Modelli stellari omologhi

Equazione di stato di un gas ideale Il gas stellare è un plasma ionizzato e la distanza tra le particelle è dell’ordine del raggio atomico, ma maggiore del raggio nucleare (circa 105 volte più grande). Quindi il materiale si comporta come un gas ideale. Con n numero di particelle per m3, k costante di Boltzmann, R=k/mH costante dei gas,  peso molecolare medio pari alla massa media delle particelle in termini di atomi di H (mH) . Se teniamo conto della pressione di radiazione si ottiene:

Calcolo del peso molecolare medio : Un calcolo esatto è complesso perchè dipende dalla frazione di ionizzazione degli elementi nella stella. Si fa una assione semplificatrice: tutto il materiale della stella è ionizzato. Questa assunzione è giustificata dal fatto che H e He sono I più abbondanti e nell’interno di una stella sono sicuramente ionizzati (sulla superficie questo può non essere più valido). Ricordiamo che: X=frazione di massa di H Y=frazione di massa di He Z=frazione di massa di materiali più pesanti X + Y + Z = 1 Allora, in un 1m3 di materiale stellare di densità , c’è una densità di massa X di H, Y di He, Z di elementi pesanti. In un gas completamente ionizzato: H dà 2 particelle per mH (1 e- + 1 p+) He dà 3/4 particelle per mH (una particella  e 2 e– ) Elementi pesanti danno ~1/2 particelle per mH (12C has nucleus plus 6e– = 7/12) (16O has nucleus plus 8e– = 9/16)

Alla fine quindi Ricordando che Z=1-X-Y. Allora il peso molecolare medio totale risulta (ricordando che  = mn = nmH ): Questa è un ottima approssimazione eccetto che sulle zone esterne della stella. Assumendo una composizione solare abbiamo: X=0.747, Y=0.236, Z=0.017, e quindi ~0.6, cioè la massa media delle particelle risulta un po’ più di mezza massa del protone.

Opacità Sono 4 I processi più importanti: L’opacità è la resistenza del materiale al flusso di radiazione attraverso di esso. È causata da tutti I processi che portano all’assorbimento e alla diffusione dei fotoni. Sono 4 I processi più importanti: Assorbimento da stato legato a stato legato. Da stato legato a libero Libero-libero (Bremsstrahlung). Emissione durante l’avvicinamento e allontanamento da uno ione scattering, collisione di un fotone con un elettrone (effetto Compton)

Formula approssimata per l’opacità C’è bisogno di una equazione per l’opacità per poter risolvere le equazioni di struttura stellare. Per le stelle in equilibrio termodinamico con un flusso di energia verso l’esterno lento, si ha: Sommando tutti I coefficienti relativi alle interazioni, si ottiene un’espressione relativamente semplice: Dove , sono funzioni che variano lentamente in funzione di densità e Temperatura. 0 è una costante per una data composizione chimica.

La figura mostra l’opacità in funzione della Temperatura per una stella con densità fissata  (10-1 kgm-3 ). La curva continua deriva da calcoli numerici, la linea tratteggiata da formule approssimate di tipo leggi di potenza. A alte temperature  è piccola e rimane costante. La maggior parte degli atomi è ionizzata, I fotoni sono energetici e quindi il Bremsstrahlung è poco probabile. Domina l’effetto Compton che non dipende da T (==0) L’opacità è bassa a bassa T e decresce con T. Molti atomi non sono ionizzati e pochi elettroni sono disponibili per Compton o Bremsstrahlung. Una formula analitica approssimata dà : =1/2 , =4 A valori intermedi di Temperatura  ha un picco quando l’assorbimento legato-libero e il Bremsstrahlung sono importanti e poi diminuisce.

Modelli stellari omologhi Il set di equazioni di struttura stellare in funzione della massa m sono: Con condizioni al contorno: R=0, L=0 at M=0 =0, T=0 at M=Ms Possiamo aggiungere adesso 3 relazioni addizionali per P, ,  nell’ipotesi che il materiale della stella si comporti come un gas ideale con pressione di radiazione trascurabile e leggi di potenza per l’opacità e la produzine di energia. Dove , ,  sono costanti e 0 e 0 sono costanti che dipendono dalla composizione chimica.

Modelli omologhi L’obiettivo è quello di formulare le equazioni di struttura stellare in modo tale da essere indipendenti dalla massa della stella MS. Definiamo m=M / Ms e assumiamo che Dove a1, a2, a3, a4, a5, sono costanti e r, , L, T, P sono funzioni del solo rapporto di mass m Ad esempio la luminosità in funzione di m

Se sostituiamo le 5 precedenti equazioni nelle equazioni di struttura stellare e imponiamo la condizione che le risultanti equazioni siano indipendenti da MS otteniamo: 1) 5 equazioni per le 5 costanti a1, a2, a3, a4, a5. 2) equazioni di struttura indipendenti da MS Queste equazioni possono essere risolte per tutti I valori (ragionevoli) di , ,  . La soluzione generale è complessa ma ci sono delle soluzioni particolari più semplici. Le equazioni di struttura diventano: Queste equazioni possono essere risolte al computer per calcolare r*, *, L*, T* e P* da cui poi si ricavano r, , L, T e P per una stella di massa MS r*=0, L*=0 at m=0 *=0, T*=0 at m=1 Con condizioni al contorno:

Modelli stellari omologhi. Senza risolvere completamente le equazioni di struttura stellare omologhe, è possibile derivare relazioni massa-luminosità per stelle di sequenza principale e anche una semplice relazione luminosità-temperatura effettiva. Queste possono essere confrontate con le osservazioni. Relazioni M-L e L-Te : Dalla definizione di equazioni omologhe si ottiene immediatamente che:

Inoltre sappiamo che la luminosità e la Te sono legate al raggio della stella dalla equazione: Se combiniamo questa equazione con Si ottiene: Infatti: Le stelle si trovano quindi nel diagramma HR con una relazione del tipo logLs – logTe che può essere identificata con la sequenza principale.

I modelli omologhi prevedono quindi che la relazione massa luminosità sia del tipo legge di potenza e che esiste una struttura nel diagramma HR dove si trovano le stelle in seuqneza principale. Tuttavia, dobbiamo confrontare le predizioni teoriche del modello con I dati osservativi. Bisogna quindi risolvere le 5 equazioni: Per l’opacità, per temperature intermedie si ha che =1 e =-3.5 mentre una approssimazione ragionevole per la produzione di energia dalla catena PP è data da: =4.

Allora: Sostituendo =1, =-3.5 e =4 nelle equazioni algebriche precedenti si ottiene: RIsolvendo queste equazioni di ottiene:

Se sostituiamo questi risultati nelle equazioni per M-L e L-Te otteniamo: La relazione Massa-Luminosità osservata non è una semplice legge di potenza, ma nella parte centrale, approx. intorno ad una massa solare, in effetti può essere vista come una legge di potenza con esponente di circa 5. Questo è in buon accordo con le previsioni del modello. Allo stesso modo la parte bassa della sequenza principale nel diagramma HR per L-Te è ben rappresentata da una legge di potenza con esponente pari a circa 4.1. In definitiva, abbiamo verificato teoricamente le relazione osservativa tra Massa e Luminosità per stelle di sequenza principale e, in particolare, l’esistenza di una sequenza principale.

Conclusioni: Con delle scelte opportune della: 1) Equazione di stato per il gas stellare 2) Opacità Introducendo inoltre l’ipotesi che le equazioni siano scalabili con la massa della stella Ms si sono ottenute le equazioni omologhe di struttura stellare. Queste hanno portato a delle relazioni Massa-Luminosità e Massa-Temperatura efficace che sono in buon accordo con le osservazioni per stelle di tipo solare.