Le disequazioni di II°grado Lezione di Matematica di Emanuele Paone

Che cos’è una disequazione? Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali legate dai segni >,<, per la quale cerchiamo i valori che sostituite all’incognita la rendono vera. Le disequazioni di II grado si presentano con la seguente forma: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐<,>,≤,≥0 Per risolvere le disequazioni di II grado possiamo riscontrare tre casi: ∆>0; ∆=0; ∆<0. Analizziamoli

PRIMO CASO: ∆>0 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄>𝟎 Lo scomponiamo in a(x – x1)(x – x2)>0 e studiamo il segno dei tre singoli fattori: I II III II= 𝒙− 𝒙 𝟏 >0 𝒙> 𝒙 𝟏 III= 𝒙− 𝒙 𝟐 >0 𝒙> 𝒙 𝟐 Da questa si ricava la seguente regola: Se ∆>0 un trinomio di II grado assume sempre lo stesso segno di a per valori esterni all’intervallo delle sue radici.

RISOLVIAMO UNA DISEQUAZIONE CON IL PRIMO CASO: 4𝑥 2 +11𝑥−3>0 Passiamo all’equazione associata determinando le radici: 4𝑥 2 +11𝑥−3=0 ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐=121+48=169 𝑥= −𝑏± ∆ 2𝑎 = −11±13 8 = 𝑥 1 =− 24 8 =−3 𝑥 2 = 1 4 Ora compiliamo il quadro dei segni La disequazione richiede che il trinomio sia >0; dopo aver compilato il quadro scegliamo i valori di x per il quale il trinomio è >0: 𝑥<−3 V 𝑥>1/4

SECONDO CASO: ∆=0 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄>𝟎 Ma siccome x1=x2 possiamo scrivere a(x – x1)2>0 e studiamo il segno dei due singoli fattori: I II II= ( 𝒙− 𝒙 𝟏 ) 𝟐 >𝟎 Da questa si ricava la seguente regola: Se ∆=0 un trinomio di II grado assume sempre lo stesso segno di ad eccezione di 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐 per il quale si annulla (=0). Anch’esso è sempre positivo perchè qualunque numero elevato alla seconda è positivo.

Se avessimomo avuto <0 RISOLVIAMO UNA DISEQUAZIONE CON IL SECONDO CASO: 𝑥 2 −6𝑥+9>0 Passiamo all’equazione associata determinando le radici: 𝑥 2 −6𝑥+9=0 ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐=36−36=0 𝑥 1 = 𝑥 2 = −𝑏±0 2𝑎 = +6 2 =3 Ora compiliamo il quadro dei segni Più velocemente si può capire che il ∆=0 se si ha un quadrato di binomio La disequazione richiede che il trinomio sia >0; dopo aver compilato il quadro scegliamo i valori di x per il quale il trinomio è >0: 𝑥≠3 Se avessimo avuto ≥0: ∀𝑥∈ℝ Se avessimomo avuto <0 impossibile

Raccolgo A= 𝒂∙ 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝒂 𝒙+ 𝒄 𝒂 = TERZO CASO: ∆<0 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄>𝟎 Raccolgo A= 𝒂∙ 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝒂 𝒙+ 𝒄 𝒂 = Ora noto che il primo termine dentro parentesi è un quadrato, posso considerare il secondo come doppio prodotto. il termine da aggiungere e togliere purche' venga un quadrato è 𝒃 𝟐 𝟒 𝒂 𝟐 ; eseguo: 𝒂∙ 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝒂 𝒙+ 𝒃 𝟐 𝟒 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 𝟒 𝒂 𝟐 + 𝒄 𝒂 = 𝒂∙ 𝒙+ 𝒃 𝟐𝒂 𝟐 − 𝑏 2 −4𝑎𝑐 𝟒 𝒂 𝟐 = da  Questa è un'espressione di cui conosciamo il segno perché il quadrato è positivo; il termine sopra il segno di frazione b2 - 4ac corrisponde al Delta ed è negativo, quindi con il meno davanti diventa positivo e il termine al denominatore 4a2 è positivo perché è un quadrato. Faccio il minimo comune multiplo Quadrato di binomio Possiamo ricavare da questa dimostrazione che se il ∆<0 assume sempre il segno di a

RISOLVIAMO UNA DISEQUAZIONE CON IL TERZO CASO: 2𝑥 2 +𝑥+1<0 Passiamo all’equazione associata : 2𝑥 2 +𝑥+1=0 ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐=1−8=−7 Non calcoliamo le soluzioni perché col ∆<0 non ci sono soluzioni reali Compiliamo direttamente il quadro dei segni con il segno di a. La disequazione richiede che il trinomio sia <0; dopo aver compilato il quadro scegliamo i valori di x per il quale il trinomio è <0: 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒; ∄𝑥∈ℝ;∅ Se avremo avuto >0: ∀𝑥∈ℝ

Disequazioni di II grado fratte Si dice disequazione fratta quando troviamo l’incognita anche al denominatore. RISOLVIAMOLA UNA 𝑥 2 −25 𝑥+4 ≥0 Calcoliamoci il numeratore e denominatore distintamente 𝑛 : 𝑥 2 −25>0 ∆>0 𝑥 2 −25=0 →𝑥=± 25 →𝑥=±5 𝑑 : 𝑥+4>0→𝑥>−4 Compiliamo il quadro dei segni: Ricorda! Quando andiamo a risolvere distintamente numeratore e denominatore vanno posti sempre >0 Dopo aver fatto il quadro dei segni; scegliamo i valori di x che rendano la disequazione ≥0: −5≤𝑥<−4 𝑉 𝑥≥5

Sistemi di disequazioni Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni il quale scopo è quello di trovare le soluzioni che le soddisfa entrambe. RISOLVIAMO IL SISTEMA: 𝑥 2 −3𝑥−10>0 𝑥+1<0 ; I disequazione 𝑥 2 −3𝑥−10>0→ 𝑥 2 −3𝑥−10=0 ∆=9+40=49 𝐼 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑥= 3±7 2 = 𝑥 1 = 10 2 =5 𝑥 2 =− 4 2 =−2 II disequazione: 𝑥+1<0→𝑥<−1 Compiliamo il quadro dei segni: Risolviamo distintamente le disequazioni La soluzione della disequazione è x<-2 e x>5 Dopo aver evidenziato le soluzioni nel quadro dei segni; ci resta da individuare le soluzioni comuni. In questo caso: 𝑥<−2

La lezione è finita… …alla prossima !!! Emanuele Paone