Matematica dai 6 ai 99 anni e Origami Emma Frigerio Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Milano nel CDO dal 1986 emma.frigerio@unimi.it

...e la sua potenzialità per fare matematica Già Froebel aveva riconosciuto le molteplici valenze educative dell’origami… sviluppo di varie abilità abitudine alla concentrazione e alla pazienza cooperazione e lavoro individuale recupero di alcuni handicap ...e la sua potenzialità per fare matematica le pieghe più comuni sono assi e bisettrici l’approccio multisensoriale favorisce l’interiorizzazione e la memoria a lungo termine.

Idee- base Foglio = Piano Piega = Retta Ogni piega realizza una simmetria Se con una o più pieghe due “cose” si sovrappongono esattamente, queste due “cose” sono uguali.

Un esempio Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?

Un esempio Riaprendo il foglio, che cosa vedremo? Un rombo, con le sue diagonali.

Scuola primaria Usiamo il rombo per piegare un modello Pappagallo modello di Emma Frigerio

Scuola secondaria di primo grado Osservazioni sulle diagonali: sono tra loro perpendicolari e si tagliano a metà; sono anche bisettrici.

Scuola secondaria di secondo grado Quale teorema (o teoremi) abbiamo dimostrato? Se le diagonali di un quadrilatero Q sono perpendicolari tra loro e si tagliano scambievolmente a metà, allora i lati di Q sono congruenti e a due a due paralleli, dunque Q è un rombo. le diagonali bisecano gli angoli. NON abbiamo dimostrato che in un rombo le diagonali sono perpendicolari e si tagliano a metà.

Un nuovo teorema (Justin) Pieghiamo un triangolo solo lungo le sue bisettrici in modo da ottenere una figura piatta. Allora i tre vertici risultano allineati.

E le pieghe curve? Sono possibili, ma…

E le pieghe curve? Sono possibili, ma… si ottengono oggetti 3D. Eric e Martin Demaine David Huffman

Un po’ di storia 1 Costruzioni geometriche Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893 Costruzioni di Euclide piegando la carta. Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più! Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), … anni ’80

Un po’ di storia 1 Costruzioni geometriche Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893 Costruzioni di Euclide piegando la carta. Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più! Margherita Piazzolla Beloch (Ferrara), anni ’30 Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), … anni ’80

Un po’ di storia 2 Piegando la carta si possono risolvere alcuni problemi di costruzione impossibili con riga e compasso: Duplicazione del cubo Trisezione di un angolo La caratterizzazione delle costruzioni possibili con l’origami, dovuta a Scimemi, si fonda su uno strumento algebrico sofisticato (la teoria di Galois), esattamente come quella delle costruzioni possibili con riga e compasso.

Origami, matematica e tecnologia Matematica dell’origami Origami computazionale (algoritmi e teorie per risolvere matematicamente problemi di origami) Lang, E. Demaine (USA) Tecnologia dell’origami (applicazione dell’origami alla soluzione di problemi che nascono nell’ingegneria, nel design, e nella tecnologia in generale).

Esempi 1 Map folding (K. Miura) Prototipo di “Eyeglass” R. Lang Lawrence Livermore National Laboratory, Livermore, California R. Lang

Esempi 2 Stent origami (prototipo) Trasporto di medicinali Protein Folding Piegatura di airbags

Nella lezione di matematica 1 Geometria piana: riconoscimento e proprietà di figure piane, aree, teoremi di Pitagora e di Euclide, … Geometria solida: poliedri Ma anche…

Nella lezione di matematica 2 Problem solving Problemi di colorazione Calcolo combinatorio Trigonometria Coniche Limiti Frattali Spugna di Menger (J. Mosley)

Modello di van Hiele Piet e Dina van Hiele (Olanda, dalla fine degli anni ’50) distinguono 5 livelli nell’apprendimento della geometria Visualizzazione (figure come un tutto) Analisi (proprietà) Astrazione (argomentazioni, relazioni tra figure) Deduzione (teoremi, c.n.s.) Rigore (geometrie non euclidee) L’origami può utilmente accompagnare tutti questi livelli.

Miri Golan e l’Origametria In Israele lezioni di Origametria per migliaia di ragazzi (6 – 14 anni), tenute da persone appositamente formate, con un progetto creato da Miri Golan. Da qualche anno ha creato il programma Kindergarten Origametria, che è stato approvato dal Ministero per l’Educazione.

Thomas Hull Corsi nelle università degli Stati Uniti e un libro, dal titolo Project Origami in cui presenta dettagliatamente molte e varie attività matematiche adatte a studenti delle superiori.

Per finire… La capacità di studiare, comprendere e impadronirsi degli argomenti in ambito matematico è simile, sotto certi aspetti, al saper nuotare o all’andare in bicicletta, due abilità che non possono essere raggiunte stando fermi. H.S.M. Coxeter

Grazie per l’attenzione !