Lezione n°16 Abbinamento Prof.ssa Rossella Petreschi Lezione del 28/11/2012 del Corso di Algoritmi e Strutture Dati Riferimenti: Capitolo 17 del testo Alsuwaiyel “Algorithms” Edizioni: World Scientific Paragrafo 12.4 del testo Kingston“Algorithms and data structures” Edizioni: Addison Wesley

L’abbinamento Abbinamento (accoppiamento) in un grafo connesso non orientato (e privo di loop) è un qualsiasi insieme M di archi a due a due non incidenti. La cardinalità di M è la cardinalità dell’abbinamento. Un nodo si dice saturo (esposto) se è (non è) estremo di un qualche arco in M. M è un abbinamento massimale se non è sottoinsieme proprio di alcun abbinamento in G. M è un abbinamento massimo se non esiste un altro abbinamento in G con cardinalità maggiore di quella di M. M è un abbinamento perfetto se non lascia alcun nodo esposto. 2

Proprietà dell’abbinamento Grafi qualunque G ( V, E ), V = n Ogni abbinamento massimo è massimale Ogni abbinamento perfetto è massimo Un abbinamento massimo non è detto sia perfetto In un grafo possono esistere distinti abbinamenti perfetti Un abbinamento può avere al più n/2 archi Un abbinamento è perfetto se e solo se ha n/2 archi Se un grafo ha un abbinamento perfetto, allora ha un numero pari di nodi 3

Sui grafi bipartiti G(XUY,E) VALE La cardinalità di un abbinamento massimo è al più il minimo fra la cardinalità di X e quella di Y G non può avere un abbinamento perfetto se |X| ≠ |Y| Teorema del matrimonio (Jacobi 1890, Frobenius 1917, Hall 1935) G(XUY, E) ha un abbinamento perfetto sse X = Y S ≤ N(S) per ogni S in X Teorema di Konig-Egervary (Konig 1930, Egervary1931) In ogni grafo bipartito la cardinalità massima di un abbinamento è uguale alla cardinalità minima di un ricoprimento (insieme di nodi che copre tutti gli archi del grafo) 4

Applicazioni Grafo bipartito In una azienda n nuovi assunti da assegnare ad n differenti lavori Scegliere fra i componenti di una squadra di nuoto il team giusto da portare ad una gara in modo da poter partecipare a tutte le discipline Grafo qualunque Scegliere opportunamente coppie di persone a cui far condividere una stanza d’albergo. Una compagnia aerea multiculturale deve scegliere i due piloti dello stesso aereo in modo che abbiano lo stesso tipo di addestramento e parlino una lingua comune e poi abbinamenti di strutture chimiche, scheduling parallelo di differenti lavori su diverse macchine, assegnamento di turni in una fabbrica………. 5

Cammini alternanti/aumentanti Dato G (V,E) ed M abbinamento su G si definisce p: cammino M-alternante un cammino che alterna archi in M con archi in E/M p: cammino M-aumentante un cammino M-alternante che inizia e termina con un nodo esposto 6

L’Operatore XOR M1 , M2 abbinamenti,  M1  = r,  M2  = s, s > r p: cammino M1-aumentante si definisce M1  M2 = (M1M2) - (M1M2) = (M1-M2)  (M2 -M1) vale M1  p è un abbinamento di dimensione r+1 M1 è massimo sess nel grafo non esistono cammini M1- aumentanti (Petersen1891, Berge 1957, Norman-Rabin1959) M1  M2 contiene almeno k=s-r cammini M1-aumentanti a nodi disgiunti prova Le componenti connesse di G(V, M1  M2 ) possono essere vertici isolati,cicli pari o cammini, sia pari che dispari. Cicli e cammini pari non sono M1-aumentanti. I restanti k cammini dispari sono M1-aumentanti. 7

Abbinamento massimo in un grafo bipartito e reti di flusso A partire dal grafo bipartito B(LR,E), si costruisca la rete di flusso G (V, E’, s, p, C) così definita: V = LRs p, con s e p due vertici da aggiungere a quelli di B e che costituiscono la sorgente e il pozzo della costruenda rete; E’ = E  (s,u), u  L  (v,p), v  R; C funzione che associa ad ogni arco (u,v)  E’ una capacità c(u,v) = 1. Lemma: Siano dati B e G come sopra definiti. Per ogni M, abbinamento in B, esiste un flusso f a valori interi in G con valore f = M . In modo analogo vale che per ogni flusso a valori interi in G esiste un abbinamento M in B con cardinalità M = f  8

Prova del Lemma Un abbinamento M in B corrisponde ad un flusso a valori interi in G Dato M abbinamento in B, se (u,v)  M, si ponga f(u,v)=0 se (u,v)  M, allora f(s,u)=f(u,v)=f(v,p) =1 e f(u,s)=f(v,u)=f(p,v)= -1, ovvero ogni arco (u,v) in M corrisponde ad una unità di flusso in G che attraversa il cammino s-u-v-p. Inoltre, i cammini indotti dagli archi in M hanno vertici disgiunti, a meno di s e p e il valore del flusso attraverso il taglio(Ls, Rp)è uguale ad M . Infine per vedere che f gode delle tre proprietà (capacità, conservazione del flusso, antisimmetria) basta osservare che f può essere ottenuto come aumento del flusso lungo ognuno di questi cammini.  9

Prova del Lemma Un flusso a valori interi in G corrisponde ad un abbinamento M in B Dato f flusso a valori interi in G, si consideri M = (u,v): u  L e v  R e f(u,v)>0, vale che: M è un abbinamento perché ogni vertice di L ha un solo arco entrante (s,u) di capacità 1 e un’unità di flusso netto positivo entra in u iff vi è un solo vertice v in R tale che f(u,v)=1. M = f  infatti  u  L, f(s,u)=1e  (u,v)  E-M, f(u,v)=0, da cui: M = f(L,R)= f  10

Albero ungherese (coniato da Kuhn nel 1955 in onore di Konig e Egervary ) G(XUY,E), X+Y=n, E=m, M’ abbinamento arbitrario in G Sia r un vertice esposto in X. T, albero alternante radicato in r (ovvero albero in cui ogni cammino dalla radice ad una foglia sia alternante) si costruisce nella seguente maniera: a partire da r, si aggiunga a T un arco non in M’, sia (r,y). Per ogni z adiacente ad y, si aggiunga l’arco (y,z) in M’(se esiste). Si ripeta il procedimento finchè: o si incontra un nodo z esposto; e quindi un cammino aumentante o l’albero non può più crescere; in tal caso si ha un albero ungherese. NOTE In un albero ungherese l’unico nodo esposto è r nessun cambiamento all’interno di un albero ungherese può cambiare la cardinalità dell’abbinamento. 11

Grafi bipartiti e albero ungherese Input: G(XUY,E), X+Y=n, E=m, M’ abbinamento arbitrario in G (M può essere l’insieme vuoto) Output: M massimo abbinamento Algoritmo: finchè esistono due vertici esposti, uno in X e uno in Y, costruisci un albero alternante T, radicato in r (in X), tramite visita in ampiezza; se T è ungherese, rimuovi T da G altrimenti M = M  p, dove p è il cammino aumentante trovato Complessità: O(nm) ≤ O(n3) O(m) costruzione di un albero alternante con visita in ampiezza; al più O(n) alberi DA RICORDARE un grafo bipartito non contiene cicli dispari 12

La contrazione del germoglio (Paths,trees and flowers Edmonds,1965) Germoglio: ciclo dispari costituito da una alternanza di spigoli appartenenti e non appartenenti all’abbinamento. In un germoglio si individua la base e lo stelo. Edmonds’ idea: ogni germoglio va compresso in un supernodo Teorema: Sia G(V,E) un grafo non orientato e sia G’ il grafo ottenuto da G comprimendo un germoglio in un supernodo. G’ contiene un cammino aumentane sse G lo contiene 13

Abbinamento in grafi qualunque Input: G(V,E), V=n, E=m, M’ abbinamento arbitrario in G (M può essere l’insieme vuoto) Output: M massimo abbinamento Algoritmo: finchè esistono due vertici esposti, x e y, si costruisca un cammino alternante T, se trovi un germoglio, contrailo e prosegui l’algoritmo su G’ se trovi p, cammino aumentante, incrementa M : M = M  p, se l’abbinamento è stato trovato su G’, decontrai i germogli e produci M su G Complessità: O(nm) ≤ O(n3) 14

Algoritmi di abbinamento massimo Grafo bipartito: O(n3/2(m/logn)1/2) Alt, Blum, Mehlhorn, Paul 1991 O(n1/2(m+n) (log(1 + n2/m))/logn) Feder, Motwani 1991 Grafo qualunque O(mn1/2) Micali, Vazirani 1980 15