I calcoli finanziari: l’interesse Classe II ITC

Il concetto di interesse Con le operazioni di credito un soggetto (creditore) concede in prestito una somma di denaro, per un periodo di tempo determinato, ad un altro soggetto (debitore). Alla scadenza stabilita, il debitore, oltre a rimborsare il capitale ricevuto in prestito,deve pagare al creditore un’ulteriore somma di denaro, chiamata interesse. L’interesse è il compenso spettante al creditore che concede in prestito un capitale, per un determinato periodo di tempo. C¹ interesse C° t° t¹

Le formule dirette dell’interesse Per calcolare l’interesse è necessario conoscere: il capitale iniziale o capitale dato in prestito, che indichiamo con C il tasso percentuale d’interesse, cioè l’interesse che matura in un anno su un capitale di € 100 il tempo di durata del prestito, che indichiamo con t, m, g, a seconda che sia espresso, rispettivamente,in anni, in mesi o in giorni.

La formula dell’interesse con il tempo espresso in anni Poiché il tasso percentuale rappresenta l’interesse prodotto da un capitale di € 100 impiegato per un anno, l’interesse (I), prodotto da un capitale C impiegato per lo stesso periodo di tempo si determina impostando la seguente proporzione: Capitale interesse Capitale Interesse : r = C : I C x r I = 100 Nell’ipotesi che il capitale sia impiegato per t anni, si ottiene C x r x t I = o anche C x r x t/100 formula I col tempo espresso in anni 100

Un esempio Calcoliamo l’interesse che matura su un prestito di € 120.000 ottenuto per un anno al tasso del 6%. Vediamo come si fa! C x r x t 120.000 x 6 x 1 I = = = € 7.200 interesse maturato 100 100

La formula dell’interesse con il tempo espresso in mesi Quando il tempo è espresso in mesi,tenendo presente che un anno è composto da dodici mesi, per il calcolo dell’interesse si parte dalla formula fondamentale e si sostituisce I con m/12, dove m indica il numero dei mesi di durata del prestito. Si ottiene c C x r x t C x r x m/12 C x r x m I = = = 100 100 12 x 100 C x r x m Da cui : I = o anche C x r x t/1200 formula I con il tempo espresso in mesi 1200

Un esempio Un’impresa ha acquistato una partita di merci per un importo di € 7.320, ottenendo dal fornitore una dilazione di pagamento di 2 mesi al tasso del 4,50%. Calcoliamo l’interesse di dilazione. Vediamo come si fa! C x r x m 7.320 x 4,50 x 2 I = = = € 54,90 interesse maturato 1200 1200

La formula dell’interesse con il tempo espresso in giorni Quando il tempo è espresso in giorni, per determinare l’interesse si possono seguire due procedimenti: il procedimento dell’anno civile il procedimento dell’anno commerciale Col procedimento dell’anno civile si conteggiano i giorni effettivi di ogni mese quali risultano dal calendario e si considera l’anno pari a 365 giorni (o 366, nel caso di anno bisestile). Nella formula fondamentale per il calcolo dell’interesse, sostituendo t con g/365, si ha: C x r x t C x r x g/365 C x r x g I = = = da cui si ottiene: 100 100 365 x 100 C x r x g I = o anche C x r x t/36500 formula I col tempo espresso in giorni (anno civile) 36500

Un esempio Un imprenditore ha ottenuto da un finanziatore un prestito di € 219.000 per 120 giorni al tasso del 7%. Calcoliamo l’interesse da pagare alla scadenza del prestito, col procedimento dell’anno civile. Vediamo come si fa! C x r x g 219.000 x 7 x 120 I = = = € 5.040 interesse maturato 36500 36500

La formula dell’interesse con il tempo espresso in giorni Con il procedimento dell’anno commerciale si considerano convenzionalmente tutti i mesi di 30 giorni e l’anno formato complessivamente da 360 giorni. In tal caso la formula per il calcolo dell’interesse è la seguente: C x r x g I = o anche C x r x t/36000 formula I col tempo espresso in giorni (anno commerciale) 36000

Calcolo dei giorni compresi tra due date Quando si deve conteggiare l’interesse che matura fra due date prefissate, i giorni che intercorrono tra le due date sono conteggiati escludendo il giorno iniziale e includendo quello finale. Ad esempio, supponiamo di calcolare, con il procedimento dell’anno civile, la durata di un prestito concesso il 5 settembre e rimborsato il 31 ottobre, si ha: giorni di settembre + giorni di ottobre (30 – 5) = 25 31 = 56 giorni Supponiamo ancora di calcolare, sempre col procedimento dell’anno civile, la durata di un prestito concesso il 12 gennaio e rimborsato il 20 maggio: Gennaio (31 – 12) = giorni 19 Febbraio = giorni 28 Marzo = giorni 31 Aprile = giorni 30 Maggio = giorni 20 Totale giorni 128

Confronto tra diversi procedimenti per il calcolo dell’interesse con il tempo espresso in giorni Un capitale di € 82.000 è stato concesso in prestito, al tasso del 9%, dal 10 febbraio al 10 maggio di uno stesso anno. Calcoliamo l’interesse maturato, applicando sia il procedimento dell’anno civile, sia quello dell’anno commerciale. Procedimento dell’anno civile I giorni sono calcolati in base al calendario secondo l’effettiva durata di ogni mese. Febbraio (28 – 10) giorni 18 Marzo giorni 31 Aprile giorni 30 Maggio giorni 10 Totale giorni 89 Calcoliamo l’interesse I = C x r x t /36500 = 82000 x 9 x 89 / 36500 = 1.799,506 ~ 1.799,51 euro Procedimento dell’anno civile I giorni sono calcolati in base al calendario secondo l’effettiva durata di ogni mese. Febbraio (28 – 10) giorni 18 Marzo giorni 31 Aprile giorni 30 Maggio giorni 10 Totale giorni 89 Calcoliamo l’interesse I = C x r x t /36500 = 82000 x 9 x 89 / 36500 = 1.799,506 ~ 1.799,51 euro

Confronto tra diversi procedimenti per il calcolo dell’interesse con il tempo espresso in giorni Procedimento dell’anno commerciale I giorni sono calcolati in base al calendario secondo l’effettiva durata di ogni mese. Febbraio (30 – 10) giorni 20 Marzo giorni 30 Aprile giorni 30 Maggio giorni 10 Totale giorni 90 Calcoliamo l’interesse I = C x r x t /36000 = 82000 x 9 x 90 / 36000 = 1.845 euro

Adesso tocca a voi! Un commerciante ha ottenuto un prestito di € 12.300 per un anno al tasso del 10%. Calcolate l’interesse da pagare alla scadenza (R. € 1.230). Un finanziatore ha prestato € 9.840 a un’impresa per cinque mesi al tasso del 9,50%. Calcolate l’interesse riscosso dal finanziatore (R. € 389,50). Un’impresa ha concesso a un cliente una dilazione di pagamento di 70 giorni su un credito di € 4.015 al tasso del 5%. Calcolate l’interesse di dilazione con il procedimento dell’anno civile (R. € 38,50). Il giorno 4 giugno abbiamo ottenuto da una banca un prestito di € 13.240 al tasso dell’8%. Calcolate l’interesse da pagare,sapendo che il prestito è stato rimborsato il giorno 22 settembre ed è stato applicato il procedimento dell’anno civile (R. € 319,21). Applicando il procedimento dell’anno commerciale, calcolate l’interesse relativo a un capitale di € 22.320, impiegato per 180 giorni al tasso del 9,50% (R. € 1.060,20).

Le formule inverse dell’interesse Può capitare che si debba risolvere un problema nel quale è noto l’interesse, mentre l’incognita è rappresentata dal capitale o dal tasso percentuale d’interesse o dal tempo. In questi casi si applicano le formule inverse, che si possono ricavare algebricamente dalla formula fondamentale dell’interesse: C x r x t I = 100 Partendo da tale formula possiamo scrivere la seguente uguaglianza: 100 x I = C x r x t Ponendo come incognita C, otteniamo la formula per la ricerca del capitale, quando sono noti gli altri termini: 100 x I C = tempo espresso in anni r x t

Le formule inverse dell’interesse: ricerca del capitale 1200 x I C = tempo espresso in mesi r x m 36500 x I C = tempo espresso in giorni (anno civile) r x g 36000 x I C = tempo espresso in giorni (anno commerciale) r x g

Esempio Abbiamo ottenuto un prestito per tre mesi al tasso dell’8%, pagando alla scadenza un interesse di € 172,80. Calcoliamo il capitale ottenuto in prestito. Vediamo come si fa! 1200 x I 1200 x 172,80 C = = = € 8.640 capitale ottenuto in prestito r x m 8 x 3

Le formule inverse dell’interesse: ricerca del tasso di interesse 100 x I r = tempo espresso in anni C x t 1200 x I r = tempo espresso in mesi C x m 36500 x I r = tempo espresso in giorni (anno civile) C x g 36000 x I r = tempo espresso in giorni (anno commerciale) C x g

Esempio Un commerciante ha ottenuto da un fornitore una dilazione di 60 giorni su un debito di € 2.920, pagando un interesse di € 24 (calcolato con il procedimento dell’anno civile). Calcoliamo il tasso percentuale di interesse applicato dal fornitore. Vediamo come si fa! 36500 x I 36500 x 24 r = = = 5% C x g 2.920 x 60

Le formule inverse dell’interesse: ricerca del tempo 100 x I t = tempo espresso in anni C x r 1200 x I m = tempo espresso in mesi C x r 36500 x I g = tempo espresso in giorni (anno civile) C x r 36000 x I g = tempo espresso in giorni (anno commerciale) C x r

Esempio Il 6 marzo abbiamo concesso in prestito € 8.395, riscuotendo alla scadenza un interesse di € 184 calcolato al tasso del 10%. Determiniamo i giorni di durata del prestito, sapendo che si è applicato il procedimento dell’anno civile. Vediamo come si fa! 36500 x I 36500 x 184 g = = = 80 giorni C x r 8.395 x 10

Adesso tocca a voi! Calcolate quale capitale impiegato per 92 giorni al tasso del 7,50% produce un interesse di € 828, con il procedimento dell’anno commerciale (R. € 43.200). Avete riscosso un interesse di € 1.461,50 alla scadenza di un prestito concesso per un anno al tasso del 9,25%. A quanto ammonta il capitale dato in prestito? (R. € 15.800). Un imprenditore ha ottenuto da una banca un prestito di € 8.212,50 per 140 giorni, pagando alla scadenza un interesse di € 299,25 determinato con il procedimento dell’anno civile. A quale tasso è stato concesso il prestito? (R. 9,50%). Calcolate in quanti mesi un capitale di € 16.800 impiegato al tasso del 9% produce un interesse di € 504 (R. 4 mesi).