di somma che compare nella formula: I = ∑ ( mi r2i ) diventerà una integrazione: considereremo il corpo costituito da masse infinitesime dm e considereremo la distanza r fra tali masse e l’asse di rotazione: I = r2dm dove l’integrale è esteso sull’intero corpo ∫

Nel caso di corpi di forma complicata, il calcolo di questo integrale può essere difficile, ma nel caso di corpi con una geometria regolare e l’asse di rotazione coincidente con l’asse di simmetria, il calcolo è abbastanza semplice. Ecco di seguito alcuni esempi:

Moto rettilineo di una particella Moto rotatorio di un corpo rigido Per la dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido si definiranno pertanto una serie di grandezze perfettamente analoghe a quelle del moto rettilineo di una particella : Moto rettilineo di una particella Moto rotatorio di un corpo rigido Spostamento x Spostamento angolare θ Velocita v = dx/dt Velocità angolare ω = dθ/dt Accelerazione a = dv /dt Accelerazione angolare α = dω/dt Massa m Momento di inerzia I Forza F = ma Momento della forza τ = I α Lavoro ∫ F dx ∫ τ dθ Energia cinetica ½ m v2 ½ I ω2 Quantità di moto mv Momento angolare I ω

Riprendiamo quindi in esame il quesito: Si consideri un corpo costituito da due sfere A e B di massa m = 5kg ciascuna, collegate da un’asta leggera ma rigida di lunghezza 1 metro, come in figura. O A B 1 m Si trattino le sfere come masse puntiformi e si trascuri la massa dell’asta. Calcolare il momento di inerzia del corpo: Rispetto ad un asse ortogonale all’asta e passante per il punto centrale O Rispetto ad un asse parallelo al precedente ma passante per una della due sfere

I = ∑ ( mi r2i ) rA = −0.5 m rB = 0.5 m I = mA rA2 + mB rB2 Riscriviamo la formula per il momento di inerzia nel caso di masse puntiformi: I = ∑ ( mi r2i ) Nel caso in cui l’asse passa per O ed è ortogonale all’asta: 5 kg 5 kg A B O rA = −0.5 m rB = 0.5 m I = mA rA2 + mB rB2 I = (5 kg) (0.5 m)2 + (5 kg) (0.5 m)2 I = 5 x 0.25 + 5 x 0.25 = 2.5 kg m2

rA = 0 rB = 1 m I = mA rA2 + mB rB2 I = (5 kg) (0 m)2 + (5 kg) (1 m)2 Nel caso in cui l’asse passa per una delle due masse ed è ortogonale all’asta: 5 kg 5 kg A B O rA = 0 rB = 1 m I = mA rA2 + mB rB2 I = (5 kg) (0 m)2 + (5 kg) (1 m)2 I = 5 x 0 + 5 x 1= 5 kg m2

concetti che abbiamo appena ripassato Adesso vediamo un altro esempio di dinamica rotazionale che richiede gli stessi concetti che abbiamo appena ripassato Un disco omogeneo di raggio R e di massa M è montato su un perno e sostenuto da supporti privi di attrito come in figura. Una cordicella priva di massa è fissata e arrotolata attorno al disco, ed è tirata verso il basso da una tensione T Determinare l’accelerazione angolare del disco e l’accelerazione tangenziale in un punto sul bordo R T

Facendo riferimento ai simboli adottati, in questo caso avremo: τ = R x T Essendo R e T ortogonali Il modulo di τ = R T sin θ sarà : τ = R T Il momento di inerzia I del disco rispetto all’asse di rotazione è dato dalla: I = ½ M R2 e dalla relazione τ = I α si ha: I α = RT  α = 𝑅𝑇 ½ M R2 = 2 𝑇 M R L’accelerazione tangenziale a vale a = R α

Supponiamo adesso di appendere alla corda una massa m e di volere ricalcolare l’accelerazione angolare e quella tangenziale. Sia mg la forza di gravità che agisce sulla massa e T la tensione di reazione diretta verso l’alto. Il corpo di massa m accelera verso il basso, e la sua accelerazione a è data dalla II Legge di Newton: m g – T = m a [1] In questa formula a è anche l’accelerazione tangenziale del disco. R T T m m g

Supponiamo adesso di appendere alla corda una massa m e di volere ricalcolare l’accelerazione angolare e quella tangenziale. Sia mg la forza di gravità che agisce sulla massa e T la tensione di reazione diretta verso l’alto. Il corpo di massa m accelera verso il basso, e la sua accelerazione a è data dalla II Legge di Newton: m g – T = m a [1] In questa formula a è anche l’accelerazione tangenziale del disco. R T T m m g

τ = I α RT = ½ M R2 α T = ½ M R α T = ½ M a m g – T = m a Per l’accelerazione angolare α potremo scrivere di nuovo: τ = I α RT = ½ M R2 α T = ½ M R α e ricordando che R α = a si ha: T = ½ M a Riscrivendo la [1]: m g – T = m a avremo le due equazioni: m g – T = m a Con due equazioni e due incognite (T e a), possiamo risolvere il quesito.

RIVEDIAMO LA CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Momento angolare di una particella Nella dinamica del moto rotatorio, il concetto di momento angolare (o momento della quantità di moto) ha un ruolo simile a quello che ha la quantità di moto nella dinamica del moto traslatorio. Vedremo che la definizione e l’applicazione di questo concetto ci permetterà di ricavare un’altra importante Legge di conservazione. Consideriamo una particella di massa m e quantità di moto p situata ad una distanza r dall’origine O di un sistema di assi x-y-z. Il momento angolare della particella rispetto al punto O è definito dalla: L = r x p Cioè: il prodotto vettoriale di r per p

L y p y r z

In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, il modulo di L è dato da: L = r p sin θ La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r e p Il verso è stabilito dalla consueta regola della mano destra. Dalla definizione, che è del tutto analoga al momento di una forza, si vede che il momento angolare L è il momento della quantità di moto.

τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 E abbiamo visto che: τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 Cioè: la derivata rispetto al tempo del momento angolare (o momento della quantità di moto) di particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa.

Questa equazione: τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 è analoga alla equazione che avevamo scritto per il moto traslatorio: F = 𝑑𝐩 𝑑𝑡 che stabiliva che la derivata rispetto al tempo della quantità di moto di una particella è uguale alla forza che agisce su di essa, e che implicava che: dp = F dt  Δp = F(t) dt (relazione impulso – variazione quantità di moto) Ci aspettiamo pertanto che risulti anche che: dL = τ dt  ΔL = τ(t) dt ∫ ∫

Il momento angolare di un corpo rigido è il prodotto del suo momento di inerzia per la sua velocità angolare. Si noti l’analogia della formula: L = I ω con la formula relativa al moto traslatorio: p = m v Risulta quindi τ = 𝑑 𝑑𝑡 Iω Se I = costante risulta τ = I α

F = m a τ = I α F = 𝑑 𝑑𝑡 (m v) = 𝑑 𝑑𝑡 p τ = 𝑑 𝑑𝑡 (Iω) = 𝑑 𝑑𝑡 L Quindi, come in dinamica traslatoria si ha F = m a In dinamica rotatoria si ha τ = I α E così come la F = m a poteva essere formulata nel caso più generale caso di una massa variabile con la formula: F = 𝑑 𝑑𝑡 (m v) = 𝑑 𝑑𝑡 p Per il momento angolare avremo in generale: τ = 𝑑 𝑑𝑡 (Iω) = 𝑑 𝑑𝑡 L

Conservazione del momento angolare Dalla relazione precedente risulta che se : τest = 0  𝑑 𝑑𝑡 L = 0 Cioè: quando il momento risultate delle forze applicate ad un sistema è nullo, il momento angolare è costante. Cioè: il momento angolare di un sistema isolato è costante QUINDI: in un sistema isolato I ω = costante

Se durante il moto rotatorio cambia la distribuzione delle masse (e quindi cambia I) cambierà di conseguenza ω, un fenomeno largamente usato da atleti e ballerini !!!

Un classico esempio: il moto di precessione di una trottola z L Una trottola è un oggetto a simmetria cilindrica che ruota attorno al suo asse di simmetria. Indicando con ω la sua velocità angolare e con I il suo momento di inerzia rispetto all’asse, il suo momento angolare è dato da: L = I ω y x Poiché il momento angolare di un sistema isolato si conserva, una trottola su cui non agiscono forze esterne o attriti mantiene in eterno il suo stato di moto immutato.

z L y x Questa affermazione è vera, qualsiasi sia la direzione del momento angolare L = I ω Quindi anche nel caso di una trottola inclinata come in figura, il moto rotatorio continua all’infinito immutato. L y x Eppure l’esperienza ci insegna che se l’asse è inclinato, la trottola subisce un moto di precessione, cioè la direzione del vettore L varia continuamente, quindi L ≠ costante.

Come spieghiamo questo fenomeno ? Evidentemente nel caso reale la trottola non è un sistema isolato: su di essa agisce la forza di gravitazione. Vediamo allora di capire cosa succede. Sia m la massa della trottola, sia θ l’angolo dell’asse della trottola rispetto alla verticale, e consideriamo il momento τ rispetto al punto di appoggio O esercitato dalla forza di gravità mg sul baricentro della trottola, individuato da un vettore r come in figura. z Scriveremo: τ = r x m g il cui modulo è: τ = r m g sin θ La direzione di τ è ortogonale al piano individuato da r e g Questa stessa sarà quindi la direzione della variazione di momento angolare ΔL in un breve tempo Δt , in quanto risulta: ΔL = τ Δt L θ r mg O y x

Risulta quindi che dopo un breve intervallo di tempo Δt il momento angolare L è diventato L + ΔL Poiché ΔL è ortogonale a L ed è supposto molto piccolo rispetto a L il nuovo vettore momento angolare ha lo stesso modulo del vecchio ma una diversa direzione. z L θ Quindi col passare del tempo la punta della freccia del vettore L si muove lungo un cerchio come in figura

Riferendoci al disegno della slide precedente, vediamo quindi di capire da quali parametri dipende la velocità angolare di precessione ωp z ΔL Δβ L + ΔL L θ Si ha: ωp = Δβ / Δt

Poiché abbiamo assunto ΔL << L potremo scrivere Δβ = Δ𝐿 𝐿 sin θ = τ Δ𝑡 𝐿 sin θ e poiché era : τ = r m g sin θ Si ha: Δβ = r m g sin θ Δ𝑡 𝐿 sin θ E quindi : ωp = Δβ /Δt  r m g sin θ Δ𝑡 𝐿 sin θ Δ𝑡 = r m g 𝐿 Cioè: per L grande, la velocità angolare di precessione è piccola