Le Pierangiolate n. 10 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta Il Triangolo. O no?

Test di ingresso a Medicina ---- 2014 Il triangolo. O no? Test di ingresso a Medicina ---- 2014 PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11,14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi?

PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11,14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi? 1 2 3

{ a = numero di studenti iscritti ad un solo gruppo PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11,14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi? a = numero di studenti iscritti ad un solo gruppo b = numero di studenti iscritti a due gruppi c = numero di studenti iscritti a tre gruppi a = 15 { b = 10 a + 2b + 3c = 11 + 14 + 25 = 50 (somma pesata) 3c = 5 c = 5

appartenenza al gruppo PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11,14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi? ha 50 punti gruppi appartenenza al gruppo Alfa Beta = lo studente Caio è nel gruppo Alfa = (Caio, Alfa) Gamma studenti = ?

CORRISPONDENZA (o Relazione) fra insiemi. appartenenza al circolo (Caio, A) = lo studente Caio è nel gruppo Alfa gruppi Alfa Beta = lo studente Caio è nel gruppo Alfa = (Caio, Alfa) Gamma studenti = 30

cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico... (Caio, A) = lo studente Caio è nel gruppo Alfa corrispondenza = (x,y) = x dell’insieme1 è in corrispondenza con y dell’insieme2 insieme2 coppia ordinata insieme1

= A x B (prodotto cartesiano) cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico... La corrispondenza totale: tutto è in corrispondenza con tutto { (x,y) tali che x  A e y  B } = A x B (prodotto cartesiano) insieme2 = B insieme1 = A

= A x B (prodotto cartesiano) cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico... DEFINIZIONE In generale si chiama corrispondenza fra A e B un qualunque insieme del prodotto cartesiano A x B { (x,y) tali che x  A e y  B } = A x B (prodotto cartesiano) insieme2 = B insieme1 = A corrispondenza

ESEMPI di CORRISPONDENZE A = {studenti}, B = {gruppi}, C = {(x,y): lo studente x è nel gruppo y} A = {giocatori}, B = {squadre}, C = {(x,y): il giocatore x gioca nella squadra y} A = {uomini}, B = {donne}, C = {(x,y): x è sposato con y} A = {numeri reali} = B C = {(x,y): y è il quadrato di x} B C funzione f(x) = x2 ogni funzione è una corrispondenza A

DEFINIZIONE In generale si chiama corrispondenza fra A e B un qualunque insieme del prodotto cartesiano A x B A x B B (a,b) b p1 p2 a A p1 = prima proiezione p1(a,b) = a p2 = seconda proiezione p2(a,b) = b Nell’esercizio di partenza ogni coppia (a,b) corrisponde ad una tessera p1(a,b) = a è il nome sulla tessera p2(a,b) = b è il gruppo che ha stampato la tessera

inoltre  (fibre di p1) = 1·15 + 2·10 + 3·x (x = numero cercato) PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11,14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi? p2 p2 ha 3 fibre di 11, 14 e 25 elementi 25 p1 14 11 p1 ha 15 fibre con 1 elemento e 10 fibre con 2 elementi poiché  (fibre di p1) =  (fibre di p2) = (n. di elementi della corrispondenza) inoltre  (fibre di p1) = 1·15 + 2·10 + 3·x (x = numero cercato) allora 15 + 20 + 3·x = 50 da cui x = 5

Proprietà delle Proiezioni - iniettività e suriettività p2 ha 3 fibre di 11, 14 e 25 elementi 25 p1 14 11 p1 ha 15 fibre con 1 elemento e 10 fibre con 2 elementi A = {studenti}, B = {gruppo}, C = {(x,y): lo studente x è nel gruppo y} La proiezioni p1 NON è iniettiva perché ci sono studenti che hanno più di una tessera p1 è invece suriettiva perché ogni studente ha almeno una tessera Sappiamo che p2 è suriettiva ma non iniettiva In realtà sappiamo quanti elementi hanno le fibre di p2

In Informatica le corrispondenze sono DATABASE Un Database semplice è una tabella campi STUDENTI GRUPPI Giovanni Giovannoni Alfa Piera Pieroni Giuseppe Giusepponi Beta Caio Caioni Gamma Elisa Elisoni ... record E’ evidente che, da un punto di vista logico, il database a fianco contiene esattamente le informazioni della corrispondenza dell’esercizio di partenza.

linguaggio SQL STUDENTI CIRCOLI TABELLA studcirc Giovanni Giovannoni Alfa Piera Pieroni Giuseppe Giusepponi Beta Caio Caioni Gamma Elisa Elisoni ... TABELLA studcirc p2 p1 Lavorare sulle fibre in Informatica corrisponde a fare delle QUERY p1-1(Giuseppe Giusepponi) p2(p1-1(Giuseppe Giusepponi)) SELECT DISTINCTROW FROM studcirc WHERE studcirc.studenti = ‘’Giuseppe Giusepponi’’ SELECT studcirc.gruppi FROM studcirc WHERE studcirc.studenti = ‘’Giuseppe Giusepponi’’ linguaggio SQL

CORRISPONDENZA TABELLA MATRICE CIRCOLI p2 p1 Alfa Beta Gamma STUDENTI Giovanni Giovannoni Alfa Piera Pieroni Giuseppe Giusepponi Beta Caio Caioni Gamma Elisa Elisoni ... p2 p1 Gruppi Alfa Beta Gamma STUDENTI Giovanni Giovannoni Piera Pieroni Giuseppe Giusepponi Caio Caioni Elisa Elisoni 1 CIRCOLI

cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico... (Caio, Alfa) = lo studente Caio è nel gruppo Alfa corrispondenza = (x,y) = x dell’insieme1 è in corrispondenza con y dell’insieme2 insieme2 coppia ordinata insieme1

cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico... ORARIO (Lun 8.30-9.30, 3B, Giusepponi) = il lunedi’ dalle 8.30 alle 9.30 nella 3B fa lezione il prof. Giusepponi = (x,y,z) insieme2 classe p2 tripla ordinata p3 p1 insieme3 prof insieme1 giorno/ora

CORRISPONDENZA TABELLA nessuna delle tre proiezioni è iniettiva... p2 GIORNO/ORA CLASSE PROF Lun 8.30-9.30 3B Giuseppe Giusepponi Mar 10.30-11.30 1C Piera Pieroni ... nessuna delle tre proiezioni è iniettiva... p2 classe p3 p1 prof giorno/ora

CORRISPONDENZA TABELLA p2 x p3 non è iniettiva ... ... ma p1 x p3 lo è GIORNO/ORA CLASSE PROF Lun 8.30-9.30 3B Giuseppe Giusepponi Mar 10.30-11.30 1C Piera Pieroni ... p2 x p3 non è iniettiva ... ... ma p1 x p3 lo è classe p2 x p3 prof giorno/ora p1 x p3

CORRISPONDENZA TABELLA MATRICE CIRCOLI GIORNO/ORA CLASSE PROF Lun 8.30-9.30 3B Giuseppe Giusepponi Mar 10.30-11.30 1C Piera Pieroni ... CLASSE 1B 3B 1C 2A 3A GIORNO/ORA Lun 8.30-9.30 Mar 10.30-11.30 1 Giusepponi 1 CIRCOLI Pieroni

matrice tridimensionale = TENSORE CORRISPONDENZA TABELLA MATRICE corrispondenza tridimensionale matrice tridimensionale = TENSORE Joseph Sylvester 1814-1897 i tensori si applicano allo studio delle corrispondenze big data filogenetica Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e Scienze Matematiche Università di Siena 1240 reti neurali onde gravitazionali

ogni elemento della corrispondenza è un triangolo

ogni elemento della corrispondenza è un triangolo Cosa è un triangolo? TRIANGOLO: figura piana delimitata da tre lati trilatero? TRIANGOLO: figura piana delimitata da tre angoli cioè da tre vertici A A B C B C

triangolo = tre punti del piano A B C triangolo = terna di punti del piano = elemento dell’insieme (piano) x (piano) x (piano) CI SONO DUE PROBLEMI IN QUESTA DEFINIZIONE

triangolo = terna di punti del piano PRIMO PROBLEMA gli elementi di (piano) x (piano) x (piano) sono terne ordinate A (A, B, C) (A, C, B) B C (B, C, A) ecc. una relazione R in A x A è SIMMETRICA se (a,b)  R implica (b,a)  R una relazione R in A x A x A è SIMMETRICA se ... se (a,b,c)  R implica che ogni permutazione della terna sta ancora in R un triangolo è una terna di punti, a meno di simmetria.

un triangolo è una terna di punti, a meno di simmetria. (piano) x (piano) x (piano) { triangoli } NON è iniettiva poco male: in Geometria si studiano i triangoli a meno di congruenze A A B B C A C C B

triangolo = terna di punti del piano SECONDO PROBLEMA (piano) x (piano) x (piano) { triangoli } è BEN definita? A (A, B, C) B C (A, B, C) allineati A ? B C triangolo degenere triangolo = terna di punti del piano, non allineati?

triangolo = terna di punti del piano, non allineati? (piano) x (piano) x (piano) { triangoli } è BEN definita? A B C A B C A B C A B C

triangolo = terna di punti del piano, non allineati? (piano) x (piano) x (piano) { triangoli } è BEN definita? w v w v C v + w B C w v + w w v A A v B triangolo = terna di punti del piano

la somma degli angoli di un triangolo = terna di punti del piano eventualmente allineati PROBLEMA: quali risultati sui triangoli «normali» continuano continuano a valere per triangoli «degeneri»? (cioè triangoli definiti da 3 punti allineati?) la somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi OK! A B C

distanza di A dalla retta BC triangolo = terna di punti del piano eventualmente allineati PROBLEMA: quali risultati sui triangoli «normali» continuano continuano a valere per triangoli «degeneri»? (cioè triangoli definiti da 3 punti allineati?)   segmento BC distanza di A dalla retta BC A B C OK!

triangolo = terna di punti del piano eventualmente allineati PROBLEMA: quali risultati sui triangoli «normali» continuano continuano a valere per triangoli «degeneri»? (cioè triangoli definiti da 3 punti allineati?) CRITERI di UGUAGLIANZA CONGRUENZA primo criterio: due triangoli con i tre lati uguali sono congruenti OK! secondo criterio: due triangoli che hanno uguali due lati e l’angolo fra essi compreso sono congruenti. OK! terzo criterio: due triangoli che hanno uguali due angoli e il lato fra essi compreso sono congruenti. ??? A B C

triangolo = terna di punti del piano eventualmente allineati PROBLEMA: quali risultati sui triangoli «normali» continuano continuano a valere per triangoli «degeneri»? (cioè triangoli definiti da 3 punti allineati?) CRITERI di UGUAGLIANZA CONGRUENZA terzo criterio: due triangoli che hanno uguali due angoli e il lato fra essi compreso sono congruenti. FALSO A A B C B C non sono congruenti, perché hanno lati diversi.

terzo criterio: due triangoli che hanno uguali due angoli e il lato fra essi compreso sono congruenti. FALSO Il motivo è da ricercare nel fatto che la dimostrazione fallisce. A D B C E F A A=D è il punto di intersezione dei due rimanenti lati B=E C=F A D B C E F A? B=E C=F

triangolo = terna di punti del piano eventualmente allineati C’E’ DI PEGGIO! triangolo (A, A, C)? A=B C area = (base) x (altezza) / 2 angolo ACB = 0 angolo in CAB = ? angolo CBA = ? B C B C A A A A A A

B C B C A A A A A A A=B C angolo in CAB + angolo CBA + angolo BCA = 180 come risolvere il problema?

Siccome gli angoli in CAB e CBA sono INDEFINITI, il loro valore LO SCEGLIAMO NOI! Purché la somma sia 180 ricorrendo alle corrispondenze triangolo = terna di punti del piano PIU’ una terna di numeri (i suoi angoli), la cui somma è 180. NB la terna di numeri è univocamente determinata, tranne il caso in cui A=B

triangolo = terna di punti del piano PIU’ una terna di numeri (i suoi angoli), la cui somma è 180. in generale, una volta stabiliti i tre vertici del triangolo, i valori dei tre angoli sono univocamente determinati. A B C ma ciò non è più vero per i triangoli degeneri. A=B C

triangolo = terna di punti del piano PIU’ una terna di numeri (i suoi angoli), la cui somma è 180. A triangolo (A,B,C,60,90,30) B C triangolo (A,B,C,60,120,0) A=B C triangolo (A,B,C,90,90,0) A=B C il secondo e il terzo sono DIVERSI

COMPATTIFICAZIONE insieme dei triangoli terne di punti somma = 180 t pezzetto di bordo = triangoli con due vertici coincidenti (A,B,C,30,90,60) terne di numeri terne di punti (mod simmetria) (A,B,C) (A,A,C) t = (30,60,90) COMPATTIFICAZIONE

triangolo = terna di punti del piano e terna degli angoli CRITERI di CONGRUENZA devono essere uguali anche gli angoli primo criterio: due triangoli con i tre lati uguali sono congruenti OK! secondo criterio: due triangoli che hanno uguali due lati e l’angolo fra essi compreso sono congruenti. A=B C (A,A,C,60,120,0) (A,A,C,90,90,0) NO!

triangolo = terna di punti del piano e terna degli angoli e se prendo come terna di punti (A, A, A)? A=B=C stavolta posso scegliere DUE angoli! A A B C B C insieme dei triangoli bordo del bordo

Grazie per l’attenzione