Process synchronization Operating System La Ricorsione Marco D. Santambrogio – marco.santambrogio@polimi.it Ver. aggiornata al 6 Marzo 2016 © 2005 William Fornaciari

L’induzione matematica Si usa nelle definizioni e nelle dimostrazioni Definizione: numeri pari 1) 0 è un numero pari 2) se n è un numero pari anche n+2 è un numero pari Dimostrazione: dimostro che (2n)2=4n2 (distributività della potenza di 2 risp. alla moltiplicazione) 1) n=1 : vero 2) suppongo sia vero per k, lo dimostro per k+1: (2(k+1))2=(2k+2)2=(2k)2+8k+4= (per hp di induzione) 4k2 +8k+4 = 4(k2 +2k+1) = 4(k+1)2 1) è il passo base, 2) è il passo di induzione

Il tacchino induttivista Un tacchino induttivista viene allevato in una fattoria del Maine (USA) Ogni giorno alle 7am Mr Jones porta il cibo al tacchino induttivista Il tacchino segue il seguente ragionamento: Il giorno 1 Mr Jones mi ha portato il cibo @ 7am Ieri era il giorno “n” e Mr Jones mi ha portato il cibo @ 7am Oggi è il giorno “n+1” ed il cibo è arrivato Tutti i giorni @l 7am Mr Jones mi porterà il cibo … Thanksgiving

Iterazione e ricorsione Sono i due concetti informatici che nascono dal concetto di induzione

Iterazione L’iterazione si realizza mediante la tecnica del ciclo Il calcolo del fattoriale: 0!=1 n!=n(n-1)(n-2)….1 (realizzo un ciclo)

La ricorsione: definizione Dal latino re-currere ricorrere, fare ripetutamente la stessa azione In informatica: si tratta di procedure/funzioni che richiamano se stesse Il concetto di ricorsione viene usato nel contesto di: algoritmi strutture dati

Scopo della programmazione ricorsiva Lo scopo è quelo di risolvere un problema facendo riferimento allo stesso problma su scala ridotta La condizione di terminazione avviene quando si identifica uno o più casi semplici con soluzione immediata La struttura di un algoritmo ricorsivo è il seguente if (è il caso semplice) risolvilo else usa la ricorsione su dati ridotti

La ricorsione: che cos’è? Ricorsione indiretta: Un sottoprogramma P chiama un sottoprogramma Q Q a sua volta chiama un terzo R, … R chiama nuovamente P Ricorsione diretta Un sottoprogramma P chiama se stesso durante la propria esecuzione

Un esempio classico Individuare, in un gruppo di palline l’unica pallina di peso maggiore delle altre facendo uso di una bilancia “a basculla” Per semplicità: il numero di palline sia una potenza di 3 Algoritmo Pesate: Se il gruppo di palline consiste in una sola pallina, allora essa è banalmente la pallina cercata, altrimenti procedi come segue. Dividi il gruppo di palline in tre e confronta due dei tre sottogruppi. Se i due gruppi risultano di peso uguale scarta entrambi, altrimenti scarta il gruppo non pesato e quello risultato di peso minore. Applica l’algoritmo Pesate al gruppo rimanente.

Altri esempi di ricorsione La sommatoria di una sequenza di numeri Fattoriale: In arte e non solo… Fact(n)=n*Fact(n-1) Fact(0)=1

Il calcolo del fattoriale In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi minori o uguali di quel numero

Il main del fattoriale

Il fattoriale iterativo

Definizione ricorsiva del fattoriale 1) n!=1 se n=0 2) n!= n*(n-1)! se n>0 Riduce il calcolo a un calcolo più semplice Ha senso perché si basa sempre sul fattoriale del numero più piccolo, che io conosco Ha senso perché si arriva a un punto in cui non è più necessario riusare la def. 2) e invece si usa la 1) 1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione

Esempio di traccia Calcoliamo il fattoriale di 4: 4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4 3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3 2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2 1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1 0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo: il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1 il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2 il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6 il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè 4*6=24

Il fattoriale ricorsivo Calcolo del Fattoriale in modo ricorsivo: Fact(n)=n*Fact(n-1) Fact(0)=1 fat= FattRic(0) 1 fat= FattRic(1) 1 fat= FattRic(2) 2 fat= FattRic(3) 6 n = 3 main

Moltiplicazione Ideare un procedimento ricorsivo per calcolare il prodotto di due interi Nota: A*1=A; A*B = A + A*(B-1) int MulRic(int a, int b) { int ris; if (b == 1) ris = a; else ris = a + MulRic(a ,b–1); return ris; }

Fibonacci Leonardo Fibonacci Matematico italiano Compie numerosi viaggi e assimila le conoscenze matematiche del mondo arabo, Nel 1202 pubblica: il Liber abaci Con Liber abaci si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi il sistema decimale

Il problema dei “conigli” “Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.” L. Fibonacci da Liber Abaci

I numeri di Fibonacci Idea di base 1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1 2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1

Successione di Fibonacci Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2) Fib(0)=0; Fib(1)=1; int fibRic (int n) { int ris; if (n == 0) ris = 0; else if (n == 1) ris = 1; else ris = fibRic(n–1) + fibRic(n–2); return ris; }

Un problema interessante: La torre di Brahma

La leggenda Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso. E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla prima alla terza colonnina. Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo. Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.

Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B Le torri di Hanoi http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B (usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine

Le torri di Hanoi Scriveremo una funzione ricorsiva che prende come parametro il numero del disco più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5 come nel disegno) La funzione prenderà anche tre parametri che indicano: da quale asta vogliamo partire (source), a quale asta vogliamo arrivare (dest), l’altra asta, che possiamo usare come supporto temporaneo (spare).

L’idea di base Voglio spostare n anelli dal piolo sorgente, a quello destinazione, usando come appoggio il piolo ausiliario Devo quindi prima spostare n - 1 anelli dal sorgente all'ausiliario, usando come appoggio il piolo destinazione Poi sposto l'unico anello rimasto dal sorgente al piolo destinazione Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano sull'ausilliario all'anello destinazione..

L’uso della ricorsione Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione hanoi richiama se stessa, cioè effettua una chiamata ricorsiva, semplificando però il problema perché bisogna spostare un numero di anelli inferiore. In pratica, con la ricorsione il problema viene continuamente ridotto di complessità fino alla soluzione banale in cui rimane solo un anello, che viene semplicemente spostato nel piolo destinazione.

Le torri di Hanoi: strategia Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre C alla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta

Le torri di Hanoi: pseudocodice FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare): IF disk == 0, THEN: move disk from source to dest ELSE: MoveTower(disk - 1, source, spare, dest) /* (Passo 1) */ move disk from source to dest // /* (Passo 2) */ MoveTower(disk - 1, spare, dest, source) // /* (Passo 3) */ END IF Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi, seguiamo la procedura descritta per il disco 5.

Codice void hanoi(int n, int sorgente, int destinazione, int aux) { if (n==1) printf("Sposto da %d a %d.\n",sorgente, destinazione); else{ hanoi(n - 1, sorgente, aux, destinazione); hanoi(1, sorgente, destinazione, aux); hanoi(n - 1, aux, destinazione, sorgente); }

Esercizio: Massimo di un array Ideare un procedimento ricorsivo per calcolare il massimo di un array di interi Idea: max(vect[0 : N]) =max(vect[0],max(vect[1 : N])) int max(int *array, int n){ int maxs; if (n==1) return array[0]; /*Caso Array 1 elemento*/ if (n==2){ /*Caso Base*/ if (array[0]>array[1]) return array[0]; else return array[1]; } maxs = max(&array[1],n-1); /*Risolvi Problema Ridotto*/ if (array[0]>maxs)return array[0]; else return maxs;

Fonti per lo studio + Credits Introduzione alla programmazione in MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio Capitolo 4 Particolare attenzione al 4.5 Credits Prof. A. Morzenti Gianluca Palermo