LA MATEMATICA DIVERTENTE Ma…a che gioco giochiamo? IC di Brusasco 2 settembre 2015 LA MATEMATICA DIVERTENTE Ma…a che gioco giochiamo? Roberto Imperiale Presidente Nazionale GRIMeD (Gruppo Ricerca Matematica e Difficoltà) roberto.imperiale@fastwebnet.it www.grimed.net R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

U N O M A G G I O «Lasciate ai ragazzi il tempo di perdere tempo» Emma Castelnuovo R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Il latino «di-vertere» o «de-vertere» (semanticamente analogo al «di-vergere») vuol dire letteralmente «cambiare verso». In generale, dunque, il divertimento consiste nel cambiare il verso del cammino che tutti gli altri vanno facendo, allude alla di-versità e declina, sub specie necessitatis, il suo legame, con l’erranza, a sua volta strettamente connessa con l’imparare. R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

”Imparare dà inizio all’ERRANZA” ”Imparare dà inizio all’ERRANZA”. Partire, uscire, lasciarsi un bel giorno sedurre (Serres, 1992) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Dunque… "Il pensiero della complessità, […] è l'errare, nel duplice e ambiguo senso del camminare e del mancare la meta." (Morin, 2005) e " L’erranza e l’errore sono la via della saggezza " (Piet Hein (1905-1996), poeta e matematico danese, noto per essere l’inventore di numerosissimi «giochi matematici» come il Cubo Soma (in: Peiretti, 2011) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

A latere, mostriamo i sette pezzi del CUBO SOMA (cosiddetti perché compongono il cubo) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

mostriamo il cubo di un binomio … (v. nel seguito) …e, giacché ci siamo mostriamo il cubo di un binomio … (v. nel seguito) (𝑎+𝑏 ) 3 = 𝑎 3 +3 𝑎 2 𝑏 +3 𝑎 𝑏 2 + 𝑏 3 visto…in un laboratorio di falegnameria…! R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

(ovvero…della libertà possibile anzi…necessaria) dunque «divertirsi e imparare sono la stessa cosa», ammettono la «seduzione», il «secum-ducere» su strade sconosciute ma sempre «in direzione ostinata e contraria» (F. De André). (ovvero…della libertà possibile anzi…necessaria) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

In realtà, il DIVERTIMENTO coincide col DESIDERIO di imparare, che «è un vuoto da colmare» proprio come il PROBLEMA/GIOCO, suo correlato semantico e fattuale. R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

nient’altro che un gioco, e le cose serie sempre sul serio, Come già si diceva, dunque, il DI-VERTIRSI è proprio delle persone di-verse, di-vergenti, creative e capaci di notevole impegno, come «nel gioco, serio al pari d’un lavoro…» (G. Pascoli, 1907) ma consapevoli che chi considera il gioco nient’altro che un gioco, e le cose serie sempre sul serio, ha un po’ frainteso entrambe le cose (Piet Hein; in: Peiretti, cit.) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Divertimento e scuola (?) Divertimento a scuola (?) Se nel «fare scuola» tenessimo sempre in mente la celeberrima domanda di Lucio Lombardo Radice: “Ma perché qualche volta, per controllare quello che i vostri allievi hanno imparato, non fate in classe un'ora di palestra di giochi intelligenti, invece di interrogare ?“ (Lombardo Radice, 1979) (domanda che, tra l’altro, rimanda al «grave» e ineludibile problema della valutazione…) allora potremmo certo DIVERTIRCI… R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Prima di farlo, ricordo che sul «gioco», luogo fondamentale e insostituibile della e per la vita di un uomo, quale che sia la sua età, esiste una letteratura sterminata. Cito – per esempio – il solo, celebre «Propositiones ad acuendos juvenes» scritto da Alcuino da York (735 – 804), quando era maestro di ARTI LIBERALI dei giovani della corte di Carlo Magno, ad Aquisgrana. (v. Bibliografia, per un’edizione italiana) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Proprio al momento di partire, capita Cominciamo con un indovinello Gite male organizzate Proprio al momento di partire, capita qualcun che non ci sta; provoca questo di «Abbasso» una sequela finché si parte … e non vi dico il resto «La Settimana Enigmistica» n° 4350 del 6/8/2015 La divisione R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Perché l’indovinello? per via DELL’INTERPRETAZIONE ovvero: della libertà possibile… anzi, necessaria che è problema centrale della MATEMATICA, e non solo… R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

La simbolizzazione e il formalismo associato, se non paura generano certamente un allontanamento assai pericoloso dalla disciplina: questo perché la richiesta di senso non viene mai meno; e con essa il bisogno di interpretazione. (Imperiale, 2013) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

= A2 - B2 (A + B)(A – B) Un esempio tra i tanti Ricomponiamo la figura come segue… 𝑩 𝟐 B A2 A - B A - B A A B = A2 - B2 (A + B)(A – B) Differenza di quadrati? Già, proprio così… R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

SI NO RICOMPOSIZIONE: IL TANGRAM Problemino… Le due figure sono equiestese? SI Le due figure sono isoperimetriche? NO R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

CHI PENSA CHE GLI INSEGNANTI DI QUESTA SCUOLA NON SIANO BRAVI Un altro esempio tra i tanti CHI PENSA CHE GLI INSEGNANTI DI QUESTA SCUOLA NON SIANO BRAVI DOVREBBE VEDERE IL PRESIDE R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

(gr. «discorso sull’incertezza») ANFIBOLOGIA (gr. «discorso sull’incertezza») R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Proseguiamo …leggendo questa descrizione Il foglio di fotocopia standard, il cosiddetto formato A4 viene realizzato a partire da un foglio molto più grande, il cosiddetto formato A0, che viene successivamente tagliato, per realizzare fogli di formato più piccolo. Tagliando il foglio A0 con un taglio perpendicolare al lato più lungo si ottengono due fogli A1. Continuando con i tagli, si ottengono rispettivamente i fogli A2, A3 e A4. Le dimensioni del foglio A0 sono scelte in modo che ad ogni taglio si generino due rettangoli simili al precedente. R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

b A4 A2 A3 a A0 A1 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Problema: Affinché un rettangolo, i cui lati misurino a e b, con a > b, tagliato a metà perpendicolarmente al lato maggiore, dia origine a due rettangoli simili al rettangolo originario, quale deve essere il rapporto 𝑎 𝑏 ? a : b = b : 𝑎 2 b2 = 𝑎 2 2 𝑎=𝑏 2 2b2 = 𝑎 2 𝑎 𝑏 = 2 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

𝑏 2 𝑎=𝑏 2 𝑎 𝑏 = 2 E se non volessimo fare «tanti» calcoli? Proviamo a piegare adeguatamente un foglio A4… Basta conoscere la storia di Ippaso di Metaponto… b 𝑎=𝑏 2 Quanto misura? a 𝑏 2 𝑎 𝑏 = 2 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

R.Imperiale, A che gioco giochiamo? Continuiamo con questo bel gioco: IL METAGRAMMA di LEWIS CARROLL pseudonimo del reverendo Charles Dodgson, professore di logica e matematico inglese (1832 – 1898) In che consiste? R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

1. Il gioco consiste nell’individuare due parole di ugual lunghezza, (stesso numero di lettere) e di significato noto, che abbiano tra loro qualche attinenza semantica, analogica, …o di qualsivoglia genere, e 2. partendo dalla prima parola individuata, mediante il cambio di una lettera per volta, creare una sequenza di parole fornite di significato per arrivare alla seconda. (Se si pone la condizione di farlo col numero minore di cambi diventa anche un «gioco» a più giocatori) 3. Non si possono usare i nomi propri di persona né i cognomi né i geografici, né il singolare se si è già usato il plurale né il maschile se si è già usato il femminile, salvo i casi di polisemie. R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

1.A PROPOSTA: dal «SOLE» alla «LUNA» SOLE SALE SALA SANA LANA LUNA Una delle tante… R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Variante « andata-ritorno» SOLE-LUNA-SOLE SOLE SALE SALA SANA LANA LUNA SOME LENA SEME SETE SETA SERA CERA CENA Una delle tante… R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

2.A PROPOSTA: come mettere il «POLLO» nel «FORNO»? P O L L O C O L L O C O L T O C O R T O C O R N O F O R N O Una delle tante… R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Perché una delle tante? Perché… ”Non c’è mai un unico modo «giusto» di affrontare un problema […]; (perciò) è interessante seguire i diversi percorsi che menti diverse hanno intrapreso per giungere alle soluzioni”. (Bellos, 2011) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Il racconto che segue incrocia sia i disturbi e le difficoltà, sia – come stiamo per vedere - una capacità trasversale, «la combinatoria» e i problemi/giochi a questa annessi … che facciamo introdurre da… R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Dante Alighieri Quando si parte il gioco della zara Colui che perde si riman dolente Repetendo le volte, e tristo impara (Purgatorio, canto VI°, vv. 1-3) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

LA ZARA (arabo: «hazar». it. «azzardo») o GIOCO DEI TRE DADI Si lanciano tre dadi e si cerca di indovinare il numero che si ottiene sommando i punti delle facce comparse Qual è il numero più probabile? Ne esiste più di uno? Ci può essere «qualche confusione combinatoria»? R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Alla domanda così riformulata (forse dal Granduca stesso): «perché 9 è meno probabile di 10 e 11?» rispose GALILEO GALILEI (1564-1642) con questa tabella 11 (m) 10 9 6 4 1 6 6 3 1 6 2 1 6 3 2 6 2 2 3 5 3 1 5 5 1 5 4 1 5 2 2 5 4 2 5 3 2 4 4 1 5 3 3 4 4 2 4 3 2 4 4 3 4 3 3 3 3 3 1 27 25 P(9) = 𝟐𝟓 𝟐𝟓𝟔 = 9,76% P(10) = 𝟐𝟕 𝟐𝟓𝟔 = 10,54% P(11) = 𝟐𝟕 𝟐𝟓𝟔 = 10,54% R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

anagramma Perché i due problemi, in qualche modo collegati, sono così interessanti? Perché… «Alcuni ricercatori hanno osservato come il cervello legge pseudo-vocaboli e vere parole, in cui le lettere sono le stesse ma la loro disposizione è senza senso in un caso, dotata di senso nell’altro. Dopo il riconoscimento nelle regioni delle associazioni visive, la pseudo-parola stimolava scarsa attività cerebrale. Al contrario, le parole vere trasformavano il cervello in un alveare di attività.» (Wolfe, 2012) anagramma R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Quanti e quali sono tutti gli anagrammi di questa «parola» : 1357? Conoscerli abilita? Come si può fare per costruirli «tutti»? R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

R.Imperiale, A che gioco giochiamo? Una tecnica: il diagramma ad albero 5 7 3 7 5 3 7 1 5 7 3 3 5 7 5 3 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 5 7 1 7 5 1 7 3 5 7 1 1 5 7 5 1 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 1 7 3 7 1 3 7 5 1 7 3 3 1 7 1 3 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 5 1 3 1 5 3 1 7 5 1 3 3 5 1 5 3 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Eseguire le somme indicate, sostituendo a lettera uguale numero uguale Gioco/problema «passo dopo passo» U N O + D E = S I Eseguire le somme indicate, sostituendo a lettera uguale numero uguale R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

+ Le lettere potrebbero dar fastidio… e se lo rappresentassimo come segue? Può bastare? + = Senza dubbio lo schema è molto bello… ma manca ancora qualcosa… cosa? R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

adesso possiamo cominciare a giocare… LA RIGA DEI RIPORTI… adesso possiamo cominciare a giocare… …da dove cominciamo? RIPORTI 1 1 1 1 5 7 3 1 4 1 5 7 3 1 4 3 1 4 3 1 4 9 4 2 PARI PARI R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 Quanti cubi saranno necessari per arrivare Una scala è fatta a cubi e ogni gradino è un cubo (vedi figura). (da: Peiretti, cit.) Quanti cubi saranno necessari per arrivare al decimo gradino? Se per arrivare al terzo gradino occorrono 1+2+3 = 6 cubi, per arrivare al decimo ne occorreranno 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 E per arrivare all’ennesimo gradino? Chiedetelo all’ottenne Karl Gauss (1777-1855)… (Aneddoto) R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Se dispongo 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 (in generale un numero «n» di) mattonelle così come nella figura qui sotto, ottengo un c.d. numero «triangolare» (ARITMOGEOMETRIA). Come posso calcolare la somma di tutte le mattonelle senza contarle e senza iterare l’addizione? Problema di GAUSS R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Soluzione «non-standard» o creativa o «divertente» Ruoto di 180° la tabella colorata in rosso, la coloro in blu e la sovrappongo a quella rossa Otterrò un rettangolo di lati 10 e 11 (in generale di «n» ed «n+1») mattonelle, la metà dell’area del quale è esattamente uguale alla somma delle mattonelle rosse. Dunque: Somma matt. rosse = 10 𝑥 11 2 = 55;𝑖𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒: 𝒏 𝒙 (𝒏+𝟏) 𝟐 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Ma pare che Gauss avesse anche notato che… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 55 In generale: 𝒏 𝒙 (𝒏+𝟏) 𝟐 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

R.Imperiale, A che gioco giochiamo? L’incaricato di un’indagine statistica bussa alla porta di una famiglia e chiede alla donna che gli ha aperto: «Quanti figli ha? » «Tre, di cui due gemelli », risponde la donna. «Quali sono le loro età? », chiede l’uomo. «Il prodotto delle loro età è 72 e la somma delle loro età è uguale al numero della casa di fronte». Il più grande dei miei figli è in vacanza al mare», risponde la donna. «Grazie, ora so quali sono le età dei suoi figli», risponde l’uomo. Quali sono le età dei figli della signora? E come ha fatto l’incaricato a dedurlo? Qual è il n° della casa di fronte? L’incaricato guarda il numero della casa di fronte e afferma: «Ho bisogno di qualche altra informazione». 17/09/2018 R.Imperiale, A che gioco giochiamo?

72 2 1° 2° 3° 36 2 2 3 6 18 2 2 3 6 9 3 18 8 2 3 3 22 14 14 1 R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

Matematica! Questo vuol dire che, per andare a divertirsi al mare non è obbligatorio andarci con la mamma… anche perché lei ama divertirsi di più con la… Matematica! R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018

DANTE, Commedia, Purgatorio, VI° BIBLIOGRAFIA ALCUINO DI YORK; 2005, (a cura di R. Franci), “Giochi matematici alla corte di Carlomagno“ , “Problemi per rendere acuta la mente dei giovani” , Edizioni ETS, Pisa BELLOS, A.,2011, Il meraviglioso mondo dei numeri, Einaudi, Torino DANTE, Commedia, Purgatorio, VI° IMPERIALE, R. 2013, Chi ha paura della matematica? Io…o forse no, in: DiM- Difficoltà in matematica-10/1, ottobre 2013, Erickson, Trento LOMBARDO RADICE, L., 1979 , Il giocattolo più grande, Giunti Marzocco, Firenze MORIN, E., 2005, Educare per l'era planetaria, il pensiero complesso come metodo di apprendimento, Armando, Roma PASCOLI, G.; I due fanciulli, in: Primi poemetti, 1907 PEIRETTI, F. ; 2011, Il matematico si diverte, Longanesi, Milano SERRES, M., 1992, Il mantello di Arlecchino, Marsilio, Venezia WOLFE, M.; 2012, Proust e il calamaro, Vita e Pensiero, Milano R.Imperiale, A che gioco giochiamo? 17/09/2018