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Adesso ci proponiamo di rispondere al seguente quesito: Si consideri un corpo costituito da due sfere A e B di massa m = 5kg ciascuna, collegate da un’asta leggera ma rigida di lunghezza 1 metro, come in figura. O A B 1 m Si trattino le sfere come masse puntiformi e si trascuri la massa dell’asta. Calcolare il momento di inerzia del corpo: Rispetto ad un asse ortogonale all’asta e passante per il punto centrale O Rispetto ad un asse parallelo al precedente ma passante per una della due sfere

Avevamo visto che il concetto di momento di inerzia era stato introdotto a proposito della formulazione dell’energia cinetica di rotazione. Rivediamo

Energia di rotazione e momento di inerzia Non c’è dubbio che ciascuna particella di cui si compone un corpo rigido in rotazione possiede un certa energia cinetica: Una particella di massa m di un corpo rigido situata ad una distanza r dall’asse di rotazione del corpo rigido in questione avrà una velocità v = ω r , dove ω è la velocità angolare del corpo rigido. ω r Pertanto l’energia cinetica di questa particella sarà: ½ m v2 = ½ m ω2r2

K = ½ m1 ω2 r21 + ½ m2 r22 + ………….. ½ mN ω2 r2N Se, come stiamo supponendo, il corpo è rigido allora la velocità angolare ω è la stessa per tutte le particelle di cui si compone, e l’energia cinetica totale K sarà la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle : K = ½ m1 ω2 r21 + ½ m2 r22 + ………….. ½ mN ω2 r2N K = ½ ( m1 r21 + m2 r22 + ………….. mN r2N ) ω2 K = ½ ∑ ( mi r2i ) ω2 Il termine ∑ ( mi r2i ) che indichiamo col simbolo I è denominato Momento di Inerzia del corpo rigido rispetto a quel particolare asse di rotazione I = ∑ ( mi r2i )

Va sottolineato che il Momento di Inerzia di un corpo rigido dipende quindi dall’asse, oltre che dalla forma del corpo e dalla distribuzione delle masse. Il Momento di Inerzia I ha dimensioni: [ M L2 ] e si misura in: kg m2 Introducendo il Momento di Inerzia, l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione Krot è espressa pertanto dalla: Krot = ½ I ω2

Una interessante analogia: Moto traslatorio Moto rotatorio Energia cinetica ½ m v2 ½ I ω2 velocità v ω massa m I Cosi come ω è nel moto rotatorio l’equivalente della velocità v nel moto traslatorio, I è nel moto rotatorio l’equivalente della massa m nel moto traslatorio. Occorre però ricordare che mentre m non dipende dalla posizione del corpo, I dipende dal particolare asse attorno a cui avviene la rotazione

Nel caso in cui il corpo rigido non è costituito da un insieme finito di particelle distinte, ma è costituito da una distribuzione continua di materia, l’operazione di somma che compare nella formula: I = ∑ ( mi r2i ) diventerà una integrazione: considereremo il corpo costituito da masse infinitesime dm e considereremo la distanza r fra tali masse e l’asse di rotazione: I = r2dm dove l’integrale è esteso sull’intero corpo ∫

Nel caso di corpi di forma complicata, il calcolo di questo integrale può essere difficile, ma nel caso di corpi con una geometria regolare e l’asse di rotazione coincidente con l’asse di simmetria, il calcolo è abbastanza semplice. Ecco di seguito alcuni esempi:

Moto rettilineo di una particella Moto rotatorio di un corpo rigido Per la dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido si definiranno pertanto una serie di grandezze perfettamente analoghe a quelle del moto rettilineo di una particella : Moto rettilineo di una particella Moto rotatorio di un corpo rigido Spostamento x Spostamento angolare θ Velocita v = dx/dt Velocità angolare ω = dθ/dt Accelerazione a = dv /dt Accelerazione angolare α = dω/dt Massa m Momento di inerzia I Forza F = ma Momento della forza τ = I α Lavoro ∫ F dx ∫ τ dθ Energia cinetica ½ m v2 ½ I ω2 Quantità di moto mv Momento angolare I ω

Riprendiamo quindi in esame il quesito: Si consideri un corpo costituito da due sfere A e B di massa m = 5kg ciascuna, collegate da un’asta leggera ma rigida di lunghezza 1 metro, come in figura. O A B 1 m Si trattino le sfere come masse puntiformi e si trascuri la massa dell’asta. Calcolare il momento di inerzia del corpo: Rispetto ad un asse ortogonale all’asta e passante per il punto centrale O Rispetto ad un asse parallelo al precedente ma passante per una della due sfere

I = ∑ ( mi r2i ) rA = −0.5 m rB = 0.5 m I = mA rA2 + mB rB2 Riscriviamo la formula per il momento di inerzia nel caso di masse puntiformi: I = ∑ ( mi r2i ) Nel caso in cui l’asse passa per O ed è ortogonale all’asta: 5 kg 5 kg A B O rA = −0.5 m rB = 0.5 m I = mA rA2 + mB rB2 I = (5 kg) (0.5 m)2 + (5 kg) (0.5 m)2 I = 5 x 0.25 + 5 x 0.25 = 2.5 kg m2

rA = 0 rB = 1 m I = mA rA2 + mB rB2 I = (5 kg) (0 m)2 + (5 kg) (1 m)2 Nel caso in cui l’asse passa per una delle due masse ed è ortogonale all’asta: 5 kg 5 kg A B O rA = 0 rB = 1 m I = mA rA2 + mB rB2 I = (5 kg) (0 m)2 + (5 kg) (1 m)2 I = 5 x 0 + 5 x 1= 5 kg m2

concetti che abbiamo appena ripassato Adesso vediamo un altro esempio di dinamica rotazionale che richiede gli stessi concetti che abbiamo appena ripassato Un disco omogeneo di raggio R e di massa M è montato su un perno e sostenuto da supporti privi di attrito come in figura. Una cordicella priva di massa è fissata e arrotolata attorno al disco, ed è tirata verso il basso da una tensione T Determinare l’accelerazione angolare del disco e l’accelerazione tangenziale in un punto sul bordo R T

Facendo riferimento ai simboli adottati, in questo caso avremo: τ = R x T Essendo R e T ortogonali Il modulo di τ = R T sin θ sarà : τ = R T Il momento di inerzia I del disco rispetto all’asse di rotazione è dato dalla: I = ½ M R2 e dalla relazione τ = I α si ha: I α = RT  α = 𝑅𝑇 ½ M R2 = 2 𝑇 M R L’accelerazione tangenziale a vale a = R α

Supponiamo adesso di appendere alla corda una massa m e di volere ricalcolare l’accelerazione angolare e quella tangenziale. Sia mg la forza di gravità che agisce sulla massa e T la tensione di reazione diretta verso l’alto. Il corpo di massa m accelera verso il basso, e la sua accelerazione a è data dalla II Legge di Newton: m g – T = m a [1] In questa formula a è anche l’accelerazione tangenziale del disco. R T T m m g

Supponiamo adesso di appendere alla corda una massa m e di volere ricalcolare l’accelerazione angolare e quella tangenziale. Sia mg la forza di gravità che agisce sulla massa e T la tensione di reazione diretta verso l’alto. Il corpo di massa m accelera verso il basso, e la sua accelerazione a è data dalla II Legge di Newton: m g – T = m a [1] In questa formula a è anche l’accelerazione tangenziale del disco. R T T m m g

τ = I α RT = ½ M R2 α T = ½ M R α T = ½ M a m g – T = m a Per l’accelerazione angolare α potremo scrivere di nuovo: τ = I α RT = ½ M R2 α T = ½ M R α e ricordando che R α = a si ha: T = ½ M a Riscrivendo la [1]: m g – T = m a avremo le due equazioni: m g – T = m a Con due equazioni e due incognite (T e a), possiamo risolvere il quesito.

Momento angolare di una particella Nella dinamica del moto rotatorio, il concetto di momento angolare (o momento della quantità di moto) ha un ruolo simile a quello che ha la quantità di moto nella dinamica del moto traslatorio. Vedremo che la definizione e l’applicazione di questo concetto ci permetterà di ricavare un’altra importante Legge di conservazione. Consideriamo una particella di massa m e quantità di moto p situata ad una distanza r dall’origine O di un sistema di assi x-y-z. Il momento angolare della particella rispetto al punto O è definito dalla: L = r x p Cioè: il prodotto vettoriale di r per p

L y p y r z

In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, il modulo di L è dato da: L = r p sin θ La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r e p Il verso è stabilito dalla consueta regola della mano destra. Dalla definizione, che è del tutto analoga al momento di una forza, si vede che il momento angolare L è il momento della quantità di moto.

τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 E abbiamo visto che: τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 Cioè: la derivata rispetto al tempo del momento angolare (o momento della quantità di moto) di particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa.

Questa equazione: τ = 𝑑𝐋 𝑑𝑡 è analoga alla equazione che avevamo scritto per il moto traslatorio: F = 𝑑𝐩 𝑑𝑡 che stabiliva che la derivata rispetto al tempo della quantità di moto di una particella è uguale alla forza che agisce su di essa, e che implicava che: dp = F dt  Δp = F(t) dt (relazione impulso – variazione quantità di moto) Ci aspettiamo pertanto che risulti anche che: dL = τ dt  ΔL = τ(t) dt ∫ ∫

Il momento angolare di un corpo rigido è il prodotto del suo momento di inerzia per la sua velocità angolare. Si noti l’analogia della formula: L = I ω con la formula relativa al moto traslatorio: p = m v Risulta quindi τ = 𝑑 𝑑𝑡 Iω Se I = costante risulta τ = I α

F = m a τ = I α F = 𝑑 𝑑𝑡 (m v) = 𝑑 𝑑𝑡 p τ = 𝑑 𝑑𝑡 (Iω) = 𝑑 𝑑𝑡 L Quindi, come in dinamica traslatoria si ha F = m a In dinamica rotatoria si ha τ = I α E così come la F = m a poteva essere formulata nel caso più generale caso di una massa variabile con la formula: F = 𝑑 𝑑𝑡 (m v) = 𝑑 𝑑𝑡 p Per il momento angolare avremo in generale: τ = 𝑑 𝑑𝑡 (Iω) = 𝑑 𝑑𝑡 L

Conservazione del momento angolare Dalla relazione precedente risulta che se : τest = 0  𝑑 𝑑𝑡 L = 0 Cioè: quando il momento risultate delle forze applicate ad un sistema è nullo, il momento angolare è costante. Cioè: il momento angolare di un sistema isolato è costante QUINDI: in un sistema isolato I ω = costante

Se durante il moto rotatorio cambia la distribuzione delle masse (e quindi cambia I) cambierà di conseguenza ω, un fenomeno largamente usato da atleti e ballerini !!!

Un classico esempio: il moto di precessione di una trottola z L Una trottola è un oggetto a simmetria cilindrica che ruota attorno al suo asse di simmetria. Indicando con ω la sua velocità angolare e con I il suo momento di inerzia rispetto all’asse, il suo momento angolare è dato da: L = I ω y x Poiché il momento angolare di un sistema isolato si conserva, una trottola su cui non agiscono forze esterne o attriti mantiene in eterno il suo stato di moto immutato.

z L y x Questa affermazione è vera, qualsiasi sia la direzione del momento angolare L = I ω Quindi anche nel caso di una trottola inclinata come in figura, il moto rotatorio continua all’infinito immutato. L y x Eppure l’esperienza ci insegna che se l’asse è inclinato, la trottola subisce un moto di precessione, cioè la direzione del vettore L varia continuamente, quindi L ≠ costante.

Come spieghiamo questo fenomeno ? Evidentemente nel caso reale la trottola non è un sistema isolato: su di essa agisce la forza di gravitazione. Vediamo allora di capire cosa succede. Sia m la massa della trottola, sia θ l’angolo dell’asse della trottola rispetto alla verticale, e consideriamo il momento τ rispetto al punto di appoggio O esercitato dalla forza di gravità mg sul baricentro della trottola, individuato da un vettore r come in figura. z Scriveremo: τ = r x m g il cui modulo è: τ = r m g sin θ La direzione di τ è ortogonale al piano individuato da r e g Questa stessa sarà quindi la direzione della variazione di momento angolare ΔL in un breve tempo Δt , in quanto risulta: ΔL = τ Δt L θ r mg O y x

Risulta quindi che dopo un breve intervallo di tempo Δt il momento angolare L è diventato L + ΔL Poiché ΔL è ortogonale a L ed è supposto molto piccolo rispetto a L il nuovo vettore momento angolare ha lo stesso modulo del vecchio ma una diversa direzione. z L θ Quindi col passare del tempo la punta della freccia del vettore L si muove lungo un cerchio come in figura

Riferendoci al disegno della slide precedente, vediamo quindi di capire da quali parametri dipende la velocità angolare di precessione ωp z ΔL Δβ L + ΔL L θ Si ha: ωp = Δβ / Δt

Poiché abbiamo assunto ΔL << L potremo scrivere Δβ = Δ𝐿 𝐿 sin θ = τ Δ𝑡 𝐿 sin θ e poiché era : τ = r m g sin θ Si ha: Δβ = r m g sin θ Δ𝑡 𝐿 sin θ E quindi : ωp = Δβ /Δt  r m g sin θ Δ𝑡 𝐿 sin θ Δ𝑡 = r m g 𝐿 Cioè: per L grande, la velocità angolare di precessione è piccola