I modelli matematici: osservazioni ed esempi

Compito del matematico “puro”? PROVARE TEOREMI Primo valore della matematica è FORNIRE uno STRUMENTO per meglio CONOSCERE il MONDO FISICO l’importanza della matematica nei confronti della scienza

i greci furono i primi a sostenere che l’universo è disegnato secondo rigide proprietà matematiche Galileo Galilei (1564-1642): la scienza deve cercare di fornire leggi quantitative dobbiamo osservare i fenomeni della natura proporre un modello matematico astratto che li descriva verificarne la validità dedurre proprietà del modello

MODELLO della CRESCITA di una POPOLAZIONE Problema: Costruire un modello matematico (cioe’ formulare una legge matematica) che spieghi come una popolazione (batteri, pesci, persone) si modifica nel tempo

N(t)=numero di individui di una certa popolazione al tempo t Dopo un tempo pari a Dt N(t + Dt)= numero di individui incremento: velocita’ di variazione della popolazione nel tempo t : velocita’ istantanea di variazione della popolazione t piccolo a piacere  lim per t0 di Si ha la derivata di N(t) rispetto a t :

N(t)=N(0)ekt equazione differenziale soluzioni: Thomas Malthus (1766-1834): prima ipotesi di modello della dinamica di crescita di una popolazione velocita’ di crescita proporzionale alla popolazione stessa equazione differenziale soluzioni: N(t)=N(0)ekt e= numero di Eulero=2,7182818… Tre grafici di funzioni malthusiane ottenute facendo variare la costante k

Tabella della dinamica della popolazione USA anno Popolazione effettiva Dati calcolati con la legge malthusiana (k=0.301) Errore % Errore T=0 1790 3.929.000 3.920.000 T=1 1800 5.308.000 T=2 1810 7.240.000 7.173.000 -67.000 -0.9 T=3 1820 9.638.000 9.693.000 55.000 0.5 T=4 1830 12.866.000 13.097.000 231.000 1.8 T=5 1840 17.069.000 17.697.000 628.000 2.0 T=6 1850 23.192.000 23.912.000 720.000 2.3 T=7 1860 31.443.000 32.310.000 867.000 2.8 T=8 1870 38.558.000 43.658.000 5.100.000 13.2 T=9 1880 50.156.000 58.991.000 8.835.000 17.6 T=10 1890 62.948.000 79.709.000 16.761.000 21.0 T=11 1900 75.995.000 107.704.000 31.702.000 41.7 T=12 1910 91.972.000 145.530.000 53.558.000 58.2 T=13 1920 105.711.000 196.642.000 90.931.000 86.0 T=14 1930 122.775.000 265.705.000 142.930.000 116.4 T=15 1940 131.669.000 359.002.000 227.333.000 172.6 T=16 1950 150.697.000 485.114.000 334.417.000 221.9 Dopo il 1860 l’equazione malthusiana non fornisce una previsione accettabile

Tabella della stima della popolazione mondiale Anno Popolazione mondiale prevista 2000 6.675.305.132 2100 49.324.204.000 2200 364.459.310.000 2500 147.033.380.000.000 3000 3.238.625.700.000.000.000 Essendo la superficie totale della terra 510.100.000.000.000 m2 una semplice divisione mostra che nel 2500 sarebbero costretti a stare quasi in piedi l’uno accanto all’altro !!

Crescita in laboratorio del piccolo roditore Microtus Arvallis (previsione con l’equazione malthusiana k=0.4) Mesi 2 6 10 Numero roditori 5 20 109 Numero roditori previsto 4.5 22.0 109.1 La stima malthusiana e’ accettabile

L’ipotesi malthusiana non è, in generale, accettabile in particolare perche’ prevede sempre una crescita indefinita

equazione logistica soluzioni: Verhulst (1837) biologo matematico: introdusse un fattore correttivo la velocita’ di crescita diminuisce quando la popolazione aumenta equazione logistica soluzioni:

Grafico della funzione logistica con N(0)=10, k=0.3, h=0.006 Notare la presenza dell’asintoto N(t)=k/h=50

Il modello appare ora sufficientemente soddisfacente Popolazione degli Usa nel periodo 1790-1950 e dati calcolati con la legge di crescita logistica anno Popolazione effettiva Dati calcolati con la crescita logistica errore Errore percentuale 1790 3.929.000 1800 5.308.000 5.336.000 28.000 0.5% 1810 7.240.000 7.228.000 -12.000 -0.2% 1820 9.638.000 9.757.000 119.000 1.2% 1830 12.866.000 13.109.000 243.000 1.9% 1840 17.069.000 17.506.000 437.000 2.6% 1850 23.192.000 0% 1860 31.443.000 30.412.000 -1.031.000 -3.3% 1870 38.558.000 39.372.000 814.000 2.1% 1880 50.156.000 50.177.000 21.000 0.0% 1890 62.948.000 62.769.000 -179.000 -0.3% 1900 75.995.000 76.870.000 875.000 1910 91.972.000 1920 105.711.000 107.559.000 1.848.000 1.7% 1930 122.775.000 123.124.000 349.000 0.3% 1940 131.669.000 136.653.000 4.984.000 3.8% 1950 150.697.000 149.053.000 -1.644.000 -1.1% Il modello appare ora sufficientemente soddisfacente

Applicazione dell’equazione di crescita : Decadimento radioattivo Questo fenomeno fu studiato agli inizi del secolo dal fisico inglese Ernest Rutherford (1871-1937), il quale mostrò che gli atomi di taluni elementi godono di una proprietà (per la quale furono chiamati "radioattivi"): essi sono instabili e cioè dopo un dato periodo di tempo una proporzione fissa di essi si disintegra spontaneamente formando gli atomi di un nuovo elemento Rutherford mostrò che la "radioattività" è una proprietà intrinseca di questi elementi e che la intensità con cui si manifesta è direttamente proporzionale al numero di atomi della sostanza. Di enorme importanza è l'applicazione dell'equazione di crescita esponenziale al fenomeno del "decadimento radioattivo", che è alla base di tutti i metodi di datazione delle rocce, dei fossili e dei reperti archeologici. Questo fenomeno fu studiato agli inizi del secolo dal fisico inglese Ernest Rutherford (1871-1937), il quale mostrò che gli atomi di taluni elementi godono di una proprietà (per la quale furono chiamati "radioattivi"): essi sono instabili e cioè dopo un dato periodo di tempo una proporzione fissa di essi si disintegra spontaneamente formando gli atomi di un nuovo elemento. Rutherford mostrò che la "radioattività" è una proprietà intrinseca di questi elementi e che la intensità con cui si manifesta è direttamente proporzionale al numero di atomi della sostanza. Quindi, se Nltl è il numero degli atomi al tempo t, la velocità della loro disintegrazione (che è data, come al solito dalla derivata del loro numero, IVltll è proporzionale a Nltl. Cioè: N (t) = -AN( t) dove )~ è una costante positiva, detta "costante di decadimento" della sostanza, essendo appunto caratteristica della sostanza stessa. La soluzione dell'equazione è, come al solito, N(t) = NIOIe_AI dove NI01 è il numero di atomi all'istante iniziale (t = Ol. Per via sperimentale è possibile determinare la costante ~, caratteristica di ogni sostanza e ciò è stato fatto in un gran numero di casi. Un'altra costante caratteristica del fenomeno e molto studiata è la cosiddetta "emivita". L'emivita di una sostanza radioattiva è definita come il tempo necessario affinché metà di una data quantità di atomi radioattivi decada. Per esempio, l'emivita del Piombo 210 è 22 anni, l'emivita del Carbonio 14 è 5.568 anni e quella dell'Uranio 238 è 4,5 miliardi di anni. L'idea che è alla base nel metodo di datazione di un corpo qualsiasi può essere rozzamente descritta come segue. Non è di solito difficile calcolare il numero degli atomi radioattivi del corpo in esame in un dato istante, e cioè NI tl• ;~ è nota. Se in qualche modo si riesce a calcolare qual era il numero degli atomi all'istante iniziale, cioè nel momento in cui si formò il nostro oggetto, allora l'unica incognita nella formula N(t) = N(0)e` sarà il tempo t e cioè l'età dell'oggetto. È quasi superfluo dire che calcolare il numero degli atomi all'istante iniziale è il punto di maggiore difficoltà. Quindi tutti gli sforzi debbono essere indirizzati alla determinazione di NI01 per vie indirette o almeno a una determinazione approssimata: dopo di ché la soluzione dell'equazione di crescita esponenziale fornisce, con un semplice calcolo, la risposta (vedi riquadro).

Modello matematico per la datazione col Carbonio 14 (Come anche la matematica puo’ svelare i falsi)

Walter F.Libby (chimico, p.Nobel): ideò alla fine degli anni ’40 uno dei metodi piu’ famosi e semplici di datazione dei reperti L’azoto che si trova negli strati alti dell’atmosfera, bombardato da raggi cosmici, dà luogo a 14C, un isotopo radioattivo del C. Il carbonio che viene normalmente fissato da piante e animali è caratterizzato da un rapporto costante 14C/12C=10-12. Quando un organismo cessa di vivere la concentrazione di 14C diminuisce perché non viene più assorbito mentre continua a decadere

N(t)=quantità di 14C nell’oggetto da datare al tempo t N(0)=quantità di 14C contenuta al tempo t=0 K=costante di decadimento radiattivo del 14C N(t) è soluzione dell’equazione: ovvero: R(t)=velocità con cui avviene il decadimento radioattivo

Castello di Winchester: tavola rotonda. E’ quella di Re Artù? 1977: datazione con il 14C R(t)= 6.08 grammo/min v. decadimento legno se R(0)=6.68 grammo/min e k=1.245x10-4 anno-1 (legno vivo) La tavola rotonda è stata tagliata nel 1275!! t =700 anni

Ma Re Artù è vissuto nel VI secolo!!!