Corso di Fisica Subnucleare Effetto Materia Se il neutrino attraversa un mezzo denso (sole, terra), l'interazione con la materia altera i risultati ottenuti nel vuoto (Wolfenstein 1978) Imperturbato, autostati : | v j > Interazione, autostati : | v a > 𝑖 ∂ ∂𝑡 |>= 𝐻 0  𝐻 𝐼 |> Gli autostati di H nella materia sono una combinazione di vj e va . Questo cambia i risultati precedenti Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Il potenziale: VI = <na | HI | na > Materia : p, n, e-, con densita' rp, rn, re Interazioni corrente neutra : 𝐸− 𝐺 𝐹 2  𝑛  𝑚 2 2A 2𝐸   𝑒,, 𝑉 𝐼, 𝑁𝐶 = 𝐺 2   𝑝 −  𝑒 1−4 sin 2  𝑊 −  𝑛 Z =− 𝐺 𝐹 2  𝑛 Lo stesso termine per ne, nm, nt 𝑓=𝑒,𝑝,𝑛 𝑓 Interazioni corrente carica : 𝑉 𝐼,𝑒 𝐶𝐶 = 𝐺 𝐹 2 2  𝑒  𝑒 𝑒 − Solo ne W+ 𝑉 𝐼,, 𝐶𝐶 =0  𝑒 𝑒 − Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Potenziale corrente carica (1) 𝐻 𝑒𝑓𝑓 𝑐𝑐 = 𝐺 𝐹 2 𝐽   𝐽  = 𝐺 𝐹 2  𝑒   1−  5        1−  5   𝑒 = 𝐺 𝐹 2  𝑒   1−  5   𝑒     1−  5    = 𝐺 𝐹 2 𝐽 ,𝑒 𝐽   (rotazione di Fierz ) 𝑉 𝐼 𝑐𝑐 =<𝑒| 𝐻 𝐼 𝐶𝐶 |𝑒>= 𝐺 𝐹 2 < e| 𝐽 ,𝑒 |e ><| 𝐽   |> < e| 𝐽 0,𝑒 |e >=  𝑒 Elettroni del mezzo a riposo : < e| 𝐽 𝑒  |e >=0 𝑉 𝐼 𝑐𝑐 = 𝐺 𝐹 2  𝑒 <|     0 1−  5    |>= 𝐺 𝐹 2  𝑒 2 Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Energia Potenziale in Base di Interazione (a) 𝑉 𝑁𝐶  2 𝐺 𝐹  𝑒 0 0 0 𝑉 𝑁𝐶 0 0 0 𝑉 𝑁𝐶  𝑒    VI = VINC + VICC = 2 𝐺 𝐹  𝑒 0 0 0 0 0 0 0 0 − 𝐺 𝐹  𝑛 2 VI = 1 + Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Corso di Fisica Subnucleare Energia Cinetica In base di massa (j) : 𝐸 1 0 0 0 𝐸 2 0 0 0 𝐸 3 = 𝐸 𝑚 1 2 2𝐸 0 0 0 𝐸 𝑚 2 2 2𝐸 0 0 0 𝐸 𝑚 3 2 2𝐸 1 2𝐸 × 𝑚 1 2 0 0 0 𝑚 2 2 0 0 0 𝑚 3 2 EK(j) = = E 1 + EK(j) = E 1 + 1/(2E) M In base di interazione (a) : EK(a) = E 1 + 1/(2E) UMU+ Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

L'Oscillazione Nella Materia: E Totale Energia totale in base a (interazione): H = VCC + VNC 1 + E 1 + 1/(2E) U M U + = Vcc + (VNC+E) 1 + 1/(2E) U M U + Nuovi autostati: diagonalizzo H Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Un esempio in 2 dimensioni So (a posteriori) che posso scomporre il problema in due oscillazioni ~ disaccoppiate Considero il caso a due dimensioni: 𝑀= 𝑚 1 2 0 0 𝑚 2 2 𝑈= cos sin −sin cos Pura rotazione UMU  = 𝑚 2 × 1 0 0 1   𝑚 2 2 × −𝑐𝑜𝑠2 𝑠𝑖𝑛2 𝑠𝑖𝑛2 𝑐𝑜𝑠2 𝑚 2 = 𝑚 1 2  𝑚 2 2 2 ,  𝑚 2 = 𝑚 1 2 − 𝑚 2 2 Esercizio: ricavare questa relazione Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Corso di Fisica Subnucleare L'Hamiltoniano 2D H = (VNC+E) 1 + Vcc + 1/(2E) U M U + = =𝐸− 𝐺 𝐹 2  𝑛  1 0 0 1  2 𝐺 𝐹  𝑒 0 0 0  𝑚 2 2𝐸 1 0 0 1   𝑚 2 4𝐸 −cos2 sin2 sin2 cos2 =𝐸− 𝐺 𝐹 2  𝑛  𝑚 2 2𝐸  1 0 0 1  1 4𝐸 4 2 𝐺 𝐹  𝑒 𝐸− 𝑚 2 cos2  𝑚 2 sin2  𝑚 2 sin2  𝑚 2 cos2 =𝐸− 𝐺 𝐹 2  𝑛  𝑚 2 2A 2𝐸  1 0 0 1  1 4𝐸 𝐴− 𝑚 2 cos2  𝑚 2 sin2  𝑚 2 sin2  𝑚 2 cos2−𝐴 𝐴=2 2 𝐺 𝑓  𝑒 𝐸 Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Corso di Fisica Subnucleare L'Hamiltoniano 2D 𝐻=𝐸− 𝐺 𝐹 2  𝑛  𝑚 2 2A 2𝐸  1 0 0 1  1 4𝐸 𝐴− 𝑚 2 cos2  𝑚 2 sin2  𝑚 2 sin2  𝑚 2 cos2−𝐴 𝐸− 𝐺 𝐹 2  𝑛  𝑚 2 2A 2𝐸  H = 1 + 1/(4E) S Per trovare autostati e autovalori e' sufficiente diagonalizzare S Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Autostati e Autovalori Casi particolari: A = 0 (re=0) ritrovo ovviamente gli autostati nel vuoto A = Dm2 cos2q Risonanza sin 2qm =1 massimo mescolamento anche per valori molto piccoli (ma non nulli) dei parametri fisici (PMSN) sin2  𝑚 = sin2 sin 2 2  𝐴  𝑚 2 −cos2 2 cos2  𝑚 = cos2− 𝐴  𝑚 2 sin 2 2  𝐴  𝑚 2 −cos2 2 sin 2 2  𝐴  𝑚 2 −cos2 2  𝑚 𝑚 2 = 𝑚 2 𝐿 𝑚 = 4𝐸  𝑚 𝑚 2 = sin 2 2  𝑚 sin 2 2 𝐿 0 Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Probabilita' di transizione  𝑚   𝑒    = sin 2 2  𝑚 sin 2  𝐿 𝐿 𝑚  materia  0   𝑒    = sin 2 2  0 sin 2  𝐿 𝐿 0  vuoto formalmente identiche ! tuttavia sin2 2qm puo' assumere grandi valori, fino a 1 , anche per valori piccoli di sin2 2q0 materia -> amplificazione e' quanto avviene nel caso dei neutrini solari Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Condizioni per la risonanza 𝐴=2 2 𝐺 𝐹  𝑒 𝐸= 𝑚 2 cos2  𝑒 =  𝑚 2 cos2 2 2 𝐺 𝐹 𝐸 tuttavia re = re(x) , dove x e' la distanza dal centro del sole quindi HI = HI(x) = HI(t) : hamiltoniano time dependent L'analisi e' complicata Si semplifica nell'ipotesi di adiabaticita' : cambiamento graduale di re(x), in modo che la zona di risonanza contenga svariate oscillazioni Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Corso di Fisica Subnucleare Modello Ingenuo Nell'ipotesi di adiabaticita' , e nell'ipotesi che xN<xr<xS si trova che la probabilita' di oscillazione e' determinata dai valori di qm agli estremi :   𝑒   𝑒 = 1 2 1cos2  𝑚  𝑥 𝑆 cos2  𝑚  𝑥 𝑁    𝑒    = 1 2 1−cos2  𝑚  𝑥 𝑆 cos2  𝑚  𝑥 𝑁  Notiamo che:  𝑥 𝑁 ≫ 𝑥 𝑟 𝐴 𝑥 𝑁 ≫𝐴 𝑥 𝑟 = 𝑚 2 cos2  0 Nucleo (produzione) 2 𝑥 𝑁 e se sin 2q0 e' piccolo , allora : 2 𝑥 𝑟 Risonanza cos2  𝑚  𝑥 𝑁 ≃−1 (vedi espressione pag.10 ) ovvero: Superficie 2 𝑥 𝑆 Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07

Corso di Fisica Subnucleare Conclusioni   𝑒   𝑒 = 1 2 1−cos2  𝑚  𝑥 𝑆 = 1 2 1−cos2  0  Superficie solare assimilabile al vuoto   𝑒    = 1 2 1cos2  𝑚  𝑥 𝑆 ≃ 1 2 1cos2  0  Se sin 2q0 e' piccolo cos 2q0 ~ 1 --> massima oscillazione ! Situazione paradossale indotta dal fenomeno della risonanza Corso di Fisica Subnucleare Parte II – AA 06-07