Prof. Guido Antonio DI NICOLA Distretto Scolastico n. 2 ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE STATALE Ettore Majorana Avezzano (AQ) Specializzazioni:Chimica – Elettronica e Telecomunicazioni – Elettrotecnica e automazione – Meccanica Sperimentazioni: Informatica (Abacus) – Scientifico Tecnologico Via Aldo Moro,1 67051 AVEZZANO (AQ) Tel. 086322570 – Fax 086321210 Cod. Fisc. 81005180666 Sito Web: http:// www.itisavezzano.it Posta Elettronica itisaz@tin.it Cod. Mecc. AQTF03000T  Le funzioni Pari  LICEO SCIENTIFICO TECNOLOGICO CLASSE 5^ U COORDINATORE Prof. Guido Antonio DI NICOLA 22/09/2018

INDICE -Le funzioni pari -La legge di gravitazione universale   -Le funzioni pari -La legge di gravitazione universale -La legge di Coulomb -Osservazioni Bibliografia 22/09/2018

Sia f una funzione reale di dominio D; si dice che f è pari se Funzioni pari DEFINIZIONE Sia f una funzione reale di dominio D; si dice che f è pari se In altre parole, f è pari se, cambiando segno al valore della variabile indipendente, il valore della funzione non cambia. Si dice invece che f è dispari se Funzione pari Funzione dispari 22/09/2018

-La legge di gravitazione universale Newton, dopo il noto episodio della mela, propose, per la forza di attrazione tra due masse sferiche qualsiasi, m1 e m2 la seguente espressione, oggi nota come legge di gravitazione universale: dove d è la distanza tra i centri delle due masse sferiche e G è una costante universale, cioè una costante che ha lo stesso valore in tutto l'Universo, che è denominata costante di gravitazione universale. La direzione di F è quella della congiungente le due masse 22/09/2018

-La legge di Coulomb Coulomb, in seguito ad un lungo e faticoso lavoro sperimentale durato quattro anni, dal 1785 al 1789, pervenne alla legge fondamentale dell'elettrostatica. Diamo l'enunciato della LEGGE DI COULOMB: tra due corpi puntiformi, aventi rispettivamente carica q1 e q2 e posti alla distanza r, si esercita una forza di mutua attrazione o repulsione, secondo che le cariche sono di segno contrario o dello stesso segno; tale forza agisce in direzione della retta congiungente i due corpi e la sua intensità è direttamente proporzionale al prodotto delle loro cariche ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. In formula si ha: dove k è una costante che dipende dal sistema di misura adottato e dal mezzo nel quale sono poste le due cariche. 22/09/2018

OSSERVAZIONI Osserviamo che: q il modello matematico è lo stesso (proporzionalità all’inverso del quadrato della distanza); q le due forze sono entrambi radiali ossia si esercitano lungo la congiungente le due masse (le due cariche); - la costante di gravitazione univarsale G è fissa mentre la costante k è relativa al mezzo in cui sono immerse le cariche; - la forza di gravitazione universale è solo attrattiva mentre quella di Coulomb può essere attrattiva o repulsiva. 22/09/2018

Isaac Newton (1642-1727)… …UN PO’ DI STORIA Johannes Kepler (1571-1630) … se l'orbita di un pianeta era un'ellisse, come affermava la prima legge di Keplero allora l'intensità F della forza agente sul pianeta doveva variare in misura inversamente proporzionale al quadrato della distanza del pianeta dal Sole. Ossia, doveva essere: Isaac Newton (1642-1727)… …UN PO’ DI STORIA “La Natura e le sue leggi giacevano celate nel fondo della notte, E Dio disse: Fiat Newton! e fu luce nel mondo." Keplero - Newton 22/09/2018 BACK

Stampa popolare che illustra l'episodio della caduta della mela dall'albero, un fenomeno molto semplice, osservando il quale la mente geniale di Newton intuì la legge della gravitazione universale. La mela di Newton 22/09/2018 BACK

Nel 1665, a causa della peste che imperversava a Londra, l'Università di Cambridge chiuse i battenti e gli studenti furono mandati a casa. Tra gli studenti di quell'università c'era anche il giovane Isacco Newton, allora ventiduenne, essendo nato nel 1642, l'anno stesso in cui morì Galileo, in una fattoria del Lincoinshire.   Fu in questo periodo di permanenza forzata a casa, durato fino alla primavera del 1667, che l'attività creatrice di Newton si manifestò in modo sorprendente, facendogli concepire alcune delle idee che avrebbero poi improntato il suo lavoro futuro rendendolo celebre in tutto il mondo. Ecco cosa egli stesso scrisse, molti anni dopo, su quel periodo: "All'inizio del 1665 trovai il metodo per approssimare le serie e per sviluppare in serie la potenza di un binomio. Nel maggio dello stesso anno trovai il metodo delle tangenti [...], e nel novembre misi a punto il metodo delle flussioni (calcolo differenziale); nel gennaio dell'anno successivo elaborai la teoria dei colori, e nel maggio ricavai il metodo inverso delle flussioni (calcolo integrale). Nel medesimo anno cominciai a pensare alla gravità, estendendola all'orbita della Luna, e (avendo trovato il modo di ricavare la forza che un globo che ruota entro una sfera esercita sulla superfìcie della sfera), dalla legge di Keplero [...] dedussi che le forze che mantengono i pianeti nelle loro orbite devono essere inversamente proporzionali ai quadrati delle loro distanze dai centri attorno ai quali ruotano: confrontai pertanto la forza necessaria per mantenere la Luna nella sua orbita con la forza di gravita esistente sulla superficie della Terra, e trovai che sono uguali. Tutto ciò avvenne nei due anni della peste, tra il 1665 e il 1666, quando ero nel pieno delle mie capacità intellettuali e mi occupavo di matematica e di filosofia più di quanto non abbia mai più fatto in seguito." Finita la peste, Newton ritornò a Cambridge, dove fu nominato professore e dove risiedette per circa trent'anni. All'incirca nel 1672 fu eletto membro della Royal Society di Londra, della quale in seguito divenne presidente. Nel 1696 decise di abbandonare l'attività scientifica per assicurarsi un avvenire economicamente migliore e accettò la nomina di ispettore della zecca di Londra. Morì nel 1727 e fu sepolto nella abbazia di Westminster. Sulla sua tomba si possono leggere queste parole: "Sibi gratulentur mortales tale tantumque exstitisse humani generi decus" cioè: si rallegrino i mortali perché è esistito un tale e così grande onore del genere umano. ….. Segue ….. 22/09/2018 BACK

Le sue opere più importanti sono i Philosophiae naturalis principia mathematica (1687), dove sono esposti i concetti che sono alla base della meccanica classica e la teoria della gravitazione universale, fondendo in un solo schema la meccanica terrestre di Galileo e le osservazioni astronomiche di Keplero, e l’Optiks (1704), dove sono riportate le sue indagini sulla luce, riguardanti principalmente la dispersione della luce attraverso un prisma e la teoria dei colori.   Su Newton si raccontano molte storielle, tra cui quella che sia stata una mela cadutagli sulla testa a fargli balenare l'idea che la forza di gravità è responsabile sia della caduta delle mele sia del moto orbitale dei pianeti. Vera o no, la storiella serve a mettere in risalto il fatto che Newton intuì che doveva esserci una transizione continua tra la caduta di una mela, la traiettoria di una palla di cannone e l'orbita di un pianeta, come si legge nella terza parte dei suoi Principia: "Dall'analisi del moto dei proiettili è facile capire che, mediante l'ausilio di forze centripete, i pianeti possono essere tenuti in moto in orbite circolari: se si scaglia un sasso, questo, per l'azione del suo stesso peso, è condotto fuori dalla traiettoria rettilinea che esso seguirebbe per la spinta iniziale e descrive una traiettoria curvilinea in aria, prima di cadere al suolo e, quanto maggiore è la velocità di lancio, tanto maggiore sarà il tratto percorso prima di raggiungere il suolo [...]. AI limite, se noi aumentiamo ulteriormente la velocità iniziale del corpo, questo, per un certo valore della velocità, percorrerà una intera circonferenza intorno alla Terra e ritornerà alla base di lancio; se, però, un corpo è lanciato in direzione orizzontale con velocità iniziale sufficientemente elevata e da una grande altezza rispetto al suolo [...], questo corpo, una volta entrato su un'orbita concentrica o eccentrica rispetto alla Terra, a seconda della velocità impressagli e della diversa forza di gravità esistente alle varie altezze, continuerà a ruotare nei cieli su questa orbita proprio come fanno i pianeti sulle loro." 22/09/2018 BACK

Coulomb BACK Bilancia di torsione Per verificare la sua legge nel caso di forze repulsive, Coulomb si servì di una bilancia di torsione, da lui stesso realizzata in seguito agli studi fatti sulla torsione elastica dei fili. L'apparecchio, nella versione originale data da Coulomb, è rappresentato nella figura. Coulomb 22/09/2018 BACK

BACK Fig. 1 Fig.2 Fig. 1 La forza di attrazione gravitazionale tra due corpi varia in modo inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i loro centri. Fig. 2 La forza di attrazione gravitazionale tra due corpi varia in modo direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse. 22/09/2018

BACK P(x0,f(x0)) Q(-x0,f(x0)) x -x0 x0 SIMMETRIE DELLE FUNZIONI PARI Dalle definizioni date è anche evidente che una funzione è pari se, e soltanto se, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, mentre una funzione è dispari se, e soltanto se, il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi. Verifichiamo, ad esempio, che il grafico  di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y. Consideriamo (fig.) due generici punti P e Q di  aventi ascisse opposte x e - x; le ordinate di tali punti sono rispettivamente f(x) e f(-x) e risultano uguali avendo supposto la f pari. I punti P e Q, avendo ascisse opposte e la medesima ordinata, sono pertanto simmetrici rispetto all'asse delle ordinate e il grafico risulta quindi anch'esso simmetrico rispetto all'asse y. Viceversa, verifichiamo ora che se  è il grafico, simmetrico rispetto all'asse y, di una funzione di equazione y=f(x) allora la funzione f è pari. Infatti siano P(xo;yo) e Q(-xo,yo) due punti di  simmetrici rispetto all'asse y. Poiché  è il grafico di f esso è il luogo dei punti di coordinate (x;f(x)) e quindi risulta yo=f(x) e yo=f(-x) da cui f(-x)=f(x), cioè f è pari. 22/09/2018 BACK

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Newton non si limita a considerazioni generiche di tipo qualitativo Newton non si limita a considerazioni generiche di tipo qualitativo. Egli riesce a dimostrare che la legge delle aree di Keplero può valere solo se la forza agente su ogni pianeta è diretta verso un singolo punto (forza centrale) sorgente della forza, nel caso specifico il Sole. Ma qual è la dipendenza di questa forza dalla distanza? Per ricavarla, Newton si servì della legge dei periodi di Keplero. Ripercorriamo la strada da lui seguita, in modo libero, supponendo che i pianeti descrivano orbite circolari. Con questa semplificazione la 3^ legge di Keplero può essere scritta così:   dove T è il periodo di rivoluzione del pianeta, R il raggio dell'orbita e ks una costante caratteristica del Sole, uguale per tutti i pianeti. Sostituendo questa espressione di T2 nella formula della forza centripeta con cui il pianeta di massa m è attratto dal Sole, abbiamo: (*) Ma, per il principio di azione e reazione, una forza uguale F' deve esercitarsi anche sul Sole da parte del pianeta, sicché abbiamo anche: (**) dove M è la massa del Sole e kp una costante caratteristica del pianeta, ma diversa da pianeta a pianeta. Uguagliando F a F', otteniamo: da cui:  A questo punto, ponendo , possiamo scrivere la (*) e la (**) nella forma: 22/09/2018 BACK

BACK Si regola inizialmente la bilancia in modo che P e P', allo stato neutro, vengano a contatto senza che il filo f sia sollecitato a torsione (fìg.). Si estrae quindi la sferetta P', la si elettrizza e la si ripone nel cilindro C. La sferetta P acquista per contatto una carica dello stesso segno ed eguale alla metà di quella iniziale posseduta da P'. Di conseguenza tra le due sferette si viene ad esercitare una forza di repulsione F che fa ruotare l'astina sospesa in un piano orizzontale attorno alla direzione VO del filo f (fig.). L'equilibrio si ristabilisce quando il momento della forza F risulta opposto al momento della forza elastica di reazione che si desta a causa della torsione del filo. Se b è la distanza della direzione di F dall'estremo O del filo, il modulo M del momento di tale forza rispetto alla retta VO è dato da: M1=Fb D'altra parte il modulo M2 del momento torcente, proporzionale all'angolo a di cui ruota il sistema, risulta: M2=Ca essendo C la costante di torsione del filo. In condizioni di equilibrio dev'essere: M1=M2, ossia: Fb=Ca da cui: (8) dalla quale segue che la forza elettrica di repulsione tra P e P' è direttamente proporzionale all'angolo di torsione del filo. BACK La relazione (8), nota la costante di torsione C della bilancia e misurata sulla scala G l'ampiezza dell'angolo a, consente di determinare il valore della forza F e di verificare quindi la legge di Coulomb. 22/09/2018

particolari ed interessanti curve pari (non esplicitabili) BACK Limniscata di Bernoulli: equazione cartesiana: Versiera di Agnesi: equa-zione cartesiana: La bisaccia: equazio-ne cartesiana La quartica cruciforme, equazione cartesiana: La cutva Kappa, equa-zione cartesiana: La quartica piriforme, equazione cartesiana: 22/09/2018

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