PITAGORA FILOSOFO E MATEMATICO Autori Prof.ssa Antonella Fatai Prof.ssaPaola Palagi

PITAGORA VITA ED OPERA La figura di Pitagora, che ebbe grandissima influenza nel mondo antico ci è nota attraverso testimonianze numerose, ma piuttosto tarde, e caratterizzate spesso da tratti leggendari.

PITAGORA VITA ED OPERA Pitagora infatti non scrisse nulla, preferendo affidare il suo insegnamento all'espressione orale. Aristotele, nel IV secolo parla di lui, e, successivamente, in età alessandrina numerose vite di Pitagora lo descrivono come uomo fuori dal comune, filosofo, profeta, mago, reincarnazione di Apollo, dotato di poteri taumaturgici.

Pitagora nato a Samo, isola della Ionia, verso il 575 a.C. PITAGORA VITA ED OPERA Pitagora nato a Samo, isola della Ionia, verso il 575 a.C. Fu allievo di Anassimandro, uno dei primi filosofi-scienziati che individuò il principio della realtà nell'apeiron (l'indeterminato, l'infinito).

PITAGORA VITA ED OPERA Abbiamo notizie, anche se non precise, di numerosi viaggi in Egitto ed in Oriente (presso persiani, caldei, ebrei, indiani), che avrebbero messo Pitagora in contatto con le più significative espressioni della cultura e della sapienza antica.

PITAGORA VITA ED OPERA Verso i quaranta anni lasciò la sua città natale e si stabilì a Crotone nella Magna Grecia, dove era fiorente la scuola medica di Alcmeone.

PITAGORA VITA ED OPERA Pitagora, godendo i favori del governo aristocratico della città di Crotone, fondò una sua scuola con le caratteristiche di una comunità religioso-politica. I pitagorici acquistarono influenza in diverse città della Magna Grecia, diffusero i loro gruppi, ma incontrarono anche forti opposizioni.

A Crotone, durante una sommossa, PITAGORA VITA ED OPERA A Crotone, durante una sommossa, i democratici avrebbero incendiato una casa dove erano soliti riunirsi i maggiori esponenti della scuola pitagorica.

PITAGORA VITA ED OPERA Secondo alcune versioni in quella circostanza Pitagora non era presente perché già morto, secondo altre testimonianze, egli era vivo ma comunque non presente nella casa incendiata. Fuggito a Locri e poi a Metaponto, morì in una data tra il 497 e il 490 a.C.

La comunità pitagorica La "scuola" pitagorica era in realtà una comunità filosofica ed etico-religiosa a cui si era ammessi dopo un lungo e duro periodo d'iniziazione.

La comunità pitagorica Aperta a tutti, anche alle donne ed agli stranieri, era caratterizzata dalla regola del silenzio, e da una serie di prescrizioni: si doveva, ad esempio, astenersi dal mangiare la carne e le fave e non indossare panni di lana o anelli.

La comunità pitagorica Queste pratiche esteriori si accompagnavano ad un forte impegno interiore: ogni mattina ciascuno doveva programmare la giornata e, alla sera, fare un esame di coscienza su quanto aveva vissuto e realizzato.

La comunità pitagorica Si dovevano rispettare gli dei, essere fedeli agli amici, mantenere il segreto sugli insegnamenti che venivano trasmessi a voce.

La comunità pitagorica Pitagora, il maestro, parlava ai novizi nascosto dietro ad una tenda: il suo insegnamento non era oggetto di discussione, ma trasmesso come divina rivelazione, con un elenco di domande e risposte e con frasi sintetiche da ricordare.

La comunità pitagorica Formula rituale tipica era: "autòs epha" , in latino "ipse dixit"; "lo ha detto lui", frase diventata proverbiale per indicare una verità indiscutibile o ritenuta tale. Due dei più antichi precetti che ripetevano i discepoli di Pitagora erano: "Segui il Dio", e "Non dilaniare il Dio che è dentro ciascuno"

La comunità pitagorica I discepoli erano divisi in acusmatici, ascoltatori a cui era imposto il silenzio, e matematici, che potevano fare domande ed avere accesso ai segreti più importanti.

La comunità pitagorica La matematica veniva considerata un mezzo di purificazione dell'anima, in quanto ai numeri veniva attribuito anche un significato mistico: essi erano via per conoscere la natura più profonda delle cose.

La comunità pitagorica Politicamente le comunità pitagoriche erano d'indirizzo aristocratico.

Pitagora e la reincarnazione Pitagora sosteneva la dottrina della metempsicosi (passaggio delle anime). L'anima, d'origine divina, incarnatasi in un corpo per una oscura colpa originaria, doveva passare attraverso molte vite (anche in forme animali), per giungere alla purificazione (catarsi) e tornare alla patria celeste.

Pitagora e la reincarnazione Questa teoria appare simile a quella sostenuta dall'orfismo. Nel caso della scuola Pitagorica, però, la purificazione dell'anima avveniva attraverso il sapere, lo studio della matematica, dell'astronomia, della musica, attraverso il dominio razionale su di sé e con le pratiche ascetiche.

Pitagora e la reincarnazione Nell'orfismo invece l'apertura alla divina rivelazione avveniva attraverso pratiche di tipo misterico. La teoria della metempsicosi spiega il divieto di cibarsi di carne (in cui potrebbe essere incarnata un'anima).

Il motto della scuola pitagorica era “tutto è numero” PITAGORA MATEMATICO Il motto della scuola pitagorica era “tutto è numero”

Il numero principio (archè) della realtà L’universo su modello della musica appariva a Pitagora numero ed armonia

Il numero rende intelligibile la realtà rivelandone la struttura quantitativa e geometrica, esprime ordine e razionalità, rende conoscibili le cose e le loro relazioni Le opposizioni tra le cose sono da ricondursi all’opposizione tra numeri pari e dispari

Nei numeri pari domina l’illimitato e per questo sono imperfetti Nei numeri pari domina l’illimitato e per questo sono imperfetti. Essi sono numeri rettangolari.

Nei numeri dispari domina il limite, per questo sono perfetti, delimitati, compiuti. I numeri dispari sono numeri quadrati.

Ai numeri veniva attribuito significato simbolico Il numero uno è il generatore dei numeri ed è il numero della ragione; Il numero due è il primo numero pari o femminile, il numero dell’opinione; Tre è il primo vero numero maschile, il numero dell’armonia, essendo composto di unità e diversità; Quattro è il numero della giustizia o del castigo, e indica di far quadrare i conti;

Ai numeri veniva attribuito significato simbolico Cinque è il numero del matrimonio, l’unione del primo vero numero maschile con il primo numero femminile; E sei è il numero della creazione. Sette rappresenta i tempi critici della vita Dieci è il numero perfetto, la mistica decade (tetractys) raffigurata da un triangolo equilatero avente quattro punti per ogni lato.

Su questa figura i pitagorici erano soliti giurare

Ai numeri veniva attribuito significato simbolico Il 10 rappresentava il numero dell’universo; Un punto è il generatore delle dimensioni Due punti determinano una linea a una dimensione Tre punti (non allineati) determinano un triangolo con un’area a due dimensioni Quattro punti (non giacenti in uno stesso piano) determinano un tetraedro con un volume a tre dimensioni La somma dei numeri rappresentanti tutte le dimensioni è pertanto il venerato numero dieci.

“Pitagora... trasformò questa scienza in una forma di educazione libera, riconducendone i principi ad idee ultime e dimostrandone i teoremi in maniera astratta e puramente intellettuale. Fu lui a scoprire la teoria delle proporzioni e la costruzione delle figure cosmiche.” (Proclo, filosofo neoplatonico 410-485)

Tutto e’ numero Figure cosmiche: Tetraedro, cubo, dodecaedro E’ probabile che conoscessero il pentagono regolare Questione più appassionante e’ la Costruzione del PENTAGONO STELLATO

Pentagono stellato C E’ A’ D B D’ B’ C’ A E

Sezione aurea (keplero duemila anni dopo) “La geometria ha due grandi tesori: uno è il Teorema di Pitagora; l’altro la divisione di una linea in media ed estrema ragione. Possiamo paragonare il primo ad una misura d’oro, e chiamare il secondo un prezioso gioiello.”

Il teorema di Pitagora In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Indicando con a la misura dell'ipotenusa, con b, c quelle dei cateti, si ha: a2 = b2 + c2 . b a c

Il teorema di Pitagora Tale teorema molto probabilmente aveva un’origine babilonese. Forse i pitagorici sono stati i primi a fornirne una dimostrazione

Sezione aurea A’B’C’D’E’ dividono le diagonali in maniera sorprendente Un punto di intersezione delle diagonali divide una diagonale in due segmenti disuguali tali che il rapporto dell’intera diagonale al segmento maggiore è uguale al rapporto di questo segmento al segmento minore.

Proprietà della sezione Si auto riproduce RA = BC e RB risulterà diviso in media ed estrema ragione in A R A B C S

RS=a RC=b La costruzione richiesta per effettuare tale divisione è equivalente alla soluzione di una equazione di secondo grado: a:x=x:(a-x) da cui x2 =a2 -ax R b C S a b = x

Sezione aurea

Sezione aurea NEL MONDO DELL’ARTE Regola proporzionale presente nell’antica Grecia, che nel Rinascimento verrà denominata “divina proporzione” La proprietà della sezione aurea risulta vantaggiosa nella pratica del progettare se si vogliono conseguire risultati armonici ed equilibrati

Applicazioni della sezione aurea Fu usata dagli Egiziani nella costruzione della piramide di Cheope dai Greci in quella del Partenone. Il grande scultore greco Fidia se ne servì spesso nella realizzazione delle sue sculture: per questo il rapporto aureo è stato chiamato , dall’iniziale del suo nome

IL PARTENONE DI ATENE

Nel 1509 Luca Pacioli scrisse il libro “De divina proportione” in cui esaminò i casi in cui la si utilizzava, come ad esempio nella costruzione del decagono regolare. Nel Seicento Keplero definisce la sezione aurea “gioiello” della geometria

In esso è presente un sistema di proporzioni basato sul rapporto aureo Nel rinascimento il corpo umano viene considerato “misura di tutte le cose”. In esso è presente un sistema di proporzioni basato sul rapporto aureo

LEONARDO IL CANONE DELLE PROPORZIONI

Anche nella musica ritroviamo la sezione aurea: Beethoven nelle “33 variazioni sopra un valzer di Diabelli” suddivise la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci. Fu nell’Ottocento che alla sezione aurea fu dato questo nome.

In tempi recenti è stata usata dal famoso architetto LE CORBUSIER (pseudonomo di Charles-Edouard Jeanneret 1887-1956) Ha utilizzato in modo originale il rapporto aureo per determinare una gamma di dimensioni armoniche a “misura d’uomo” Nel 1947, rende questa sua invenzione di dominio pubblico a cui da il nome di Modulor (da module, unità di misura e section d’or, sezione aurea)

Il Modulor è una scala dimensionale in cui confluiscono aspetti antropometrici e principi matematici Qui viene scomposta la figura umana in parti, ognuna sezione aurea di un’altra, per poi salire da qui all’abitazione ideale dell’uomo

Il Modulor

Infine il pittore spagnolo Salvador Dalì ha dipinto il suo quadro “Il Sacramento dell’Ultima Cena” in un rettangolo aureo e vi ha inserito un enorme dodecaedro, che avendo facce pentagonali, mostra un evidente richiamo alla sezione aurea.

Sviluppi e crisi del pitagorismo La tradizione attribuisce a Pitagora il teorema che porta il suo nome, la scoperta dell'ottava musicale e dei rapporti matematici tra i suoni della scala musicale.

Sviluppi e crisi del pitagorismo Discepoli di Pitagora a Crotone furono il poeta Epicarmo, il medico Alcmeone e Ippaso: quest'ultimo avrebbe divulgato i segreti della comunità e per questo espulso dalla scuola.

Sviluppi e crisi del pitagorismo Tra V e IV secolo a.C. fiorì una seconda generazione di Pitagorici. A Tebe Filolao si occupò soprattutto di matematica ed astronomia: egli avrebbe posto al centro dell'universo un fuoco, Hestia, il focolare dell'universo, attorno a cui ruoterebbero pianeti di forma sferica.

Sviluppi e crisi del pitagorismo Filolao sosteneva che“Tutte le cose che si possono conoscere hanno un numero; infatti non è possibile conoscere o concepire alcuna cosa senza numero” Di qui nacquero leggende circa la scoperta, che sarebbe stata fatta da Pitagora, di alcune semplici leggi della musica.

Sviluppi e crisi del pitagorismo A Taranto, Archita diresse una fiorente comunità, occupandosi anche di problemi di geometria e meccanica. Ed affermava che non la geometria, ma soltanto l’aritmetica poteva fornire dimostrazioni soddisfacenti.

Sviluppi e crisi del pitagorismo La fiducia in una struttura armonica della realtà esprimibile in strutture quantitative e geometriche precise, la fiducia nella ragione e nel numero come archè, principio di tutte le cose entrò in crisi con la scoperta di grandezze incommensurabili come la diagonale e il lato del quadrato, l'ipotenusa ed un cateto di un triangolo rettangolo isoscele.

Sviluppi e crisi del pitagorismo I pitagorici ritenevano infatti che il rapporto tra grandezze potesse sempre essere espresso con numeri interi. La "scandalosa eccezione” venne anche chiamata "irrazionale”, perché esulava dalla logica e dalla razionalità fino allora affermata dai pitagorici.

Sviluppi e crisi del pitagorismo La scoperta fu inizialmente tenuta nascosta (e forse divulgata da Ippaso di Metaponto, per questo cacciato dalla scuola). In seguito queste problematiche saranno affrontate separando la matematica dalla geometria.

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