Soluzione di problemi di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Soluzione di problemi di qdm Ipotesi: fluido newtoniano incomprimibile a T costante Abbiamo bisogno di: Equazione di continuità Equazione di N-S

Viscosimetro di Couette Simulazione dei fenomeni di trasporto Viscosimetro di Couette kR R Cilindro interno fermo Cilindro esterno in movimento vq (r) W0 Lo spazio tra due cilindri coassiali viene riempito di un liquido. Il cilindro esterno viene messo in rotazione. La viscosità viene valutata misurando la coppia necessaria per mantenere il cilindro in rotazione ad una certa velocità Vogliamo valutare la coppia necessaria per mantenere il cilindro in moto uniforme

Viscosimetro di Couette Simulazione dei fenomeni di trasporto Viscosimetro di Couette kR R Cilindro interno fermo Cilindro esterno in movimento vq (r) W0 Ipotesi: vq = vq(r); vr= 0; vz= 0 p = p(r,z) ; d/dq=0 P dipende da z a causa della forza di gravità e da r per la forza centrifuga Equazione di continuità Tutti i termini si annullano

Viscosimetro di Couette Simulazione dei fenomeni di trasporto Viscosimetro di Couette Ipotesi: vq = vq(r); vr= 0; vz= 0 p = p(r,z) ; d/dq = 0 kR R Cilindro interno fermo Cilindro esterno in movimento vq (r) W0 Equazione di N-S componente r

Viscosimetro di Couette Simulazione dei fenomeni di trasporto Viscosimetro di Couette Ipotesi: vq = vq(r); vr= 0; vz= 0 p = p(r,z) ; d/dq=0 kR R Cilindro interno fermo Cilindro esterno in movimento vq (r) W0 Equazione di N-S componente q

Viscosimetro di Couette Simulazione dei fenomeni di trasporto Viscosimetro di Couette Ipotesi: vq = vq(r); vr= 0; vz= 0 p = p(r,z) ; d/dq = 0 kR R Cilindro interno fermo Cilindro esterno in movimento vq (r) W0 Equazione di N-S componente z

Viscosimetro di Couette Simulazione dei fenomeni di trasporto Viscosimetro di Couette Ipotesi: vq = vq(r); vr= 0; vz= 0 p = p(r,z) ; d/dq = 0 kR R Cilindro interno fermo Cilindro esterno in movimento vq (r) W0 La pressione bilancia la forza centrifuga Componente r Distribuzione delle velocità Componente q La pressione varia con legge idrostatica lungo z Componente z

Viscosimetro di Couette Simulazione dei fenomeni di trasporto Viscosimetro di Couette Integriamo la r=kR B.C. r=R Profilo di velocità

Viscosimetro di Couette Simulazione dei fenomeni di trasporto Viscosimetro di Couette Noto il profilo di velocità ci possiamo calcolare il flusso di quantità di moto ad un generico r essendo possiamo valutare Il momento in corrispondenza del cilindro esterno (r=R) è quindi Sforzo (forza per unità di superficie) braccio Se misuriamo velocità e momento possiamo calcolare la viscosità superficie

Forma della superficie libera di un fluido Simulazione dei fenomeni di trasporto Forma della superficie libera di un fluido Un liquido con viscosità e densità costante è in un contenitore cilindrico che viene messo in rotazione con velocità W. Ricavare la equazione della superficie libera. Ipotesi: gr = gq = 0 gz= -g vr = vz = 0 vq =vq(r) p = p(r,z) P=Patm W z0 z Eq. di continuità 0=0 r Componente r R N.B. Le stesse del viscosimetro di Couette N-S Componente q Il segno è meno perché l’asse z è rivolto verso l’alto Componente z

Forma della superficie libera di un fluido Simulazione dei fenomeni di trasporto Forma della superficie libera di un fluido Integriamo la Poiché vq deve essere finito per r  0 C2=0 B.C. r=R C1= 2W Sostituiamo

Forma della superficie libera di un fluido Simulazione dei fenomeni di trasporto Forma della superficie libera di un fluido Integriamo e poiché p = p(r,z) avremo f1 e f2 sono due funzioni di integrazione arbitrarie che vanno definite con le B.C. C = costante di integrazione Possiamo scegliere

Forma della superficie libera di un fluido Simulazione dei fenomeni di trasporto Forma della superficie libera di un fluido B.C. p=patm per r = 0 e z = z0 Questa equazione ci da la pressione in ogni punto Se si impone p = patm Equazione della superficie libera = Equazione di una parabola

Soluzione di problemi di qdm - Ipotesi creep flow Simulazione dei fenomeni di trasporto Soluzione di problemi di qdm - Ipotesi creep flow Ipotesi: fluido newtoniano incomprimibile a T costante Abbiamo bisogno di: Equazione di continuità Equazione di N-S

Moto radiale tra dischi Simulazione dei fenomeni di trasporto Moto radiale tra dischi z=b Ipotesi: vr = vr(r,z); vq= 0; vz= 0 p = p(r) (si trascura la variazione con z) z=-b R2 R1 R2 Equazione di continuità Componente r eq. di N-S

Moto radiale tra dischi Simulazione dei fenomeni di trasporto Moto radiale tra dischi Abbiamo quindi ottenuto R2 R1 R2 Utilizziamo il risultato dell’equazione di continuità per risolvere l’eq di N-S

Moto radiale tra dischi Simulazione dei fenomeni di trasporto Moto radiale tra dischi Possiamo quindi riscrivere l’equazione di N-S come: R2 R1 R2 Questa equazione non è comunque risolvibile analiticamente Facciamo l’ipotesi di creep flow ossia assumiamo che i termini viscosi prevalgano su quelli inerziali

Moto radiale tra dischi Simulazione dei fenomeni di trasporto Moto radiale tra dischi Soluzione per creep flow R2 R1 R2 Termini inerziali trascurabili rispetto a quelli viscosi Integrando rispetto a r tra R1 e R2 Integriamo rispetto a z

Moto radiale tra dischi Integrando rispetto a z R2 R1 R2 ma Per z=0 e Integriamo ancora su z

Moto radiale tra dischi Simulazione dei fenomeni di trasporto Moto radiale tra dischi R2 R1 R2 Profilo di velocità parabolico con z e variabile con r

Moto radiale tra dischi Simulazione dei fenomeni di trasporto Moto radiale tra dischi La portata di massa è R2 R1 R2