Introduzione alla geometria Prof.ssa Sara Asti

Geometria La geometria studia figure ideali, che però rappresentano aspetti degli oggetti concreti. È il nostro pensiero che osservando un oggetto preso dalla realtà, costruisce le figure geometriche. Osserva alcuni oggetti in classe e pensa a quali figure piane o solide sono riconducibili

GEOMETRIA PIANA Parliamo di geometria piana, quando facciamo riferimento a figure geometriche dotate di 2 dimensioni (lunghezza e larghezza). Parliamo di geometria solida, quando facciamo riferimento a figure geometriche dotate di 3 dimensioni (lunghezza, larghezza e spessore).

Enti fondamentali della geometria Lo studio della GEOMETRIA PIANA si basa su tre ELEMENTI, che NON sono definibili in modo preciso ma solo approssimato: IL PUNTO LA RETTA IL PIANO (Proviamo a disegnarli sulla LIM)

Enti fondamentali della geometria Chiamiamo «punto, retta e piano» enti fondamentali, perché è da loro che deriva la COSTRUZIONE E LA DEFINIZIONE di tutte le figure geometriche

Enti fondamentali della geometria Il PUNTO è un punto ideale che non ha dimensioni (es. puntino fatto con la matita) e viene rappresentato con una lettera maiuscola. La RETTA ideale è illimitata da entrambe le parti ed ha una sola dimensione (la lunghezza). Viene rappresentata con una lettera minuscola. Il PIANO ideale è illimitato ed ha 2 dimensioni (lunghezza e larghezza); si indica con una lettera dell’alfabeto greco. (rappresentiamoli sulla LIM e facciamo esercizi a pag 11)

PUNTI, RETTE E PIANI PER UN PUNTO DEL PIANO PASSANO INFINITE RETTE PER DUE PUNTI DEL PIANO PASSA UNA SOLA RETTA SI CHIAMA SEMIRETTA CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI UNA RETTA VIENE DIVISA DA UN SUO PUNTO SI CHIAMA SEMIPIANO OGNUNA DELLE DUE PARTI IN CUI UN PIANO E’ DIVISO DA UNA RETTA

I segmenti Si chiama SEGMENTO la parte di retta limitata da due punti detti estremi Due segmenti si dicono consecutivi se hanno in comune un solo estremo Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta (disegniamoli)

Confronto, somma e differenza di segmenti Dati 2 segmenti AB e CD, possiamo dire che sono: CONGRUENTI: quando hanno la stessa lunghezza Che AB > CD quando la lunghezza di AB è maggiore di quella di CD AB < CD quando la lunghezza di AB è minore di quella di CD (disegniamoli)

Somma e differenza Dati 2 segmenti AB e CD, con AB > CD possiamo costruire il segmento somma AB + CD Ed il segmento differenza AB – CD (fare esercizi pag. 17)

Punto medio Dato un segmento AB, chiameremo punto medio del segmento il punto M che lo divide in due segmenti congruenti (disegno)

Segmenti e loro multipli DISEGNA SUL QUADERNO UN SEGMENTO AB, LUNGO 3 QUADRATINI. COSTRUISCI IL SEGMENTO CD, LUNGO 4 VOLTE AB. SI SCRIVE: CD = 4AB

Lunghezza di un segmento L’UNITA’ DI MISURA è IL METRO (m) Ricordiamo che: 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 m = 0,1 dam = 0,01 hm = 0,001 km MISURARE significa confrontare la lunghezza di un segmento con l’unità di misura di riferimento (esercizi pag 19; pag.111 n. 36-40)

La misura della lunghezza di un segmento

La misura della lunghezza di un segmento

Esercizi: SOMMA E DIFFERENZA DI SEGMENTI LA SOMMA DEI SEGMENTI AB E CD MISURA 10,5 cm; LA LORO DIFFERENZA MISURA 6,5 cm. DETERMINA LA LUNGHEZZA DI AB E CD

FORMULA RISOLUTIVA SEGMENTO MINORE = (SOMMA – DIFFERENZA) :2 SEGMENTO MAGGIORE = SEGMENTO MINORE + DIFFERENZA

DA 2 A 3 DIMENSIONI Per poter passare dallo studio della GEOMETRIA PIANA a quello della GEOMETRIA SOLIDA, occorre conoscere le: POSIZIONI DI 2 RETTE NELLO SPAZIO LE POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO AD UN PIANO LE POSIZIONI DI 2 PIANI NELLO SPAZIO

POSIZIONI DI 2 RETTE NELLO SPAZIO COMPLANARI (cioè appartengono allo stesso piano). In questo caso possono essere INCIDENTI o PARALLELE SGHEMBE: non appartengono allo stesso piano e NON SONO PARALLELE E NON SONO INCIDENTI (EVIDENZIA RETTE COMPLANARI E SGHEMBE SUL TUO MODELLINO)

LE POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO AD UN PIANO Una retta rispetto ad un piano può essere: GIACENTE sul piano (tutti i punti della retta appartengono al piano) INCIDENTE al piano (ha in comune con il piano un solo punto) PARALLELA al piano (non ha alcun punto in comune con il piano) (disegniamo i 3 casi sulla LIM)

LE POSIZIONI DI 2 PIANI NELLO SPAZIO Due piani nello spazio possono essere: PARALLELI (quando non hanno punti in comune) INCIDENTI: hanno una retta in comune (Completa gli esercizi pag. 23)

Gli angoli diedri DIEDRO: ognuna delle due parti in cui viene diviso lo spazio da una coppia di semipiani aventi la stessa origine Due piani incidenti si dicono perpendicolari se formano 4 diedri retti.

Angolo diedro

Angoli diedri

angoloide Gli angoli delle facce di un solido che hanno in comune un vertice, si chiamano angoloidi.

angoloide Attività 1: con cannucce e filo costruisci l’angoloide di una piramide a base quadrata. Cosa puoi dire riguardo la somma degli angoli?

Quante rette? Quanti piani? Fascio di rette: l’insieme di infinite rette che passano per un punto di un piano Stella di rette: insieme di infinite rette passanti per un punto dello spazio Fascio di piani: insieme di infiniti piani passanti per la stessa retta Stella di piani: insieme di infiniti piani passanti per uno stesso punto

Poliedri e solidi di rotazione FIGURA SOLIDA : qualsiasi oggetto che occupa una porzione di spazio. POLIEDRO: figura solida le cui facce sono dei poligoni (es. quadrato, rettangolo, esagono ecc.) SOLIDO DI ROTAZIONE (O ROTONDO): figura solida le cui facce sono delle superfici curve. I solidi di rotazione si originano dalla rotazione di una figura piana attorno ad un suo elemento.

poliedri Sono formati da facce, spigoli e vertici

poliedri Poliedro convesso: si ha quando ogni piano passante per una faccia ha in comune con il poliedro solo i punti appartenenti a quella faccia. Poliedro concavo: si ha quando un piano passante per una faccia ha in comune con il poliedro altri punti oltre a quelli della faccia.

Poliedro concavo

Poliedro convesso

ATTIVITA’ 2 SUL MODELLINO CHE HAI A DISPOSIZIONE CONTA LE FACCE, GLI SPIGOLI E I VERTICI. NE DEDURRAI CHE : f + v = s + ….?

f + v = s + 2 Relazione di eulero IN UN POLIEDRO CONVESSO LA SOMMA DEL NUMERO DELLE FACCE E DEL NUMERO DEI VERTICI E’ UGUALE AL NUMERO DEGLI SPIGOLI AUMENTATO DI 2

IL VOLUME Il volume di un solido è la misura dell’estensione spaziale del solido rispetto ad un’unità di misura (metro cubo o litro)

Unita’ di misura Usiamo il metro cubo per il volume delle figure solide, ricordando che: 1 m3 = 103 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3 (cioè, nelle equivalenze si va di 1000 in 1000)

Unita’ di misura Usiamo il LITRO per misurare la capacità dei recipienti 1 LITRO = 1 decimetro cubico (esercizi in classe pag. 31 n. 1-4) COMPITO: pag. 31 n. 2-3

SOLIDI EQUIVALENTI DUE SOLIDI SI DICONO EQUIVALENTI QUANDO HANNO LA STESSA ESTENSIONE SPAZIALE.

PESO SPECIFICO (da cui ps = P/V e V = P/ps) E’ IL PESO PER UNITA’ DI VOLUME DI UNA SOSTANZA (g/cm3) SE DOBBIAMO CALCOLARE IL PESO DI UN OGGETTO E CONOSCIAMO IL PESO SPECIFICO E IL VOLUME FAREMO: P = V * ps (da cui ps = P/V e V = P/ps)

ESEMPI Il volume di un solido è di 250 cm3 e sappiamo che è fatto di bronzo (ps = 8,4 g/cm3). Quanti kg pesa l’oggetto? P = 250 cm3 * 8,4 g/cm3 = 2100 g = 2,1 Kg (esercizi pag 35 n. 2-3)

Poliedri: il parallelepipedo

Il parallelepipedo rettangolo Solido limitato da 6 rettangoli, a due a due congruenti. a = lunghezza b = larghezza c = altezza

Il parallelepipedo rettangolo Delle 6 facce, 4 si chiamano FACCE LATERALI e 2 BASI. Definiamo AREA DELLA SUPERFICIE LATERALE, l’area delle 4 facce laterali. Definiamo AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE, l’area della superficie laterale più quella delle 2 basi.

ESERCIZIO INDIVIDUA SUL TUO MODELLINO QUALI SONO LE FACCE LATERALI, LE BASI, GLI SPIGOLI E I VERTICI COLORA IN MODO DIVERSO LA SUPERFICIE LATERALE E QUELLA DELLE 2 BASI

IL CUBO

IL CUBO a = spigolo (lunghezza=larghezza = altezza) Il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo in cui le 3 dimensioni (lunghezza, larghezza, altezza) sono congruenti. E’ formato da 6 facce (6 quadrati congruenti)

Il cubo Definiamo AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE di un cubo, l’area delle 6 facce.

I prismi

I prismi Un prisma retto è un poliedro limitato Da due poligoni congruenti detti Basi (es. triangolo, pentagono ecc.) E da tanti rettangoli quanti sono I lati del poligono di base.

La piramide E’ un poliedro limitato da un poligono, detto base, e da tanti triangoli (aventi un vertice in comune), quanti sono i lati della base.

La piramide Il poligono ABCD è la base (può essere un quadrato, un pentagono ecc.); Ha 4 facce laterali, che sono triangoli V è il vertice

La piramide VK è l’altezza della piramide VH è l’apotema della piramide KH è il raggio di base, che corrisponde a metà spigolo di base.

Relazione tra altezza e apotema Essendo il triangolo VKH rettangolo, possiamo ricavare l’apotema VH applicando Pitagora. Avremo: (VH)2 = (VK)2 + (KH)2

I poliedri regolari Definiamo regolari quei poliedri che: Sono delimitati da poligoni regolari congruenti fra loro Hanno tutti gli angoloidi congruenti (N.B. un poligono è regolare quando ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti tra loro)

I poliedri regolari

I poliedri: formule risolutive FIGURA SUPERFICIE LATERALE SUPERFICIE TOTALE VOLUME PARALLELEPIPEDO perimetro di base x h A lat + 2 base A base x h CUBO 4 x L2 6 x L2 L3 PRISMA PIRAMIDE (P base x a)/2 A lat + 1 base (A base x h)/3

problemi Pag. 129 n.7-8 Pag.41 n. 1-2-3 Compito: pag.41 n.4-5

Preparazione alla verifica 1. calcola l’area laterale e il volume di un prisma regolare quadrangolare che ha lo spigolo di base di 16 cm e l’altezza di 19 cm. (N.B. ABCD è un quadrato)

Preparazione alla verifica Un prisma ha per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 45 cm e 24 cm. Calcola area laterale e volume del prisma, sapendo che la sua altezza misura 8,5 cm.

Preparazione alla verifica Calcola lo spigolo e il volume di un cubo che ha l’area totale di 6144 dm2

Verifica: problema 1 Un cubo di vetro ha lo spigolo di 5 cm. Calcola area totale e volume. Sapendo che il vetro ha ps = 2,5 g/cm3, calcola il peso dell’oggetto.

Problema 2 Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 14 e 48 cm. Calcola area totale e volume del prisma, sapendo che la sua altezza è 2/25 dell’ipotenusa del triangolo rettangolo.

I SOLIDI DI ROTAZIONE: il cilindro Si ottiene un cilindro facendo ruotare di un giro completo un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.

I SOLIDI DI ROTAZIONE: il cilindro Area laterale = circonferenza di base x altezza Area totale = Alat + 2 Ab Volume = Area di base x altezza

IL CONO Si ottiene un cono facendo ruotare di un giro completo un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti.

Il cono Si ottiene un cono curvando un settore circolare in modo che i due raggi estremi vadano a coincidere. Il settore rappresenta l’area laterale del cono.

Il cono Superficie laterale = p r .a Superficie totale = p r .a + pr2 Volume = (pr2 * h)/3

problemi 1. calcola il volume di un cilindro generato dalla rotazione completa del rettangolo di dimensioni 4 cm e 6 cm attorno al lato più lungo. 2. Calcola il volume di un cono generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno al cateto minore che misura 9 cm, sapendo che l’altro cateto misura 12 cm.