dal libro di Babai & Frankl: Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science Lezione I

Quanti club riesci a formare? Eventown Nella città di Eventown ci sono n abitanti. Le regole per formare delle associazioni o club sono le seguenti: Ogni club ha un numero pari (even) di componenti Ogni coppia di club condivide un numero pari di persone Quanti club riesci a formare?

Quale è il massimo numero m(n) di insiemi che posso costruire? Eventown Siano C1,…,Cm  {1,…, n} tali che |Ci| è pari (even) per ogni i |Ci  Cj| è pari per ogni ij Quale è il massimo numero m(n) di insiemi che posso costruire? Sottoinsiemi delle coppie … 1 n/2 2 𝑛 2 1 n

Quanti club riesci a formare? Odd dispari (odd) Eventown Nella città di Eventown ci sono n abitanti. Le regole per formare delle associazioni o club sono le seguenti: Ogni club ha un numero pari (even) di componenti Ogni coppia di club condivide un numero pari di persone Quanti club riesci a formare? 𝑛 2 𝑛 2

Quanti insiemi posso costruire? linearmente indipendenti Oddtown Siano C1,…,Cm  {1,…, n} tali che |Ci| è dispari (odd) per ogni i |Ci  Cj| è pari per ogni ij Quanti insiemi posso costruire? vi•vi = 1 vi•vj = 0 1*v1+ … + m * vm = 0 1*v1*v1 + … + m*vm*v1 = 0 1* 1 + 2*0 + … + m*0 = 0 1 = 0 e così via per gli altri i vi C1 Ci Cm … v1 vm Il solito vettore 0/1 vi(k)=1 sse k in Ci linearmente indipendenti non più di n

Ricetta del giorno (linear algebra bound) Quanti oggetti C1,…,Cm che soddisfano una certa proprietà posso costruire? C1,…,Cm e1, …, em Passo 1 Passo 2 e1, …, em linearmente indipendenti Passo 3 lo spazio ha dimensione  d m  d

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che l’insieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori? si no

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che l’insieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori? ∥𝑥−𝑦∥ = 𝑥 1 − 𝑦 1 2 +⋯ 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 2 𝐹 𝑥,𝑦 =  ∥𝑥−𝑦∥ 2 − δ 1   ∥𝑥−𝑦∥ 2 − δ 2  punti a1,…,am f1, …, fm 𝑓 𝑖 (𝑥 =𝐹 (𝑥, 𝑎 𝑖 polinomi 𝑓 𝑖 𝑎 𝑖 ≠0 𝑓 𝑖 𝑎 𝑗 =0 linearmente indipendenti

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che l’insieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori? 1*f1(x)+ … + m * fm(x) = 0 1*f1(a1) + … + m*fm(a1) = 0 1* c + 2*0 + … + m*0 = 0 1 = 0 e così via per gli altri i punti a1,…,am f1, …, fm polinomi 𝑓 𝑖 𝑎 𝑖 ≠0 𝑓 𝑖 𝑎 𝑗 =0 linearmente indipendenti

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che l’insieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori? d polinomi “base” generano tutte le fi(): 1*p1(x) + … + d*pd(x) = fi(x) punti a1,…,am f1, …, fm Scopriamo d polinomi linearmente indipendenti lo spazio ha dimensione  d

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che l’insieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori?  𝑘=1 𝑛 𝑥 𝑘 2   𝑘=1 𝑛 𝑥 𝑘 2  𝑥 𝑖 d polinomi “base” generano tutte le fi():  𝑘=1 𝑛 𝑥 𝑘 2  2  𝑘=1 𝑛 𝑥 𝑘 2  2 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 𝑥 𝑗 𝑥 𝑖 punti a1,…,am f1, …, fm 1 + n +(n(n-1)/2 + n) + n + 1 polinomi (n+1)(n+4)/2 linearmente indipendenti lo spazio ha dimensione  d

Cosa ricordare 0 La Ricetta del Giorno (linear algebra upper bound) Come si dimostra l’indipendenza lineare: E’ la parte in comune tra i due esempi…l’ho capita solo grazie a Francesco C1,…,Cm fi:   F f1 fm e1, …, em 0 criterio della diagonale fi(Cj) f1,…,fm linearmente indipendenti

Esercizio del Giorno Quanti punti posso mettere in n in modo tale che l’insieme delle distanze tra tutte le coppie assuma un solo valore? (tutte le distanze uguali) Prova ad applicare il metodo usato nel caso di due valori e guarda se lo spazio dei polinomi ha una dimensione minore.