Equazione dell’energia termica Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione dell’energia termica Velocità di IN-OUT per conduzione dell’energia interna per unità di volume Velocità di accumulo dell’energia interna per unità di volume Velocità reversibile di aumento dell’energia interna per unità di volume per effetto della compressione Velocità irreversibile di aumento dell’energia interna per unità di volume per effetto della dissipazione viscosa Vogliamo scrivere l’equazione dell’energia termica in funzione della temperatura

Eq. energia termica in funzione di T Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. energia termica in funzione di T Esprimiamo l’Energia interna per unità di massa in termini di Entalpia per u.m. Quindi Dall’eq. di continuità Si ottiene quindi la seguente espressione della energia interna in termini di entalpia

Eq. energia termica in funzione di T Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. energia termica in funzione di T L’equazione energia termica Abbiamo trovato Uguagliando Quindi si ottiene Abbiamo espresso la equazione dell’energia in termini di Entalpia Bisogna ora esprimere la dipendenza di H dalla temperatura

Eq. energia termica in funzione di T Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. energia termica in funzione di T sostituiamo essendo

Eq. energia termica in funzione di T Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. energia termica in funzione di T abbiamo trovato uguagliando Questa è la equazione di variazione della temperatura

Equazione di variazione della temperatura per gas ideali Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di variazione della temperatura per gas ideali GAS IDEALE Dalla eq. di stato dei gas

Equazione di variazione della temperatura per gas ideali Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di variazione della temperatura per gas ideali GAS IDEALE Essendo quindi Ipotesi: Dissipazione viscosa trascurabile Flusso conduttivo da legge di Fourier La relazione tra i calori specifici è Ed utilizzando la eq. di continuità e la legge di stato dei gas si ha

Forme semplificate eq. energia termica Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Forme semplificate eq. energia termica FLUIDO A P COSTANTE Dissipazione viscosa trascurabile Flusso conduttivo da legge di Fourier FLUIDO CON ρ costante Dissipazione viscosa trascurabile Flusso conduttivo da legge di Fourier

Forme semplificate eq. energia termica Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Forme semplificate eq. energia termica SOLIDO (ρ=costante e v=0) Flusso conduttivo da legge di Fourier

Riepilogo delle forme dell’equazione energia termica - Riferimento lagrangiano

Riepilogo delle forme dell’equazione energia termica - Riferimento fisso

Soluzione dei problemi con scambio di energia La soluzione in genere richiede la soluzione delle equazioni di Continuità Bilancio di quantità di moto Bilancio di energia Le equazioni non possono essere risolte indipendentemente l’eq. del moto non può essere risolta se non è risolta quella dell’energia r e m dipendono da T nella equazione dell’energia compare la velocità l’eq. dell’energia non può essere risolta se non è risolta quella del moto

Soluzione dei problemi con scambio di energia Una notevole semplificazione si ha se si può assumere r e m costanti con T Si risolve l’eq. del moto (si valuta la variazione spaziale e/o temporale della velocità) Si risolve l’eq. dell’energia

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Convezione naturale Cella convettiva in casi di lastra verticale a Ts immersa in un fluido a T (Ts  T) Il trasporto di calore per convezione naturale si realizza quando una superficie solida è a contatto con un fluido a T diversa. A causa della differenza di T il calore va dal corpo al fluido o viceversa e determina una variazione di densità del fluido in prossimità della superficie di contatto. La differenza di densità fa muovere la porzione di fluido meno densa verso l’alto e quella più densa verso il basso. Questo movimento rende il meccanismo di trasporto di calore più efficiente (rispetto a quello che si avrebbe con il fluido fermo) e si chiama convezione naturale. Ts T Esempio Ts > T

Equazione del moto in sistemi non isotermi Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione del moto in sistemi non isotermi L’equazione del moto ricavata per sistemi isotermi vale anche per sistemi non isotermi purchè si tenga conto che ρ e μ dipendono da T e P. La variazione di r è particolarmente importante in quanto determina le forze di galleggiamento e il meccanismo della convezione naturale densità espressa mediante espansione in serie di Taylor di riferimento (T media) Se le variazioni di T e di densità sono modeste la serie di Taylor si può fermare al primo termine Approssimazione di Boussinesq

Coefficiente di espansione termica Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Convezione naturale Coefficiente di espansione termica Si introduce  = coefficiente di espansione termica [1/K] quindi L’equazione del moto diventa Eq. di Boussinesq = forza di galleggiamento

Equazione del moto sistemi non isotermi Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Convezione naturale Equazione del moto sistemi non isotermi Eq. di Boussinesq E’ particolarmente utile sia per lo studio di convezione forzata che naturale Convezione forzata si trascura il termine delle forze di galleggiamento Si può assumere in molti casi anche nel termine inerziale

Equazione del moto: convezione naturale Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione del moto: convezione naturale Se tutto il sistema fosse alla T media e fosse in quiete la eq. del moto sarebbe quella della idrostatica Se il moto è lento questa stessa eq. si può considerare valida anche in presenza di gradienti di T Inoltre, per moti lenti si può assumere nel termine inerziale a sinistra dell’equazione del moto Quindi l’eq. di Boussinesq diventa

Equazione del moto sistemi non isotermi fluidi newtoniani Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione del moto sistemi non isotermi fluidi newtoniani Eq. di Boussinesq Convezione forzata Convezione naturale