ESEMPI CON RICHIAMI AI PRINCIPALI CONCETTI ONDE ESEMPI CON RICHIAMI AI PRINCIPALI CONCETTI

Esempio 1 Un’onda si propaga ad una velocità di 243 m/s e ha una lunghezza d’onda di 3,27 cm. Calcolare il periodo dell’onda Rivediamo i concetti che conducono alla definizione delle grandezze in questione

Una particolare forma d’onda, che come abbiamo visto, riveste una notevole importanza. Supponiamo che al tempo t si abbia in una fune un treno d’onda descritto dalla relazione: y (x) = ym sin 2π 𝑥 λ Notiamo che: La forma dell’onda è una sinusoide. Lo spostamento massimo ym dà l’ampiezza della sinusoide. Lo spostamento trasversale y in un dato punto x è lo stesso come in x + λ, x + 2λ, etc.. Il simbolo λ è denominato lunghezza d’onda del treno e misura la distanza minima tra due punti dell’onda aventi la stessa fase. y x

y (x,t) = ym sin ( 2π λ (x − v t) ) Supponiamo che al passare del tempo, l’onda viaggi verso destra con una velocità di fase v. Quindi l’equazione d’onda al tempo t risulta essere: y (x,t) = ym sin ( 2π λ (x − v t) )

y (x,t) = ym sin 2π ( 𝑥 λ − v𝑡 λ ) Il periodo T è il tempo necessario all’onda per percorrere la distanza di una lunghezza d’onda. Risulta quindi: λ = v T Ponendo questa espressione nell’equazione d’onda, si ottiene: y (x,t) = ym sin 2π λ (x − v t) y (x,t) = ym sin 2π ( 𝑥 λ − v𝑡 λ ) y (x,t) = ym sin 2π ( 𝑥 λ − v𝑡 v T ) y (x,t) = ym sin 2π ( 𝑥 λ − 𝑡 T )

y (x,t) = ym sin 2π ( 𝑥 λ − 𝑡 T ) y (x,t) = ym sin (kx − ωt) Notiamo la simmetria che presenta questa equazione d’onda fra x e λ e fra t e T : y (x,t) = ym sin 2π ( 𝑥 λ − 𝑡 T ) In un qualunque istante t, la y ha lo stesso valore in: x, x + λ, x + 2λ , etc.. In una qualsiasi posizione x, la y ha lo stesso valore in: t, t + T, t + 2T , etc… Daremo a questa equazione una forma più sintetica definendo due parametri: Il numero d’onda k = 2π / λ La frequenza angolare ω = 2π / T y (x,t) = ym sin (kx − ωt)

Confrontando la definizione dei due parametri Il numero d’onda k = 2π / λ La frequenza angolare ω = 2π / T con la: λ = v T noteremo che la velocità di fase v vale: v = λ / T = ω / k

v = λ / T T = λ /v = 0,0327 / 243 = 0,000135 s = 135 microsec Ecco la relazione che ci serve: v = λ / T Da cui, nota la velocità v = 243 m/s e la lunghezza d’onda λ = 3,27 cm si ha: T = λ /v = 0,0327 / 243 = 0,000135 s = 135 microsec

y (x,t) = ym sin (kx + ωt) Esempio 2 Si scriva una funzione che descrive un’onda che viaggia nel verso negativo dell’asse x con ampiezza 1,2 cm, frequenza 548 Hz e velocità 326 m/s Essendo la velocità negativa, l’equazione dell’onda sarà del tipo: y (x,t) = ym sin (kx + ωt) Dove in base alle relazioni che abbiamo rivisitato nell’esercizio precedente: Il numero d’onda k = 2π / λ dove λ = v T La frequenza angolare ω = 2π / T E ricordiamo che f = 1/T, cioè ω = 2π f

y (x,t) = ym sin (kx + ωt) Esempio 2 Si scriva una funzione che descrive un’onda che viaggia nel verso negativo dell’asse x con ampiezza 1,2 cm, frequenza 548 Hz e velocità 326 m/s Essendo la velocità negativa, l’equazione dell’onda sarà del tipo: y (x,t) = ym sin (kx + ωt) Dove in base alle relazioni che abbiamo rivisitato nell’esercizio precedente: Il numero d’onda k = 2π / λ dove λ = v T La frequenza angolare ω = 2π / T E ricordiamo che f = 1/T, cioè ω = 2π f

Dalla: k = 2π / λ dove λ = v T Ricordando che: T = 1/f = 1/ 548 Si ha: k = 2π/λ = 2π f / v = 2π 548 / 326 = 3.36 π rad/s ω = 2π f Si ha: ω = 2π f = 2π 548 = 1096 π rad / s Da cui: y (x,t) = 1,12 10-2 sin(3.36 π • x + 1096 π • y)

Dalla: k = 2π / λ dove λ = v T Ricordando che: T = 1/f = 1/ 548 Si ha: k = 2π/λ = 2π f / v = 2π 548 / 326 = 3.36 π rad/s ω = 2π f Si ha: ω = 2π f = 2π 548 = 1096 π rad / s Da cui: y (x,t) = 1,12 10-2 sin(3.36 π • x + 1096 π • y)

y = (6,0 cm) sin [ (2,0 π rad/m) x + (4,0 π rad/s) t ] Esempio 3 Un’onda trasversale che si propaga lungo una corda è descritta dalla seguente funzione: y = (6,0 cm) sin [ (2,0 π rad/m) x + (4,0 π rad/s) t ] Determinare: l’ampiezza la lunghezza d’onda la frequenza la velocità il verso di propagazione

Ricordiamo che l’equazione che descrive un’onda trasversale è la seguente y (x , t) = ym sin (kx − ωt) Dove: k = 2π / λ è il numero d’onda ω = 2π / T è la frequenza angolare ym è la ampiezza

y (x) = ym sin (kx − i ) dove: i = ωti Quindi, ripetiamo, il fenomeno è il seguente: Se facciamo una «istantanea» al tempo ti della corda, osserveremo che la corda ha una forma sinusoidale in funzione della coordinata x, descritta dall’equazione: y (x) = ym sin (kx − i ) dove: i = ωti y x λ k = 2π / λ

y (x) = ym sin (kx − i+1 ) dove: i+1 = ωti+1 Se facciamo una «istantanea» a istanti di tempo successivi ti+1 ti+2 ti+3 etc…, osserveremo che la corda ha sempre una forma sinusoidale in funzione della coordinata x, descritta ad ogni istante dall’equazione: y (x) = ym sin (kx − i+1 ) dove: i+1 = ωti+1 y (x) = ym sin (kx − i+2 ) dove: i+2 = ωti+2 y (x) = ym sin (kx − i+3 ) dove: i+3 = ωti+3 Quindi è una sinusoide che «si va spostando verso destra»: y x y x y 16 x 16

y x y x y x Quindi è una sinusoide che «si va spostando verso destra»: e ricordiamo quanto abbiamo imparato sulla velocità di spostamento verso destra: y x y x y 17 x 17

Quindi è una sinusoide che «si va spostando verso destra»: v = λ / T = ω / k y x y x y 18 x 18

y (t) = ym sin (i − ωt) dove: i = kxi Se invece analizziamo l’andamento nel tempo del moto trasversale di un punto della corda ad una certa ascissa xi , osserviamo che l’andamento è descritto dalla funzione: y (t) = ym sin (i − ωt) dove: i = kxi Questa, a meno di un termine di fase, è l’equazione di un Oscillatore Armonico: y x xi y ym x xi

y = (6,0 cm) sin [ (2,0 π rad/m) x + (4,0 π rad/s) t ] Confrontando l’equazione citata nell’esempio esempio: y = (6,0 cm) sin [ (2,0 π rad/m) x + (4,0 π rad/s) t ] con l’equazione d’onda: y (x , t) = ym sin (kx − ωt) si identificano i parametri: k = 2,0 π rad/m ω = 4,0 π rad/s ym = 6,0 cm

Avendo in mente i parametri: k = 2,0 π rad/m ω = 4,0 π rad/s ym = 6,0 cm Tornando ai quesiti, si ha: a) l’ampiezza  ym = 6,0 cm b) la lunghezza d’onda  λ = 2π / k  λ = 2π / 2,0 π = 1 m c) la frequenza  f = ω / 2π  4,0 π / 2π  2 Hz d) la velocità  v = ω / k  4,0 π / 2,0 π  2 m/s e) il verso di propagazione: il segno davanti al termine ωt è positivo, quindi si propaga verso sinistra

Esempio 4 Una corda di una chitarra ha una densità lineare di 7,16 g/m ed è sottoposta ad una tensione di 152 N. I supporti fissi distano 89,4 cm. Si calcoli la velocità v di propagazione. 89,4 cm Supponendo che la corda vibri secondo lo schema di onda stazionaria indicato in figura, si calcoli: b) la lunghezza d’onda c) la frequenza

v = 𝐹 μ F = 152 N μ = 0,00716 kg/m v = (152 / 7,16)1/2 = 145,7 m/s Calcolo della velocità di propagazione Abbiamo visto che la velocità di propagazione di un’onda in una fune di densità lineare μ sottoposta ad una tensione F è data da: v = 𝐹 μ Nel caso specifico abbiamo: F = 152 N μ = 0,00716 kg/m v = (152 / 7,16)1/2 = 145,7 m/s

v = 𝐹 μ F = 152 N μ = 0,00716 kg/m v = (152 / 7,16)1/2 = 145,7 m/s Calcolo della velocità di propagazione Abbiamo visto che la velocità di propagazione di un’onda in una fune di densità lineare μ sottoposta ad una tensione F è data da: v = 𝐹 μ Nel caso specifico abbiamo: F = 152 N μ = 0,00716 kg/m v = (152 / 7,16)1/2 = 145,7 m/s

Calcolo della lunghezza d’onda 89,4 cm Sappiamo che il numero n di «ventri» di un’onda stazionaria è dato dalla lunghezza L della corda diviso la metà della lunghezza d’onda (λ/2) Cioè n = L / (λ/2)  λ = 2L / n  λ = 2L/3 = 59,6 cm

Calcolo della lunghezza d’onda 89,4 cm Sappiamo che il numero n di «ventri» di un’onda stazionaria è dato dalla lunghezza L della corda diviso la metà della lunghezza d’onda (λ/2) Cioè n = L / (λ/2)  λ = 2L / n  λ = 2L/3 = 59,6 cm

Calcolo della frequenza I dati disponibili che abbiamo già ricavato sono: λ = 59,6 cm = 0,0596 m v = 145,7 m/s Abbiamo visto durante la lezione che: f = v / λ Quindi: f = 145,7 / 0,056 = 2601,8 Hz

Calcolo della frequenza I dati disponibili che abbiamo già ricavato sono: λ = 59,6 cm = 0,596 m v = 145,7 m/s Abbiamo visto durante la lezione che: f = v / λ Quindi: f = 145,7 / 0,596 = 244,5 Hz