Il cilindro DEFINIZIONE. Si dice cilindro il solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati. Analizzando la figura rileviamo che: il lato AD attorno al quale ruota il rettangolo rappresenta l’asse di rotazione e costituisce l’altezza del cilindro; il lato BC, opposto a quello di rotazione, genera una superficie detta superficie laterale del cilindro; la rotazione dei lati AB e CD genera due cerchi che costituiscono le due superfici di base del cilindro (o semplicemente basi); tali lati rappresentano i raggi delle basi. I solidi di rotazione

L’area delle superfici del cilindro REGOLA. L’area della superficie laterale del cilindro è data dal prodotto della lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’altezza. Ricordando che avremo: I solidi di rotazione

L’area delle superfici del cilindro REGOLA. L’area della superficie totale del cilindro è data dalla somma dell’area della superficie laterale con l’area delle due basi. In simboli: Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse: I solidi di rotazione

Il volume del cilindro REGOLA. Il volume del cilindro è dato dal prodotto dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza. In simboli: Essendo possiamo scrivere: Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse: I solidi di rotazione

Il cono DEFINIZIONE. Si dice cono il solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti. Analizzando la figura rileviamo che: il cateto VO attorno al quale ruota il triangolo è l’asse di rotazione e rappresenta l’altezza del cono; l’ipotenusa VA genera una superficie detta superficie laterale del cono e rappresenta l’apotema del cono; l’altro cateto OA genera un cerchio che costituisce la superficie di base del cono e rappresenta il raggio del cono. I solidi di rotazione

L’area delle superfici del cono Per ottenere lo sviluppo del cono, bisogna tagliarlo lungo l’apotema e la circonferenza di base. REGOLA. L’area della superficie laterale del cono è data dal prodotto della lunghezza della semicirconferenza di base per la misura dell’apotema. In simboli: Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse: I solidi di rotazione

L’area delle superfici del cono REGOLA. L’area della superficie totale del cono è data dalla somma dell’area della superficie laterale con l’area di base. In simboli: Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse: I solidi di rotazione

Il volume del cono PROPRIETÀ. Un cono è equivalente ad un terzo di un cilindro avente il raggio di base e l’altezza congruenti. REGOLA. Il volume del cono è dato dalla terza parte del prodotto dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza. In simboli: Essendo possiamo anche scrivere: Da quest’ultima formula possiamo ricavare le due formule inverse: I solidi di rotazione

La sfera DEFINIZIONE. Si dice sfera il solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro. Il raggio e il centro del semicerchio sono anche il raggio e il centro della sfera. DEFINIZIONE. Si dice superficie sferica l’insieme di tutti i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto centro. I solidi di rotazione

Le posizioni reciproche di un piano e una sfera Un piano rispetto a una sfera di centro O e raggio r può essere: Esterno se non ha alcun punto in comune con la sfera. Tangente se ha un solo punto in comune con la sfera. Secante se l’intersezione tra piano e sfera è costituita da un cerchio. Se il piano secante α passa per il centro della sfera esso viene detto piano diametrale e la sua intersezione con la sfera è un cerchio cha ha lo stesso centro O e lo stesso raggio r della sfera e viene denominato cerchio massimo. I solidi di rotazione

L’area della superficie sferica TEOREMA. L’area della superficie sferica è uguale all’area della superficie laterale del cilindro equilatero ad essa circoscritto. Poiché l’area della superficie laterale di un cilindro equilatero è data dalla formula Al = 4  π  r , possiamo enunciare la seguente REGOLA. L’area della superficie sferica è uguale a quattro volte l’area di un suo cerchio massimo. In simboli: Da questa formula possiamo ricavare la formula inversa: I solidi di rotazione

Il volume della sfera TEOREMA. La sfera è equivalente ad un cono avente l’altezza congruente al raggio della sfera e il raggio di base congruente al diametro della sfera. Vale quindi la seguente: REGOLA. Il volume della sfera è uguale al prodotto dei di π per il cubo della misura del raggio. In simboli: Da questa formula possiamo ricavare la formula inversa: I solidi di rotazione

Altri solidi di rotazione Rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno all’ipotenusa Rotazione completa di un triangolo isoscele attorno alla base Rotazione completa di un triangolo ottusangolo attorno al lato adiacente all’angolo ottuso I solidi di rotazione

Altri solidi di rotazione Rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno alla base maggiore Rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno alla base minore I solidi di rotazione

Altri solidi di rotazione Rotazione completa di un trapezio isoscele attorno alla base maggiore Rotazione completa di un trapezio isoscele attorno alla base minore I solidi di rotazione