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Il sistema è in moto uniforme (traslatorio o rotatorio) ? LEZIONE DI OGGI: Faremo un ripasso di alcuni passaggi della lezione sul moto rotatorio. Sebbene l’argomento non sia fra quelli che saranno oggetto della prova parziale, prestate attenzione, perché ci soffermeremo sui «principi di metodo» per la soluzione dei problemi di meccanica che sono gli stessi, sia in meccanica rotazionale che in meccanica traslatoria. Il sistema è fermo ? Allora la risultante delle forze o dei momenti delle forze applicate è nulla (includendo ovviamente anche i vincoli) Quindi la sua quantità di moto (il suo momento angolare) è nulla/o. Quindi anche se alcune parti del sistema si mettono in moto (traslatorio o rotatorio) la quantità di moto (o il momento angolare) resta nulla/o Il sistema è in moto uniforme (traslatorio o rotatorio) ? Quindi la sua quantità di moto (il suo momento angolare) NON cambia, lo stesso si applica all’energia meccanica del sistema Quindi anche se alcune parti del sistema cambiato stato di moto (traslatorio o rotatorio) la quantità di moto (o il momento angolare) non varia, lo stesso si applica all’energia meccanica del sistema. Il sistema è in moto uniformemente accelerato (traslatorio o rotatorio) ? Allora la risultante delle forze (dei momenti) non è nulla. Dobbiamo capire quali dati del problema ci consentono di prevederne l’evoluzione.

LEZIONE DI DOMANI: Introdurremo le oscillazioni e l’oscillatore armonico. Sebbene anche questo argomento non farà parte della prova parziale, di fatto si tratta di un bel ripasso degli argomenti di dinamica che saranno oggetto della prova parziale. Ci soffermeremo pertanto su quello che già sappiamo e come utilizzare queste nozioni per trattare in modo sintetico e elegante questo fenomeno. Rivedremo l’intera lezione dopo la prova parziale, soffermandoci invece in quegli aspetti specifici di questa nuova formulazione di un fenomeno che siamo comunque già in grado di trattare, e che infatti sono propedeutici allo studio delle onde meccaniche.

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Moto rotatorio Esempi, ripasso e analogie con i «principi di metodo» che abbiamo adottato per trattare il moto traslatorio

y O P x Un tipico semplice esempio di cinematica rotazionale: Una ruota ha una accelerazione angolare costante pari a 3 rad/sec2. All’inizio del moto il segmento O-P è orizzontale. Determinare: a) lo spostamento angolare del segmento O-P (e quindi della ruota); e b) la velocità angolare della ruota 2 sec dopo l’inizio del moto. y Sapete immaginare l’analogo del caso traslatorio ? Che formule adottereste ? O P x

x Si consideri una biglia di massa m che all’istante t = 0 si trova all’origine del sistema di assi cartesiani e si mette in moto con una accelerazione a = 3 m/s2 in direzione dell’asse x in senso positivo Determinare: a) lo spostamento orizzontale della biglia e b) la velocità della biglia 2 sec dopo s = v0t + ½ a t2 = 0 + ½ 3 x 22 v(t) = v0 + a t = 0 + 3 x 2

e che ci servono per risolvere il quesito x Si consideri una biglia di massa m che all’istante t = 0 si trova all’origine del sistema di assi cartesiani e si mette in moto con una accelerazione a = 3 m/s2 in direzione dell’asse x in senso positivo Determinare: a) lo spostamento orizzontale della biglia e b) la velocità della biglia 2 sec dopo s = v0t + ½ a t2 = 0 + ½ 3 x 22 v(t) = v0 + a t = 0 + 3 x 2 Rivediamo adesso invece i concetti di moto rotatorio che abbiamo studiato a riguardo e che ci servono per risolvere il quesito

Per descrivere un moto che oltre che traslatorio sia anche rotatorio, oltre che definire le coordinate x0-y0 del punto di riferimento 0 sul corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento, dovremo definire anche l’orientazione di un sistema di assi x’-y’ solidale col corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento x-y. y’ y Moto traslatorio + rotatorio x’ y’ y’ x x’ x’

Abbiamo stabilito di studiare questo tipo di moto separando il moto traslatorio dal moto rotatorio. Abbiamo applicato in sostanza il principio di sovrapposizione. Cioè: ad ogni istante lo stato del corpo è definibile in base ad una traslazione + una rotazione

Rotazione Traslazione y x

Rotazione Traslazione y x

Rotazione Traslazione y x

Definizione formale di moto puramente rotatorio di un corpo rigido Il moto di un corpo rigido è puramente rotatorio se tutti i punti del corpo si muovono su dei cerchi i cui centri sono localizzati tutti lungo una retta detta asse di rotazione

Se per ogni punto del corpo in questione, tracciamo dei segmenti perpendicolari all’asse di rotazione, tutti questi segmenti ruoteranno di uno stesso angolo Δ θ in un dato intervallo di tempo Δt Δ θ Δ θ

E questo va inteso anche nel caso 3D

E questo va inteso anche nel caso 3D

Stabiliremo di misurare gli angoli di rotazione in radianti. Un radiante è l’angolo al centro in un cerchio sotteso da un arco di lunghezza s pari al raggio R. Pertanto un angolo θ è espresso in radianti dalla relazione θ = s / R s = R 1 rad R Poiché la circonferenza di un cerchio di raggio R è lunga 2πR, vi sono 2π radianti in un angolo giro. Quindi 2π rad = 360°  1 rad ≈ 57,3 °

< ω > = (θ2 − θ1) / (t2 − t1 ) = Δθ / Δt Lo spostamento angolare nell’intervallo di tempo Δt = t2 − t1 sarà Δθ = θ2 − θ1 Definiremo la velocità angolare media < ω > del corpo nell’intervallo Δt : < ω > = (θ2 − θ1) / (t2 − t1 ) = Δθ / Δt In perfetta analogia con quanto abbiamo studiato in cinematica nel caso lineare, la velocità angolare istantanea sarà data dal limite per Δt  0 di questo rapporto: ω(t) = lim Δθ / Δt = dθ /dt Δt  0 In analogia con quanto abbiamo già studiato, indicate con ω1 e ω2 le velocità angolari agli istanti t1 e t2 l’accelerazione angolare media < α > è definita dalla relazione: < α > = (ω2 − ω1) / (t2 − t1 ) = Δ ω / Δt e di conseguenza l’accelerazione angolare istantanea è data dalla relazione α (t) = lim Δ ω / Δt = d ω /dt Δt  0

La velocità angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo: e in generale l’unità di misura è il radiante / sec L’accelerazione angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo quadrato: [ T -2 ] e in generale l’unità di misura è il radiante / sec2

x [L] θ [ ] v = dx /dt [L T-1] ω = dθ /dt [T-1] a = dv/dt = d2x/dt2 Analogia fra le grandezze cinematiche lineari e quelle angolari Caso lineare Caso rotazionale x [L] θ [ ] v = dx /dt [L T-1] ω = dθ /dt [T-1] a = dv/dt = d2x/dt2 [L T-2] α = dω/dt = d2θ/dt2 [T-2] Le dimensioni lineari differiscono dalle corrispondenti dimensioni angolari per un fattore avente dimensione di una lunghezza, il che deriva dalla definizione di radiante θ= s / R che è un numero puro, essendo il rapporto fra due lunghezze

Queste grandezze sono vettori ? Consideriamo il caso dello spostamento angolare θ Si può verificare sperimentalmente che gli spostamenti angolari non si sommano come vettori. Infatti se si sommassero come vettori dovrebbero obbedire alle regole sulla somma dei vettori e in particolare alla proprietà commutativa della somma di due vettori, cioè: θ1 + θ2 = θ2 + θ1

Un libro ruota di 90° in senso orario visto di fronte, e poi in senso antiorario visto da sopra. Se l’ordine delle due rotazioni viene invertito la posizione finale è differente Lo stesso succede se si adotta un angolo di rotazione più piccolo, per esempio di 45°, ma in questo caso la differenza di orientazione finale è minore Nel caso di angoli sempre più piccoli, la differenza di orientazione finale tende a 0

dell’algebra vettoriale e infatti sono vettori Quindi: θ1 + θ2 = θ2 + θ1 Ma: dθ1 + dθ2 = dθ2 + dθ1 Gli spostamenti angolari infinitesimi obbediscono alla proprietà commutativa dell’algebra vettoriale e infatti sono vettori

ω(t) = dθ /dt ω Di conseguenza, la velocità angolare: poiché dθ è un vettore e dt è uno scalare, ω è un vettore (e di conseguenza anche α) Ma qual è la rappresentazione grafica di questo vettore? Consideriamo per esempio Un cilindro che ruota attorno al proprio asse in senso antiorario: ω Il vettore velocità angolare ω è una freccia lungo la direzione dell’asse di rotazione, orientata verso l’alto se la rotazione è in senso antiorario e viceversa se è in senso orario, la cui lunghezza è pari al modulo ω.

La cosiddetta regola della mano destra La cosiddetta regola della mano destra. Nozione mnemonica: se con la mano destra si afferra idealmente l’asse di rotazione, in modo che le dita si avvolgano intorno ad esso nel senso della rotazione, allora il pollice disteso punta nella direzione del vettore ω

v = v0 + a t ω = ω0 + α t x = ½ ( v0 + v ) t θ = ½ ( ω0 + ω ) t Rotazione con accelerazione angolare costante Il caso più semplice di un moto rotatorio è quello che avviene con accelerazione costante In questo caso le equazioni del moto sono del tutto analoghe a quelle lineari (moto traslatorio): Moto traslatorio Moto rotatorio v = v0 + a t ω = ω0 + α t x = ½ ( v0 + v ) t θ = ½ ( ω0 + ω ) t x = v0 t + ½ a t 2 θ = ω0 t + ½ α t 2

y O P x Torniamo quindi al quesito: Una ruota ha una accelerazione angolare costante pari a 3 rad/sec2. All’inizio del moto il segmento O-P è orizzontale. Determinare: a) lo spostamento angolare del segmento O-P (e quindi della ruota); e b) la velocità angolare della ruota 2 sec dopo l’inizio del moto. y O P x

ω = 0 + (3 rad/sec2) (2 sec) = 6 rad/sec (a) L’accelerazione angolare α e il tempo t sono dati, vogliamo trovare θ. Quindi useremo la θ = ω0 t + ½ α t 2 All’inizio del moto si ha t = 0 ω0 = 0 e α = 3 rad/sec2 Dopo 2 sec si avrà: θ = 0 x 2 sec + ½ (3 rad/sec2) (2 sec)2 = 6 rad (b) l’accelerazione α e il tempo t sono dati, vogliamo ottenere ω, quindi useremo la: ω = ω0 + α t e cioè: ω = 0 + (3 rad/sec2) (2 sec) = 6 rad/sec

Se in un esempio del genere interviene una forza ci potrebbe essere chiesto di calcolarne il momento…

Una ruota è libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per l’origine O di un sistema di assi x-y come in figura. Una forza di 10 nt è applicata ad un raggio r in punto P distante 1 m dal centro. Il segmento O-P forma un angolo di 30° con l’asse x. La forza agisce nel piano x-y formando un angolo di 45° con l’asse x Calcolare il momento che agisce sulla ruota y 45° 30° O r P x

Momento di una forza Definizione: Se una forza F agisce su un punto P la cui posizione rispetto al riferimento O è individuata da un vettore r, il momento della forza rispetto a O è un vettore definito dalla: τ = r x F dove il simbolo x rappresenta il prodotto vettoriale fra r e F Il modulo di τ è dato dalla relazione: τ = r F sin θ dove θ è l’angolo fra r e F La direzione è ortogonale al piano individuato da r e F, e il verso segue la regola della mano destra

Le dimensioni del momento della forza sono quelle di forza x distanza E cioè [ M L T−2 L ]  [ M L2 T−2 ] L’unità di misura il nt-metro Vediamo adesso di risolvere il quesito che ci era stato proposto 

Una ruota è libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per l’origine O di un sistema di assi x-y come in figura. Una forza di 10 nt è applicata ad un raggio r in un punto P distante 1 m dal centro. Il segmento O-P forma un angolo di 30° con l’asse x. La forza agisce nel piano x-y formando un angolo di 45° con l’asse x Calcolare il momento che agisce sulla ruota y 45° 30° O r P x

τ = r F sin θ = (1 m) (10 nt) (sin 15°) Applichiamo la definizione di momento di una forza: τ = r x F dove il simbolo x rappresenta il prodotto vettoriale fra r e F Il modulo di τ è dato dalla relazione: τ = r F sin θ In questo caso l’angolo θ è dato da: θ = 45° − 30° = 15° Pertanto il modulo del momento è dato da: τ = r F sin θ = (1 m) (10 nt) (sin 15°)

(1 m) (10 nt) (sin 15°) (1 m) (10 nt) (0,26) = 2,6 nt-m Si tratterà di un momento lungo l’asse z. Riguardo al verso, applicando la regola della mano destra troveremo che punta verso di noi.

Un altro semplice esempio che potrebbe richiedere un piccolo ripasso… Quanto vale il momento angolare di una particella che si muove di moto rettilineo uniforme ? v = costante Y X ?

RIVEDIAMO IL MOMENTO ANGOLARE

Momento angolare di una particella Nella dinamica del moto rotatorio, il concetto di momento angolare (o momento della quantità di moto) ha un ruolo simile a quello che ha la quantità di moto nella dinamica del moto traslatorio. Vedremo che la definizione e l’applicazione di questo concetto ci permetterà di ricavare un’altra importante Legge di conservazione. Consideriamo una particella di massa m e quantità di moto p situata ad una distanza r dall’origine O di un sistema di assi x-y-z. Il momento angolare della particella rispetto al punto O è definito dalla: L = r x p Cioè: il prodotto vettoriale di r per p

L y p y r z

In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, il modulo di L è dato da: L = r p sin θ La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r e p Il verso è stabilito dalla consueta regola della mano destra. Dalla definizione, che è del tutto analoga al momento di una forza, si vede che il momento angolare L è il momento della quantità di moto.

τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 E abbiamo visto che: τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 Cioè: la derivata rispetto al tempo del momento angolare (o momento della quantità di moto) di particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa.

Questa equazione: τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 è analoga alla equazione che avevamo scritto per il moto traslatorio: F = 𝑑𝐩 𝑑𝑡 che stabiliva che la derivata rispetto al tempo della quantità di moto di una particella è uguale alla forza che agisce su di essa, e che implicava che: dp = F dt  Δp = F(t) dt (relazione impulso – variazione quantità di moto) Ci aspettiamo pertanto che risulti anche che: dL = τ dt  ΔL = τ(t) dt ∫ ∫

Il momento angolare di un corpo rigido è il prodotto del suo momento di inerzia per la sua velocità angolare. Si noti l’analogia della formula: L = I ω con la formula relativa al moto traslatorio: p = m v Risulta quindi τ = 𝑑 𝑑𝑡 Iω Se I = costante risulta τ = I α

F = m a τ = I α F = 𝑑 𝑑𝑡 (m v) = 𝑑 𝑑𝑡 p τ = 𝑑 𝑑𝑡 (Iω) = 𝑑 𝑑𝑡 L Quindi, come in dinamica traslatoria si ha F = m a In dinamica rotatoria si ha τ = I α E così come la F = m a poteva essere formulata nel caso più generale caso di una massa variabile con la formula: F = 𝑑 𝑑𝑡 (m v) = 𝑑 𝑑𝑡 p Per il momento angolare avremo in generale: τ = 𝑑 𝑑𝑡 (Iω) = 𝑑 𝑑𝑡 L

Conservazione del momento angolare Dalla relazione precedente risulta che se : τest = 0  𝑑 𝑑𝑡 L = 0 Cioè: quando il momento risultate delle forze applicate ad un sistema è nullo, il momento angolare è costante. Cioè: il momento angolare di un sistema isolato è costante QUINDI: in un sistema isolato I ω = costante

Se durante il moto rotatorio cambia la distribuzione delle masse (e quindi cambia I) cambierà di conseguenza ω, un fenomeno largamente usato da atleti e ballerini !!!

Un classico esempio: il moto di precessione di una trottola z L Una trottola è un oggetto a simmetria cilindrica che ruota attorno al suo asse di simmetria. Indicando con ω la sua velocità angolare e con I il suo momento di inerzia rispetto all’asse, il suo momento angolare è dato da: L = I ω y x Poiché il momento angolare di un sistema isolato si conserva, una trottola su cui non agiscono forze esterne o attriti mantiene in eterno il suo stato di moto immutato.

z L y x Questa affermazione è vera, qualsiasi sia la direzione del momento angolare L = I ω Quindi anche nel caso di una trottola inclinata come in figura, il moto rotatorio continua all’infinito immutato. L y x Eppure l’esperienza ci insegna che se l’asse è inclinato, la trottola subisce un moto di precessione, cioè la direzione del vettore L varia continuamente, quindi L ≠ costante.

Come spieghiamo questo fenomeno ? Evidentemente nel caso reale la trottola non è un sistema isolato: su di essa agisce la forza di gravitazione. Vediamo allora di capire cosa succede. Sia m la massa della trottola, sia θ l’angolo dell’asse della trottola rispetto alla verticale, e consideriamo il momento τ rispetto al punto di appoggio O esercitato dalla forza di gravità mg sul baricentro della trottola, individuato da un vettore r come in figura. z Scriveremo: τ = r x m g il cui modulo è: τ = r m g sin θ La direzione di τ è ortogonale al piano individuato da r e g Questa stessa sarà quindi la direzione della variazione di momento angolare ΔL in un breve tempo Δt , in quanto risulta: ΔL = τ Δt L θ r mg O y x

Risulta quindi che dopo un breve intervallo di tempo Δt il momento angolare L è diventato L + ΔL Poiché ΔL è ortogonale a L ed è supposto molto piccolo rispetto a L il nuovo vettore momento angolare ha lo stesso modulo del vecchio ma una diversa direzione. z L θ Quindi col passare del tempo la punta della freccia del vettore L si muove lungo un cerchio come in figura

Riferendoci al disegno della slide precedente, vediamo quindi di capire da quali parametri dipende la velocità angolare di precessione ωp z ΔL Δβ L + ΔL L θ Si ha: ωp = Δβ / Δt

Poiché abbiamo assunto ΔL << L potremo scrivere Δβ = Δ𝐿 𝐿 sin θ = τ Δ𝑡 𝐿 sin θ e poiché era : τ = r m g sin θ Si ha: Δβ = r m g sin θ Δ𝑡 𝐿 sin θ E quindi : ωp = Δβ /Δt  r m g sin θ Δ𝑡 𝐿 sin θ Δ𝑡 = r m g 𝐿 Cioè: per L grande, la velocità angolare di precessione è piccola

Alla luce di questo ripasso, rivediamo il quesito: Quanto vale il momento angolare di una particella che si muove di moto rettilineo uniforme ? v = costante Y X

Per individuare il momento angolare di una particella, dobbiamo innanzitutto definire il punto rispetto al quale intendiamo calcolarlo. Stabiliamo di prendere come riferimento l’origine degli assi p = mv Y R R sin θ = h θ L X Il vettore momento angolare L é il prodotto vettoriale del raggio vettore R e del vettore quantità di moto p e sarà orientato lungo l’asse Z come in figura. Il modulo è dato dalla relazione: L = R p sin θ = m v h = costante Il momento angolare risulta ovviamente costante, dato che la particella non è soggetta al momento di alcuna forza Z

Un trenino giocattolo si trova sul binario circolare dotato di attrito di una ruota rigida, dotata di un asse vincolato lungo la verticale, ma libera di ruotare senza attriti. La massa del trenino vale m, mentre la massa della ruota vale M, la massa dei suoi raggi è trascurabile, e il suo raggio vale è R Il trenino viene messo in moto e mantenuto ad una velocità costante v rispetto al binario. v = costante Calcolare la velocità angolare della ruota

Se vogliamo applicare la legge di conservazione del momento angolare al sistema trenino-ruota, dobbiamo prima verificare che non ci sono momenti di forze esterne applicate al sistema. L’unica forza esterna che agisce sul sistema è la forza di gravità. Te prendiamo in considerazione solo la ruota, è evidente che la forza in questione non esercita alcun momento sul baricentro della ruota, che si trova al centro.

Se vogliamo applicare la legge di conservazione del momento angolare al sistema trenino-ruota, dobbiamo prima verificare che non ci sono momenti di forze esterne applicate al sistema. L’unica forza esterna che agisce sul sistema è la forza di gravità. Te prendiamo in considerazione solo la ruota, è evidente che la forza in questione non esercita alcun momento sul baricentro della ruota, che si trova al centro. Tuttavia, presenza sulla ruota del trenino sposta il baricentro del sistema trenino-ruota, e la forza di gravità esercita un momento sul baricentro, come in figura:

Tuttavia, dobbiamo ricordare che il testo dell’esercizio diceva: Un trenino giocattolo si trova sul binario circolare dotato di attrito di una ruota rigida, dotata di un asse vincolato lungo la verticale, ma libera di ruotare senza attriti. In sostanza, dobbiamo immaginare una configurazione reale in cui sono presenti dei vincoli, cioè delle forze di reazione, che esercitano momenti eguali e contrari a quello esercitato dalla gravità

Niente di diverso dal vincolo su una massa m posta su una superfice rigida sulla quale agisce la forza di gravità F = −mg eppure la massa non si muove lungo la verticale: F = −mg Quindi, l’approccio da seguire per risolvere i problemi sia, di dinamica traslatoria che di dinamica rotatoria, è sempre lo stesso: ci sono forze (o momenti) esterne ? Il corpo si muove (o ruota) ? Abbiamo chiari quali sono i vincoli ? Etc…

ω ruota = − ( m/M ) (v /R) = − ( m/M ) ω trenino Possiamo quindi affermare che il momento angolare del sistema composto dal trenino e dalla ruota si conserva ed è = 0 Scegliendo l’asse di rotazione della ruota come asse rispetto al quale calcolare il momento angolare, scriveremo L tot = = 0 L tot = m v R + I ruota ω ruota  m v R + MR2 ω ruota = 0  m v R = − MR2 ω ruota ω ruota = − ( m/M ) (v /R) = − ( m/M ) ω trenino Cioè la ruota si muove nella direzione opposta a quella del trenino e la sua velocità angolare scala con il rapporto fra le masse

Un altro esempio simile Un ragazzo di massa mragazzo si trova sul bordo di una giostra di massa M e raggio R. La giostra è ferma, e il ragazzo fissato alla giostra Il ragazzo scaglia in direzione orizzontale tangente al bordo della giostra un sasso di massa pari m imprimendogli una velocità v rispetto al suolo. Trattando la giostra come un disco uniforme, determinare: La velocità angolare acquisita dalla giostra La velocità lineare acquisita dal ragazzo

Prima considerazione: stato iniziale, momento angolare del sistema (giostra + ragazzo + sasso) = 0 Seconda considerazione: dopo il lancio deve essere ancora: momento angolare del sistema (giostra + ragazzo + sasso) = 0 Quindi il problema si riduce al calcolo del momento angolare dell’intero sistema come schematizzato in figura, che una volta posto = 0 ci darà la soluzione v ω

ω Momento angolare del disco: I ω dove I = MR2/2 Momento angolare del ragazzo: m ragazzo v ragazzo R dove v ragazzo = ω R Momento angolare del sasso = m v h dove h = R Quindi: ω MR2/2 + m ragazzo ω R2 + m v R = 0 Da cui si ricava ω m m ragazzo v = 7.82 m/s h M ω

Quindi, il metodo applicato è lo stesso: il momento angolare totale del sistema era zero e rimane zero Si scrive la formula del momento angolare totale dopo che è avvenuto il fenomeno La si pone uguale a zero in quanto il sistema è isolato e il momento angolare rimane inalterato Da questa equazione, si ricavano i dati richiesti in base ai dati noti del problema Ovviamente se il momento angolare iniziale non è zero, ne terremo conto di conseguenza Queste sono considerazioni del tutto generali che abbiamo applicato anche in meccanica traslatoria, e quindi come «metodo», costituiscono un ripasso: Se il sistema è isolato, la quantità di moto si conserva Se all’inizio era zero, deve essere zero alla fine Si scrive la formula per la quantità di moto del sistema dopo che è avvenuto il fenomeno, la si pone uguale a zero e si procede. Ovviamente se la quantità di moto iniziale non è zero, ne terremo conto di conseguenza

Consideriamo per esempio questo esercizio di meccanica traslatoria a titolo di ripasso: Un uomo di massa m si trova su una scala di corda di massa trascurabile appesa ad una mongolfiera di massa M che si trova ferma rispetto ad un riferimento terrestre. Rispondere ai seguenti quesiti: Se l’uomo inizia a salire la scala con velocità v rispetto alla scala, si determini in che direzione e con quale velocità si muoverà la mongolfiera Si determini lo stato di moto finale se l’uomo interrompe la salita

y x Riassumiamo i dati fondamentali del quesito: La mongolfiera di massa M si trova ferma rispetto ad un riferimento terrestre: gravità e la spinta di Archimede si annullano Quindi: la risultante delle forze esterne applicate al sistema è nulla Quindi: la quantità di moto del sistema si conserva, e siccome all’inizio è zero, è zero sempre. La massa m si avvicina alla massa M con velocità relativa v La mongolfiera avrà acquisito una velocità vM La velocità vm della massa m rispetto al sistema di riferimento sarà: vm = v + vM La quantità di moto del sistema è sempre zero: m vm+ M vM = 0 m (v + vM ) + M vM = 0  m v + m vM + M vM = 0 m v + (m + M) vM = 0  vM = − m v / (m + M) Se l’uomo si ferma, v = 0 quindi anche vM = 0 y M m x

Un altro esempio di meccanica traslatoria sempre a titolo di ripasso: Un cannone ed una riserva di proiettili si trovano all’interno di un vagone ferroviario di lunghezza L0 La massa del vagone + il cannone è M e la massa complessiva di tutti i proiettili è m Il fenomeno è il seguente: Il cannone spara verso destra e quindi retrocede verso sinistra Ogni proiettile rimane all’interno del vagone dopo essere stato sparato SENZA UTILIZZARE ALCUNA FORMULA RISPONDERE AI QUESITI: Determinare la massima distanza che il vagone può avere percorso dopo avere sparato tutti i proiettili Determinare la velocità del vagone dopo che tutti i proiettili sono stati sparati

x x Prima considerazione: Il sistema è isolato, quindi il suo baricentro NON si muove Seconda considerazione: Si ha uno spostamento del sistema al suo interno, ma il baricentro rimane sempre fermo Quindi: L0 M +m x baricentro Massimo spostamento: L0 velocità finale = 0 L0 M +m x baricentro