Parte VI: Cenni sulla meccanica dei Corpi rigidi* Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte VI: Cenni sulla meccanica dei Corpi rigidi* Centro di massa Momento di Inerzia Momento angolare e sua conservazione Momento della forza Rotolamento Equilibrio *: Nel corso di Meccanica Razionale si avrà una trattazione completa ed accurata

Il Centro di Massa Un corpo rigido è un modello, ovvero un sistema fisico idealizzato che non esiste in linea di principio, ma che consente di comprendere i meccanismi di moto dei corpi estesi con un’ottima approssimazione in molti casi Un corpo rigido è definito come un corpo le cui parti non sono mai in moto relativo In pratica questa assunzione consente di congelare tutti i gradi di libertà microscopici (p.es. le deformazioni ed i moti vibrazionali interni del corpo), permettendo lo studio dei soli gradi di libertà traslazionali e rotazionali del corpo Si può dimostrare che l’atto di moto di un corpo rigido è elicoidale, ovvero lo si può descrivere come la sovrapposizione di una traslazione ed una rotazione rispetto ad un qualche asse Il centro di massa è un punto del corpo che è rappresentativo delle traslazioni ed è definito come la media pesata rispetto alle masse delle coordinate delle particelle che costituiscono il corpo (definizione valida anche per corpi deformabili)

Il Momento di Inerzia Supponiamo che un corpo (p.es. una pallina ancorata ad un’asta inestensibile priva di massa) ruoti attorno ad un asse con velocità angolare istantanea w(t) R Calcoliamo l’ energia cinetica La quantità I è il momento d’inerzia

Supponiamo ora di avere un disco omogeneo che ruota attorno ad un asse passante per il suo centro (di massa) R Noi possiamo pensare il disco come l’insieme di tante particelle di massa Dmi, che ruotano tutte insieme (corpo rigido!). Ciò ci consente di calcolare l’energia cinetica di tutto il corpo

È possibile estendere questo ragionamento a corpi di qualunque forma, non omogenei ed anche per assi non passanti per il centro di massa Anche in questo caso l’energia cinetica del corpo può essere sempre definita in termini del momento d’inerzia, ma le quantità Ri assumono il significato di distanza delle masse dall’asse di rotazione

Significato del Momento d’Inerzia Anche un corpo rigido in rotazione deve permanere nel suo stato di quiete o di moto fino a che non interviene una causa che altera questo stato Nel caso delle rotazioni, però, due corpi di eguale massa totale, ma distribuita in maniera differente rispetto all’asse di rotazione oppongono una differente resistenza a tentativi di variare il loro stato di moto Mettere in rotazione un corpo la cui massa è distribuita lontano dall’asse di rotazione è certamente più difficile che mettere in moto un corpo la cui massa è concentrata vicino all’asse stesso Il momento d’inerzia è quindi una grandezza che misura l’inerzia di un corpo esteso in rotazione tenendo conto della possibile non omogenea distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione

Calcolo del Momento d’Inerzia Un semplice corpo rigido in rotazione è un manubrio costituito da due masse puntiformi m1 ed m2, collegate da un’asta di lunghezza L, rigida e priva di massa. m1 m2 L X Fissando l’origine di un sistema di assi in m1, si determina facilmente la posizione del centro di massa. Traslando l’origine da m1 al centro di massa si ottiene Consideriamo una rotazione il cui asse passi per il centro di massa, perpendicolarmente alla sbarretta. Il momento di inerzia sarà immediatamente dato da:

Sbarra omogenea di densità lineare l, lunghezza L, massa totale M: Xcm dx L Se l’asse di rotazione passa per un estremo Se la sbarra non è omogenea

Cilindro cavo omogeneo di densità di volume r, altezza h, massa totale M, raggi interno ed esterno R1 e R2, asse di rotazione= asse del cilindro: r r+dr dq rdrdq R1 R2

Cilindro pieno, asse centrale: Sfera cava, asse centrale: Sfera piena, asse centrale (R1=0): Guscio sferico privo di spessore, asse centrale:

Il teorema dell’asse parallelo Un corpo può ruotare rispetto a qualunque asse, non necessariamente passante per il suo centro di massa. Ciò può dar luogo a moti molto differenti. Si pensi ad una altalena, ovvero ad un hula-hop. È ovvio che cambiando l’asse di rotazione il momento di inerzia cambia Tuttavia è, come si è visto, molto più semplice il calcolo del momento di inerzia rispetto al centro di massa di un corpo, il punto più conveniente da scegliere come origine di un sistema di riferimento, se si vogliono studiare separatamente le traslazioni e le rotazioni Il teorema dell’asse parallelo afferma che il momento di inerzia rispetto ad un qualunque asse è legato al momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo e passante per il centro di massa dalla equazione dove d è la distanza fra i due assi e M la massa totale

Momento Angolare Così come il momento di inerzia è per le rotazioni l’analogo della massa per le traslazioni abbiamo bisogno di costruire una grandezza fisica analoga alla quantità di moto Si pensi ad un atleta lanciatore di martello: la massa del martello è praticamente concentrata nella sfera d’acciaio all’estremità del cavo. Ci vogliono atleti molto potenti e ben allenati per far roteare il martello, resistere alla grande forza centrifuga e scagliarlo fino oltre gli ottanta metri. I pesisti, atleti altrettanto forti e ben allenati, riescono a gettare il peso fino solo ad una ventina di metri. Nel caso del martello è evidentemente cruciale la distanza della sfera dal lanciatore, ovvero il raggio della traiettoria, ed è in generale evidente che nel caso in cui si volesse fermare un corpo in rotazione (ovvero alterarne il suo stato di moto) è più facile agire a distanze grandi dall’asse di rotazione. P.es. se vogliamo fermare un giradischi è più difficoltoso farlo applicando una forza vicina al centro che vicina al bordo del disco

Si definisce allora momento angolare di una massa puntiforme il prodotto vettoriale: Si noti che nel caso di moto circolare i vettori r e p sono tra loro perpendicolari, ma non sarebbe così se la traiettoria fosse un ellisse ovvero un’altra curva anche non chiusa Il momento angolare è, analogamente alla quantità di moto per le traslazioni, una misura dell’inerzia di un corpo in moto rotatorio Per un corpo esteso il momento angolare può essere calcolato come somma (o integrale) dei momenti angolari di tutte le sue particelle

La conservazione del Momento Angolare Non è difficile effettuare il seguente esperimento: seduti su una sedia girevole (ben oleata) teniamo sollevati due manubri da palestra e mettiamo in rotazione la sedia. w1 w2 L1 L2 Se portiamo i manubri vicino al corpo ci accorgiamo che la sedia gira più velocemente (la velocità angolare aumenta)

Anche i pattinatori sul ghiaccio per compiere le loro piroette si allungano o si raggruppano e ciò li fa ruotare più velocemente o lentamente Un altro esperimento: sempre seduti su uno sgabello girevole, mettiamo in rotazione una trottola: lo sgabello si metterà in rotazione con verso opposto a quello della trottola Una condizione basilare, affinché gli esperimenti descritti riescano è che le rotazioni dello sgabello possano avvenire con pochissimo attrito, ovvero che il sistema possa essere considerato isolato. Infatti, analogamente al principio di conservazione della quantità di moto, il principio di conservazione del momento angolare recita: Il momento angolare totale di un sistema fisico isolato si conserva Vedremo, p.es., che il moto dei pianeti attorno al sole descrive delle orbite piane (I legge di Keplero) e che aree uguali dell’orbita sono spazzate in tempi uguali (II legge di Keplero) come conseguenza di questo principio

Resta da vedere perché la velocità di rotazione aumenta se riduciamo il braccio Visto che la massa dei manubri non cambia, se si riduce la distanza delle masse dall’asse di rotazione, allora la velocità angolare deve aumentare per mantenere costante il modulo del momento angolare. Immaginando una massa puntiforme in rotazione Si noti poi che si può scrivere per i corpi estesi

Il momento della forza L’applicazione di una stessa forza su un corpo esteso (ovvero rigido) produce effetti diversi in dipendenza del punto in cui è applicata Se applichiamo una forza su una porta all’altezza della maniglia la porta ruoterà senza traslare. Se applichiamo una forza lateralmente su di un tavolo esso traslerà e ruoterà. In entrambi i casi le forze che ho applicato non sono le sole forze esterne, ma sui corpi agiscono anche le reazioni vincolari e gli attriti. Queste, tuttavia, non vengono applicate negli stessi punti dove applichiamo le forze esterne: nel caso della porta le reazioni vincolari si esercitano sui cardini, nel caso del tavolo l’attrito si esercita sui piedi del tavolo Pertanto nell’applicare una forza noi, spesso inconsciamente, valutiamo il punto di applicazione e la distanza di questo da eventuali assi di rotazione. Una grandezza utile per quantificare questi effetti è il momento della forza:

È facile rendersi conto che se la forza è la risultante delle forze esterne, ed il corpo è rigido, sulla base della II legge di Newton deve essere Nel caso semplice delle rotazioni piane dovrà essere Nell’ultime equazione a è l’accelerazione angolare. Questa legge, quindi, assume una forma molto simile alla II legge di Newton, con I ed a che giocano il ruolo della massa e della accelerazione

In realtà, e come già discusso prima, molto raramente su corpi estesi si agisce con una sola forza: in assenza di attriti e/o vincoli l’applicazione di una forza produrrebbe solo traslazioni. Spesso noi agiamo su corpi estesi con più di una forza. Una coppia di forze è un sistema di due forze uguali in modulo e direzione ma di verso opposto e che agiscono lungo due rette parallele. F2 r F1 L’effetto di questa coppia sarà una rotazione del corpo attorno ad un asse perpendicolare al piano individuato dalle forze (lo schermo). Calcoliamo il momento risultante: Il momento risultante della coppia è dato dal prodotto vettoriale del braccio per la forza

Rotolamento Il moto di rotolamento dei corpi è più di una semplice rotazione, poiché comporta contemporaneamente una traslazione (e.g. la ruota di un veicolo) Il moto di una ruota rispetto al proprio asse è una pura rotazione, ma rispetto ad un altro osservatore l’asse della ruota trasla Un corpo che rotola potrebbe anche strisciare. Noi studieremo ora i casi in cui i corpi rotolano senza strisciare. Tali moti sono la composizione del rotolamento, cioè una rotazione ed una contemporanea traslazione dell’asse di rotazione, e di una ulteriore traslazione del centro di massa. In assenza di strisciamento, la velocità dell’asse di rotazione è legata al raggio ed alla velocità angolare. Infatti se segniamo con della vernice fresca un punto sulla ruota e la facciamo rotolare rileveremo che i punti distano 2pR, che il tempo impiegato a fare un giro è T e quindi Questo significa che il moto della ruota può essere visto come una rotazione rigida attorno al punto di contatto con la strada

Energia del rotolamento Possiamo scrivere l’energia cinetica della ruota considerando la rotazione di un cerchio rigido attorno ad un asse che passa per il punto di contatto Il momento di inerzia al contatto si può calcolare mediante il teorema dell’asse parallelo rotazione Sostituendo traslazione Pertanto l’energia cinetica di un corpo che rotola è pari all’energia cinetica di rotazione attorno ad un asse che passa per il centro di massa più l’energia cinetica traslazionale del corpo come se tutta la sua massa fosse concentrata nel centro di massa

Dinamica del rotolamento Consideriamo un cilindro (massa M, raggio R) che rotola su uno scivolo di angolo q q Mgcosq Mgsinq N f Mg x y Si noti che senza la forza di attrito f (ignota) il cilindro scivolerebbe senza rotolare Dobbiamo quindi risolvere simultaneamente due equazioni del moto: la traslazione del centro di massa lungo x e la rotazione attorno all’asse del cilindro

Possiamo usare queste equazioni per eliminare f Possiamo usare queste equazioni per eliminare f. Inoltre possiamo esprimere la accelerazione lineare a in termini dell’accelerazione angolare a Si ottiene Si noti che la velocità e l’accelerazione non dipendono dalla forza di attrito f né dalla massa del cilindro Se il corpo ha lo stesso raggio R ma forma qualunque, e, quindi, momento di inerzia I, si otterrà

Problema: lo yo-yo. Un filo inestensibile, privo di massa è arrotolato attorno ad un corpo di raggio R, di massa M, momento di inerzia I, attorno al proprio asse. Il rocchetto viene lasciato cadere verticalmente reggendo un capo del filo. Calcolare la velocità del centro di massa dopo che si sarà srotolato un tratto h di filo. Analisi: il problema è analogo al cilindro che rotola, salvo che l’angolo q è retto. Tuttavia si può affrontare il problema in termini di energia meccanica: il rocchetto perde una energia potenziale U=Mgh per accrescere la sua energia cinetica che sarà: Ma nel rotolamento v=wR, quindi

Equilibrio Tutti i corpi materiali tendono a possedere la minima energia possibile Siccome l’energia cinetica è positiva, in presenza di energia potenziale, e cioè all’interno di campi di forze (e.g. la gravità), i corpi tendono a raggiungere i punti di minimo della energia potenziale. Per esempio un oscillatore tenderà a fermarsi nel punto di equilibrio che corrisponde al minimo dell’energia potenziale In tale punto la derivata dell’energia potenziale, cioè la forza esterna, sarà nulla. Si dice che un punto materiale è in equilibrio quando la somma di tutte le forze esterne è nulla Per un corpo esteso (p.es. rigido), però, non è affatto detto che non si muova se la somma (vettoriale) di tutte le forze agenti su di esso è nulla, perché se due di queste fossero una coppia la loro somma sarebbe nulla (il corpo non trasla!) ma non sarebbe nullo il momento totale (il corpo ruota!)

L’energia potenziale dell’oscillatore armonico è minima all’equilibrio

Per un corpo esteso si avrà l’equilibrio quando anche la somma di tutti i momenti è nulla Nel corso di Meccanica Razionale studierete che l’energia potenziale per corpi rigidi è in generale una complicata funzione delle coordinate ri ed anche degli angoli qi fra le direzioni delle forze ed i possibili bracci di rotazione. Si dimostrerà pure che