Progetto Sigma a.s. 2017/18 Gruppo Primaria/Media Probabilità

Ogni giorno ci troviamo a dover affrontare situazioni “incerte” in cui, per prendere delle decisioni, più o meno consapevolmente facciamo delle valutazioni di “probabilità”. Il “calcolo delle probabilità” è nato a partire dal Cinquecento per risolvere problemi legati al gioco dei dadi: i primi studi si trovano nel Liber de ludo aleae di Girolamo Cardano (scritto nel 1526, ma pubblicato solo nel 1663) e in Sopra le scoperte dei dadi di Galileo Galilei (scritto probabilmente nel 1612). La parola evento aleatorio, cioè casuale, deriva appunto dalla parola latina “alea” che significa dado.

Eventi certi, impossibili,aleatori Supponiamo di lanciare un dado(non truccato)e consideriamo i seguenti “eventi”: E1= esce un numero compreso tra 1 e 6 (estremi inclusi); E2= esce il 7; E3= esce il 2 E’ chiaro che l’evento E1 è certo; l’evento E2 è impossibile; l’evento E3 è possibile ma non è certo e viene detto “aleatorio” o casuale.

Probabilità di un evento E’ chiaro che gli eventi aleatori non hanno tutti la stessa “probabilità” di verificarsi. Esempio Nel lancio di un dado scommettereste sull’uscita del 6 o sull’uscita di un numero pari? Ma allora come è definita la probabilità di un evento?

Esempi Per esempio, se lancio un dado (non truccato): p(esce un numero minore di 10)=1 p(esce il 7)=0 p(esce un numero pari)= perché ci sono 3 casi favorevoli (i numeri 2,4,6) e 6 casi possibili

Definizione “frequentista” di probabilità La definizione che abbiamo dato della probabilità di un evento viene detta definizione “classica” e presuppone che gli eventi “elementari” siano tutti ugualmente possibili cioè, per esempio nel lancio di un dado, che il dado non sia truccato. Ma se il dado fosse truccato? (mettendo una massa attaccata ad una faccia sarà più probabile l’uscita della faccia opposta rispetto alle altre). In questo caso potrei lanciare il dado moltissime volte e annotare il numero di volte che è uscita ciascuna faccia.

In questo caso posso considerare la frequenza relativa come una valutazione della probabilità dell’evento E, cioè si definisce probabilità statistica o frequentista la frequenza relativa dell’evento calcolata effettuando un numero N molto grande di prove ( nelle stesse condizioni)

Ma con questa definizione occorre supporre che sia possibile fare molte prove tutte nelle stesse condizioni e questo molte volte non è possibile. Qual è per esempio la probabilità che oggi piova? Oppure qual è la probabilità che un dato cavallo vinca una data corsa? In relazione alle informazioni che abbiamo (possiamo per esempio aver consultato le previsioni metereologi che oppure conoscere le precedenti prestazioni del cavallo) esprimeremo la probabilità di un evento come “grado di fiducia” sul verificarsi di quell’evento e abbiamo quella che è stata chiamata definizione “soggettiva” di probabilità.

Definizione “soggettiva” di probabilità ( misura del “grado di fiducia” ) La probabilità soggettiva di un evento E è data dal rapporto tra la somma r (rischio) che sono disposto a “rischiare” su E (che quindi perdo se l’evento non si verifica) per vincere una somma s=r+g (g il guadagno) nel caso che E si verifichi.

Anche con questa definizione la probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1. Se sono certo che E non può verificarsi non rischierò niente (r=0) e quindi la probabilità associata risulta nulla. D’altra parte è chiaro che mi aspetti di non guadagnare niente (g=0) scommettendo su un evento certo e in questo caso essendo r = s la probabilità associata a questo evento risulterà 1.

Se per esempio sono disposto a perdere r = 1 euro per vincere s = 2 euro (quindi guadagnare 1 euro) vuol dire che il mio grado di fiducia sul verificarsi dell’evento è il rischio e il guadagno sono uguali perché penso che la probabilità di vincere o di perdere sia la stessa. Per esempio, nel lancio di una moneta, è ragionevole che scommetta r=1 euro per vincere s=2 euro sull’uscita di testa .

In genere nelle scommesse viene messo in evidenza il guadagno g del giocatore più che la vincita totale (che comprende anche la somma “puntata”) . Quindi, nel caso che sia possibile calcolare il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, perché la definzione soggettiva e quella classica portino allo stesso risultato dobbiamo avere che il rapporto tra il rischio r e il guadagno g deve essere uguale al rapporto tra numero dei casi favorevoli e numero dei casi “sfavorevoli”

Esempio Supponiamo che Andrea e Marta, giocando con un dado, facciamo questa scommessa: Andrea scommette sull’uscita del 6 e rischia 1 caramella. Quante caramelle deve rischiare Marta che scommette sulla “non uscita del 6”? Andrea ha 1 solo caso favorevole contro i 5 casi sfavorevoli (favorevoli per Marta) e quindi Marta deve rischiare 5 volte quello che rischia Andrea cioè deve mettere sul tavolo 5 caramelle. Infatti la valutazione “classica” dell’evento “esce il 6” risulta 1/6 cioè è corretto che Andrea rischi 1 caramella per vincerne in totale 6 caramelle e quindi guadagnarne 5.

Se per esempio in una corsa di cavalli le scommesse sulla vittoria di un dato cavallo vengono date vuol dire che, in caso di vittoria di quel cavallo, il guadagno sarà 3 volte la somma che rischio (se rischio 1 euro guadagnerò 3 euro) e quindi vuol dire che viene associata alla vittoria di quel cavallo la probabilità

Cosa significa gioco “equo”? Un gioco tra due giocatori A e B (oppure un giocatore e il banco) che scommettono su un evento E (A scommette su E , B scommette sul non verificarsi di E), si dice equo quando il rapporto tra la somma rischiata da A e il guadagno di A corrisponde al rapporto tra il numero dei casi favorevoli ad E e il numero dei casi sfavorevoli ad E (cioè quando la valutazione “soggettiva” della probabilità di E corrisponde alla valutazione “classica” della probabilità di E).

Il gioco della roulette è equo? Nel gioco della roulette francese ci sono 36 numeri rossi e neri alternati da 1 a 36 e lo zero (verde).

L’uscita di un dato numero viene data 1 a 35 cioè se il rischio è 1 euro abbiamo un guadagno di 35 euro. Si tratta di una scommessa “equa”? No, perché il numero di casi favorevoli è 1 ma il numero di casi sfavorevoli è 36 e non 35, cioè la scommessa dovrebbe essere data 1 a 36.

E così possiamo vedere che non sono “eque” neppure le altre “puntate” perché: L’uscita di un numero pari (dispari) viene data 1 a 1 L’uscita di un numero rosso (nero) viene data 1 a 1 L’uscita di un numero compreso tra 18 numeri (1-18;19- 36) viene data 1 a 1 L’uscita di un numero compreso in una dozzina viene data 1 a 2 e quindi in tutti i casi è come se non si considerasse che c’è anche lo zero!

Tutti i giochi d’azzardo (roulette, lotto, totocalcio ecc Tutti i giochi d’azzardo (roulette, lotto, totocalcio ecc.) non sono “equi” e quindi non conviene giocare!

PRIMI ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’ Nel caso in cui si possa utilizzare la definizione classica della probabilità possiamo cercare di calcolare la probabilità di un evento a partire dalla probabilità di altri eventi.

Rappresentazione degli EVENTI con gli INSIEMI Può essere utile rappresentare gli eventi come se fossero insiemi contenenti i “casi favorevoli”. Per esempio l’ evento A=“esce un numero pari nel lancio di un dado” può essere rappresentato così

Probabilità totale (probabilità dell’unione di due eventi) A volte ci viene richiesta la probabilità di un evento A oppure di un evento B (oppure nel senso di unione): possiamo calcolarla sommando la probabilità degli eventi A e B? Dipende…..

Esempio 1 Qual è la probabilità di estrarre un re o un asso da un mazzo di 40 carte? I due eventi sono incompatibili (= non ci sono re che siano anche assi) allora la probabilità totale si calcola facendo la somma delle due probabilità semplici. I casi possibili sono 40, i casi favorevoli sono 4 per il re e 4 per l’asso p(re o asso) = 4/40 + 4/40 = 8/40 = 1/5

Esempio 2 Qual è la probabilità di estrarre una figura o una carta di fiori da un mazzo di 40 carte? I due eventi sono compatibili (= ci sono figure di fiori) allora la probabilità totale si calcola facendo la somma delle due probabilità semplici e sottraendo la probabilità dei casi comuni Casi possibili sono 40, i casi favorevoli sono 12 per le figure e 10 per le carte di fiori; i casi comuni sono 3 (le figure di fiori) p(figura o fiori) = 12/40 + 10/40 – 3/40 = 19/40

In generale quindi che se due eventi A e B sono incompatibili, cioè non possono verificarsi contemporaneamente, abbiamo che Se due eventi A e B sono compatibili si ha

Probabilita’ composta di eventi Esempio 1 Lanciando due dadi qual è la probabilità che esca un doppio 6? I casi possibili in questo caso sono le 36 coppie “ordinate” (1,1) (1,2)…….(1,6) (2,1) (2,2)…….(2,6) (3,1) (3,2)……..(3,6) ….. ……. (6,1)(6,2)……..(6,6) Se calcoliamo il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili abbiamo p(esce il doppio 6)=1/36 (1 solo caso favorevole e 36 casi possibili)

Se consideriamo i due eventi. A=“esce il 6 nel dado 1” Se consideriamo i due eventi A=“esce il 6 nel dado 1” che ha probabilità 1/6 B=“esce il 6 nel dado 2” che ha probabilità 1/6 osserviamo che, se gli eventi, come in questo caso, sono “indipendenti” (cioè il verificarsi di A non modifica la probabilità di B) abbiamo

Ma se gli eventi non sono indipendenti”? Esempio 2 In un sacchetto ci sono 3 biscotti e 2 caramelle. Si pesca dal sacchetto due volte (senza rimettere quello che si pesca la prima volta). Qual è la probabilità di pescare due caramelle?

Calcoliamo prima la probabilità di estrarre due caramelle come rapporto tra casi favorevoli e possibili rappresentando la situazione delle due estrazioni con un grafo ad albero: i casi in cui estraiamo due caramelle sono solo 2 su 20 casi possibili (5*4) e quindi la probabilità risulta 2/20.

Se considero A= estraggo una caramella alla prima estrazione B= estraggo una caramella alla seconda estrazione in questo caso gli eventi A e B non sono indipendenti perché se alla prima estrazione pesco una caramella (cioè si verifica A) la probabilità di estrarre una caramella anche nella seconda estrazione sarà ¼ dal momento che mi rimane 1 sola caramella. Si parla quindi di probabilità di B condizionata ad A cioè della probabilità che B si verifichi supponendo che A si sia verificato e si scrive p(B/A). Abbiamo cioè p(A)=2/5 e p(B/A)=1/4 e

Esempio 3 Da un mazzo di 40 carte vengono estratte due carte rimettendo la prima carta estratta nel mazzo prima di rimescolare. Qual è la probabilità che siano due figure? I due eventi sono indipendenti (perché la prima carta pescata viene rimessa nel mazzo, quindi si pesca due volte da mazzi integri) Casi possibili sono 40 per ciascuna estrazione, i casi favorevoli sono 12 per ciascuna estrazione p( figura-figura) = 12/40 * 12/40 = 3/10*3/10=9/100

Esempio 4 Da un mazzo di 40 carte vengono estratte due carte senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo. In questo caso qual è la probabilità di estrarre due figure? I due eventi ora sono dipendenti perché la prima carta pescata non viene rimessa nel mazzo, quindi la seconda estrazione si fa da un mazzo diverso. I casi possibili sono 40 per la prima estrazione e 39 per la seconda, i casi favorevoli sono 12 per la prima estrazione e 11 per la seconda (devo supporre che la prima carta estratta sia stata una figura). p(figura-figura) = 12/40 * 11/39 = 3/10*11/39=11/130

E per finire…facciamo un gioco! Il gioco delle tre porte In un gioco televisivo, il conduttore presenta al concorrente tre porte chiuse e spiega che dietro a due porte c’è una capra mentre dietro ad una porta c’è un’auto. Il concorrente sceglie una porta a caso: a questo punto il conduttore (che conosce dove si trova l’auto) apre una porta dietro a cui c’è una capra e chiede al concorrente se vuole cambiare la sua scelta. Al concorrente conviene cambiare oppure no?

Al concorrente conviene cambiare! Se cambia vince l’auto con probabilità Se non cambia vince l’ auto con probabilità