L’equazione dell’ellisse Si chiama ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L’equazione dell’ellisse L’ellisse con i fuochi sull’asse x la forma canonica dell'equazione generale di un'ellisse che ha centro nell’origine e fuochi sull’asse x è dove a rappresenta il semiasse appartenente all’asse delle ascisse, b rappresenta il semiasse appartenente all’asse delle ordinate e a > b.

L’equazione dell’ellisse Caratteristiche dell’ellisse con i fuochi sull’asse x Vertici (punti di interazione tra l’ellisse e gli assi cartesiani) Fuochi con È simmetrica rispetto agli assi cartesiani e rispetto all’origine. È tutta contenuta nel rettangolo determinato dalle parallele agli assi cartesiani passanti per i suoi vertici.

La retta ESEMPIO Studiamo le caratteristiche dell’ellisse di equazione Poiché a2 = 16 e b2 = 9, il semiasse maggiore è 4 e quello minore è 3. y x -4 -3 3 4 F2 F1 I vertici sono i punti di coordinate Dalla relazione ricaviamo I fuochi sono dunque i punti di coordinate

L’equazione dell’ellisse L’ellisse con i fuochi sull’asse y L’ellisse con centro nell’origine e fuochi sull’asse y ha equazione con a < b I fuochi hanno coordinate I suoi vertici sono Vale in questo caso la relazione

L’equazione dell’ellisse ESEMPIO Studiamo le caratteristiche dell’ellisse di equazione Essendo a < b i fuochi appartengono all’asse y y x -3 3 4 F2 F1

L’equazione dell’ellisse Riassumiamo in una tabella le caratteristiche algebriche dell’equazione di un’ellisse a seconda della posizione dei fuochi.

Eccentricità Si dice eccentricità di un'ellisse il rapporto fra il semiasse focale e il semiasse maggiore: In particolare: se l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ascisse se l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ordinate e si ha che

Eccentricità Per come è definita, l’eccentricità rappresenta lo schiacciamento dell’ellisse sul suo asse maggiore: più il valore di e si avvicina a 0, meno l’ellisse è schiacciata, più si avvicina a 1 più lo diventa. se e = 0 : l’ellisse diventa una circonferenza se e = 1 : l’ellisse degenera nel segmento F1F2

L’equazione dell’ellisse ESEMPIO Calcoliamo l’eccentricità di un’ellisse di equazione Scriviamo l’equazione dell’ellisse in forma canonica dividendo entrambi i membri per 9: Essendo a > b l’ellisse hai fuochi sull’asse delle ascisse

Problemi sull’ellisse L’equazione di un’ellisse dipende dai due parametri a e b. Per risolvere problemi sulla sua determinazione sono perciò sufficienti due informazioni indipendenti. Per esempio: se si conoscono le coordinate di due suoi punti (non simmetrici rispetto ai suoi assi o all’origine) per determinare l’equazione si deve imporre alle coordinate dei punti di soddisfare l’equazione canonica.

  Problemi sull’ellisse ESEMPIO Prendiamo l’equazione dell’ellisse con assi di simmetria gli assi cartesiani e passante per i punti: y x Imponiamo il passaggio per i due punti Passaggio per A Passaggio per B B   A L’ellisse ha equazione e ha i fuochi sull’asse delle ascisse.

x0x al posto di x2 y0y al posto di y2 Problemi sull’ellisse Le rette tangenti Per trovare l’equazione della retta tangente ad un’ellisse si deve: scrivere l’equazione generale della retta impostare il sistema fra l’equazione dell’ellisse e l’equazione della retta trovare l’equazione risolvente del sistema calcolare il discriminante di questa equazione e imporre che sia uguale a zero. In particolare, se la retta tangente passa per un punto P (x0, y0) che appartiene all’ellisse, oltre al metodo illustrato si possono usare le formule di sdoppiamento ponendo nell’equazione dell’ellisse: x0x al posto di x2 y0y al posto di y2

x0x=4x al posto di x2 y0y =y al posto di y2 P è un punto dell’ellisse. Problemi sull’ellisse ESEMPIO Determiniamo l’equazione della tangente per P (4, 1) all’ellisse di equazione Sostituiamo le coordinate di P nell’equazione dell’ellisse: P è un punto dell’ellisse. Possiamo applicare le formule di sdoppiamento: nell’equazione dell’ellisse nella forma operiamo le seguenti sostituzioni: x0x=4x al posto di x2 y0y =y al posto di y2 L’equazione della tangente per P è quindi

L’equazione dell’iperbole Si chiama iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L’equazione dell’iperbole L’iperbole con i fuochi sull’asse x L'iperbole avente centro nell'origine e i fuochi sull'asse delle ascisse ha equazione: a rappresenta il semiasse traverso b rappresenta il semiasse non traverso i vertici reali sono i punti di coordinate i vertici immaginari sono i punti di coordinate i fuochi sono punti di coordinate dove gli asintoti hanno equazione

L’equazione dell’iperbole Per tracciare il grafico di un’iperbole data l’equazione dobbiamo: individuare i semiassi trasverso e non trasverso e quindi i suoi vertici disegnare il rettangolo con centro nell’origine che ha per dimensioni l’asse trasverso e quello non trasverso (figura a) tracciare gli asintoti, cioè le rette delle diagonali del rettangolo costruito (figura b) disegnare l’iperbole nella coppia di angoli opposti al vertice individuata dalle diagonali e che contiene i fuochi (figura c)

L’equazione dell’iperbole ESEMPIO Determiniamo le caratteristiche dell’iperbole di equazione Essendo e quindi: I vertici reali sono I punti e I vertici immaginari sono I punti e Gli asintoti sono le rette di equazione I fuochi hanno coordinate e

Diversi tipi di equazioni L’iperbole con i fuochi sull’asse y L’iperbole con centro nell’origine e fuochi sull’asse delle ordinate ha equazione Caratteristiche: i vertici reali sono i punti B1(0,−b) e B2(0, b), l’asse trasverso è il segmento B1B2 e vale 2b, il semiasse trasverso è il segmento OB1 (oppure OB2) e vale b i vertici immaginari sono I punti e , l’asse non trasverso è il segmento e vale 2a, il semiasse non trasverso è il segmento OA1 (oppure OA2 ) e vale a gli asintoti sono le rette di equazione fra i parametri , , vale ancora la relazione

L’equazione dell’iperbole ESEMPIO Individuiamo le caratteristiche dell’iperbole di equazione Essendo e Quindi: I vertici reali della curva sono i punti e I vertici immaginari sono i punti e I fuochi hanno coordinate e Gli asintoti hanno equazione

L’equazione dell’iperbole Riassumiamo in una tabella le caratteristiche algebriche dell'equazione di una iperbole a seconda della posizione dei fuochi.

L’equazione dell’iperbole ECCENTRICITÀ DELL’IPERBOLE L’eccentricità di un’iperbole è la misura della sua ampiezza

Problemi sull’iperbole L’equazione dell’iperbole, come quella dell’ellisse, è individuata se si conoscono i valori dei parametri a e b, quindi, per poterla determinare, sono necessarie, ma anche sufficienti, due informazioni indipendenti. Se non è noto a priori a quale degli assi coordinati appartengono I fuochi e se non è possibile dedurlo facilmente, dobbiamo considerare entrambe le forme dell’equazione: oppure

Problemi sull’iperbole ESEMPIO Determiniamo l’equazione dell’iperbole che passa per due punti assegnati: I° caso: se consideriamo l’equazione del tipo , imponendo il passaggio per i due punti P e Q e otteniamo il sistema che ha soluzione L’iperbole ha quindi equazione

Problemi sull’iperbole ESEMPIO II° caso: considerando ora l’eqiazione e scriviamo il sistema associato: tale sistema ammette la soluzione , algebricamente non accettabile.

Problemi sull’iperbole LE RETTE TANGENTI ALL’IPERBOLE Per trovare l’equazione della retta tangente ad un’iperbole si deve: scrivere l’equazione generale della retta impostare il sistema tra l’equazione dell’iperbole e l’equazione della retta trovare l’equazione risolvente del sistema calcolare il discriminante di questa equazione e imporre che sia uguale a zero In particolare, se la retta tangente passa per un punto che appartiene all’iperbole, oltre al metodo illustrato si possono usare le formule di sdoppiamento ponendo nell’equazione dell’iperbole: al posto di al posto di

Problemi sull’iperbole ESEMPIO Troviamo le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equazione condotte dal punto Il fascio di centro ha equazione Scriviamo il sistema delle equazioni del fascio e dell’iperbole L’eqauazione risolvente è Imponiamo la condizione di tangenza che ha soluzioni e Le equazioni delle tangenti sono, dunque: e

L’iperbole equilatera Un’iperbole si dice equilatera se ha i semiassi uguali, cioè se Equazione riferita al centro e agli assi: se i fuochi sono sull’asse x e si ha che: i vertici hanno coordinate i fuochi hanno coordinate se i fuochi sono sull’asse y e si ha che: i vertici hanno coordinate i fuochi hanno coordinate Gli asintoti, in entrambi i casi, hanno equazioni

Iperbole equilatera EQAUZIONE RIFERITA AGLI ASINTOTI Se gli asintoti dell’iperbole equilatera coincidono con gli assi cartesiani la sua equazione diventa se il grafico appartiene al primo e terzo quadrante i vertici e i fuochi hanno coordinate: se il grafico appartiene al secondo e quarto quadrante i vertici e i fuochi hanno coordinate: L’eccentricità di un’iperbole equilatera è sempre uguale a La curva rappresenta il grafico della proporzionalità inversa.

Iperbole equilatera ESEMPIO Descriviamo le caratteristiche delle iperboli equilatere che hanno le seguenti equazioni: a) L’iperbole è riferita al centro degli assi ed ha quindi come asintoti le rette di equazioni . Essendo i suoi vertici hanno coordinate e e I fuochi e il suo grafico è: -4 4

Iperbole equilatera ESEMPIO b) L’iperbole appartiene al secondo e quarto quadrante. Vertici: Fuochi: Il suo grafico è:

LA FUNZIONE OMOGRAFICA Iperbole equilatera LA FUNZIONE OMOGRAFICA Operando con una traslazione su un’iperbole equilatera riferita agli asintoti si ottiene una funzione particolare detta funzione omografica. y=3 La sua equazione ha la forma con e rappresenta un’iperbole equilatera avente per asintoti le rette

Iperbole equilatera ESEMPIO Costruiamo il grafico della funzione omografica di equazione Gli asintoti della funzione hanno equazione La curva interseca l’asse y nel punto Il suo grafico è: P