ONDE Nei sistemi elastici continui (gas, liquidi, solidi) possono propagarsi stati di moto ondulatorio che hanno una velocità ben definita e trasportano energia. 𝑣 Oscillazione nell’ origine 𝑦(0,𝑡) = 𝐴sin(𝜔 𝑡 𝑦 O 𝑦(𝑥,𝑡) x Un punto a x metri dall’ origine O all’ istante t subisce lo spostamento y(x,t) dalla posizione di riposo che aveva l’ origine O Δt secondi prima, dove 𝛥 𝑡 = 𝑥 𝑣 Lo spostamento trasversale y(x,t) del punto a distanza x dall’ origine all’ istante t si scriverà pertanto P17 Onde Generalita'

Equazione delle onde sinusoidali 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴sin ω 𝑡− 𝑥 𝑣 = 𝐴sin ω𝑡− ω 𝑣 𝑥 Definiamo 𝜔 𝑣 ≡ 𝑘 Numero d’ onda ottenendo 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴sin ω𝑡−𝑘𝑥 oppure 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴sin 𝑘𝑥−ω𝑡 Equazione delle onde sinusoidali P17 Onde Generalita'

𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴sin 𝑘𝑥−ω𝑡 Lo stesso valore di y si ha per x,t che soddisfano alla relazione 𝑘𝑥−𝜔 𝑡 = costante Δ𝑥 Δ𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝑣= ω 𝑘 𝜔 𝑣 ≡ 𝑘 coerente con la precedente posizione Analogamente per onda che si propaga verso sinistra 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴sin 𝑘𝑥+ω𝑡 otteniamo per la velocità 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = − 𝜔 𝑘 P17 Onde Generalita'

Lunghezza d'onda Congeliamo il tempo t=0 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴sin 𝑘𝑥 𝑘λ=2π λ= 2π 𝑘 P17 Onde Generalita'

Periodo T, frequenza f Congeliamo la posizione x = 0 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴sin ω𝑡 ω𝑇=2π Periodo T, frequenza f 𝑓= 1 𝑇 = ω 2π 𝑣=λ𝑓 P17 Onde Generalita'

Due grafici apparentemente identici ma dal significato molto diverso Grafico dello spostamento di un dato punto della corda in funzione del tempo 𝑦 𝑚 𝜆 Grafico dello spostamento di tutti i punti della corda ad un dato istante. P17 Onde Generalita'

Onda stazionaria Si sommano le due onde (coseno identico a seno): 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴cos 𝑘𝑥−ω𝑡 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴cos 𝑘𝑥+ω𝑡 prostaferesi cos 𝑎 +cos 𝑏 =2cos 𝑎+𝑏 2 cos 𝑎−𝑏 2 𝑦 𝑥,𝑡 =2𝐴cos 𝑘𝑥−ω𝑡+𝑘𝑥+ω𝑡 2 cos 𝑘𝑥−ω𝑡−𝑘𝑥−ω𝑡 2 = 2𝐴cos 𝑘𝑥 cos −ω𝑡 =2𝐴cos 𝑘𝑥 cos ω𝑡 I NODI sono dove y(x,t) = 0 𝑘𝑥= 2𝑛+1 π 2 𝑥= 2𝑛+1 π 2𝑘 P17 Onde Generalita'

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Battimenti 𝑦 1 𝑥,𝑡 =𝐴cos 𝑘 1 𝑥+ ω 1 𝑡 𝑦 2 𝑥,𝑡 =𝐴cos 𝑘 2 𝑥+ ω 2 𝑡 𝑘 𝑎 = 𝑘 1 − 𝑘 2 2 ω 𝑎 = ω 1 − ω 2 2 𝑘 𝑏 = 𝑘 1 + 𝑘 2 2 ω 𝑏 = ω 1 + ω 2 2 modulante portante P17 Onde Generalita'

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Effetto Doppler 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴sin 𝐾 0 𝑥− ω 0 𝑡 La sorgente si muove verso l'osservatore con velocità vs La distanza tra due fronti d'onda (visti dall'osservatore) è: λ= λ 0 − 𝑣 𝑠 𝑇 0 𝑇 0 = 1 𝑓 0 = λ 0 𝑣 0 ⇒ λ= λ 0 1− 𝑣 𝑠 𝑣 0 Si riduce la lunghezza d'onda P17 Onde Generalita'

Se si passa alle frequenze (determinano la vibrazione dell'orecchio), allora: λ 0 = 𝑣 0 𝑓 0 λ= 𝑣 0 𝑓 La velocità di propagazione è la stessa perché avviene nell'aria, quindi la frequenza udita dall'osservatore risulta: 𝑣 0 𝑓 = 𝑣 0 𝑓 0 − 𝑣 𝑠 𝑣 0 𝑓 0 𝑣 0 𝑓= 𝑓 0 𝑣 0 𝑣 0 − 𝑣 𝑠 La frequenza aumenta 𝑓< 𝑓 0 P17 Onde Generalita'

Onde trasportano energia 𝐸 1 2 𝑚 ω 2 𝐴 2 Energia nell'oscillatore armonico Immaginiamo una corda che oscilla come un insieme di oscillatori armonici con massa m=r dl 𝐸= 1 2 ρ𝑑𝑙 ω 2 𝐴 2 La densità di energia lungo la corda diventa 𝑑𝐸= 1 2 𝑑𝑙 ω 2 𝐴 2 E si sposta con la velocità v dell'onda. Il flusso di energia è quindi: 𝑊=𝑑𝐸𝑣= 1 2 ρ ω 2 𝐴 2 𝑣 Si misura in Watt/m2 P17 Onde Generalita'

Per un'onda 3D per ottenere la potenza che attraversa una certa area si moltiplica w per l'area 𝑃=𝑊 𝐴 𝑠 = 1 2 ρ ω 2 𝐴 2 𝑣 𝐴 𝑠 Intensità 𝐼= 𝑃 𝐴 𝑠 = 1 2 ρ ω 2 𝐴 2 𝑣=2 π 2 ρ 𝑓 2 𝐴 2 𝑣 Si misura in watt/m2 Per aumentare l'intensità si può aumentare A (numero di fotoni) oppure f (fotoni più energetici) P17 Onde Generalita'

Scala dei decibel L’ orecchio umano è sensibile a una vasta gamma di intensità del suono, che va da 10-12 a 100 W/m2. 𝑑𝛽 ≡ 10 log 𝐼 𝐼 0 dove I0 è una intensità di riferimento pari a 10-12 W/m2 . 𝐼 = 10 −12 𝑊 𝑚 2 → 𝑑𝛽 = 10 log1 = 0 𝑑𝐵 𝐼 = 1 𝑊 𝑚 2 → 𝑑𝛽 = 10 log 1 10 −12 = = 10 log 10 12 = 120 𝑑𝐵 P17 Onde Generalita'

Vi sono due tipi fondamentali di onde: Onde trasversali (ad es. le onde su una corda, le onde elettromagnetiche): l’ oscillazione avviene trasversalmente alla direzione di propagazione. 𝑦 𝑥 Onde longitudinali (ad es. le onde sonore ): l’ oscillazione avviene lungo la direzione di propagazione. 𝑦 𝑥 P17 Onde Generalita'