L’equazione dell’ellisse Si chiama ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L’equazione dell’ellisse L’ellisse con i fuochi sull’asse x la forma canonica dell'equazione generale di un'ellisse che ha centro nell’origine e fuochi sull’asse x è dove a rappresenta il semiasse appartenente all’asse delle ascisse, b rappresenta il semiasse appartenente all’asse delle ordinate e a > b.

L’equazione dell’ellisse Caratteristiche dell’ellisse con i fuochi sull’asse x Vertici (punti di interazione tra l’ellisse e gli assi cartesiani) Fuochi con È simmetrica rispetto agli assi cartesiani e rispetto all’origine. È tutta contenuta nel rettangolo determinato dalle parallele agli assi cartesiani passanti per i suoi vertici.

La retta ESEMPIO Studiamo le caratteristiche dell’ellisse di equazione Poiché a2 = 16 e b2 = 9, il semiasse maggiore è 4 e quello minore è 3. y x -4 -3 3 4 F2 F1 I vertici sono i punti di coordinate Dalla relazione ricaviamo I fuochi sono dunque i punti di coordinate

L’equazione dell’ellisse L’ellisse con i fuochi sull’asse y L’ellisse con centro nell’origine e fuochi sull’asse y ha equazione con a < b I fuochi hanno coordinate I suoi vertici sono Vale in questo caso la relazione

L’equazione dell’ellisse ESEMPIO Studiamo le caratteristiche dell’ellisse di equazione Essendo a < b i fuochi appartengono all’asse y y x -3 3 4 F2 F1

L’equazione dell’ellisse Riassumiamo in una tabella le caratteristiche algebriche dell’equazione di un’ellisse a seconda della posizione dei fuochi.

Eccentricità Si dice eccentricità di un'ellisse il rapporto fra il semiasse focale e il semiasse maggiore: In particolare: se l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ascisse se l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ordinate e si ha che

Eccentricità Per come è definita, l’eccentricità rappresenta lo schiacciamento dell’ellisse sul suo asse maggiore: più il valore di e si avvicina a 0, meno l’ellisse è schiacciata, più si avvicina a 1 più lo diventa. se e = 0 : l’ellisse diventa una circonferenza se e = 1 : l’ellisse degenera nel segmento F1F2

L’equazione dell’ellisse ESEMPIO Calcoliamo l’eccentricità di un’ellisse di equazione Scriviamo l’equazione dell’ellisse in forma canonica dividendo entrambi i membri per 9: Essendo a > b l’ellisse hai fuochi sull’asse delle ascisse

Problemi sull’ellisse L’equazione di un’ellisse dipende dai due parametri a e b. Per risolvere problemi sulla sua determinazione sono perciò sufficienti due informazioni indipendenti. Per esempio: se si conoscono le coordinate di due suoi punti (non simmetrici rispetto ai suoi assi o all’origine) per determinare l’equazione si deve imporre alle coordinate dei punti di soddisfare l’equazione canonica.

  Problemi sull’ellisse ESEMPIO Prendiamo l’equazione dell’ellisse con assi di simmetria gli assi cartesiani e passante per i punti: y x Imponiamo il passaggio per i due punti Passaggio per A Passaggio per B B   A L’ellisse ha equazione e ha i fuochi sull’asse delle ascisse.

x0x al posto di x2 y0y al posto di y2 Problemi sull’ellisse Le rette tangenti Per trovare l’equazione della retta tangente ad un’ellisse si deve: scrivere l’equazione generale della retta impostare il sistema fra l’equazione dell’ellisse e l’equazione della retta trovare l’equazione risolvente del sistema calcolare il discriminante di questa equazione e imporre che sia uguale a zero. In particolare, se la retta tangente passa per un punto P (x0, y0) che appartiene all’ellisse, oltre al metodo illustrato si possono usare le formule di sdoppiamento ponendo nell’equazione dell’ellisse: x0x al posto di x2 y0y al posto di y2

x0x=4x al posto di x2 y0y =y al posto di y2 P è un punto dell’ellisse. Problemi sull’ellisse ESEMPIO Determiniamo l’equazione della tangente per P (4, 1) all’ellisse di equazione Sostituiamo le coordinate di P nell’equazione dell’ellisse: P è un punto dell’ellisse. Possiamo applicare le formule di sdoppiamento: nell’equazione dell’ellisse nella forma operiamo le seguenti sostituzioni: x0x=4x al posto di x2 y0y =y al posto di y2 L’equazione della tangente per P è quindi