Iterazione Vs Ricorsione Process synchronization Operating System Iterazione Vs Ricorsione Marco D. Santambrogio – marco.santambrogio@polimi.it Ver. aggiornata al 13 Agosto 2014 © 2005 William Fornaciari

Obiettivi Induzione matematica Iterazione Cosa significa “ricorsivo” Iterazione Vs ricorsione

L’induzione matematica Si usa nelle definizioni e nelle dimostrazioni Definizione: numeri pari 1) 0 è un numero pari 2) se n è un numero pari anche n+2 è un numero pari Dimostrazione: dimostro che (2n)2=4n2 (distributività della potenza di 2 risp. alla moltiplicazione) 1) n=1 : vero 2) suppongo sia vero per k, lo dimostro per k+1: (2(k+1))2=(2k+2)2=(2k)2+8k+4= (per hp di induzione) 4k2 +8k+4 = 4(k2 +2k+1) = 4(k+1)2 1) è il passo base, 2) è il passo di induzione

Il tacchino induttivista Un tacchino induttivista viene allevato in una fattoria del Maine (USA) Ogni giorno alle 7am Mr Jones porta il cibo al tacchino induttivista Il tacchino segue il seguente ragionamento: Il giorno 1 Mr Jones mi ha portato il cibo @ 7am Ieri era il giorno “n” e Mr Jones mi ha portato il cibo @ 7am Oggi è il giorno “n+1” ed il cibo è arrivato Tutti i giorni @l 7am Mr Jones mi porterà il cibo … Thanksgiving

Iterazione e ricorsione Sono i due concetti informatici che nascono dal concetto di induzione

Iterazione L’iterazione si realizza mediante la tecnica del ciclo Il calcolo del fattoriale: 0!=1 n!=n(n-1)(n-2)….1 (realizzo un ciclo)

Iterazione Il calcolo del fattoriale mediante una tecnica iterativa: function [f]=fact(n) f=1; for i=1:n f=f*i; end

La ricorsione Dal latino re-currere ricorrere, fare ripetutamente la stessa azione In informatica: si tratta di procedure/funzioni che richiamano se stesse Il concetto di ricorsione viene usato nel contesto di: algoritmi strutture dati

“Flusso” di lavoro Il programmatore formula l’algoritmo dal generale al particolare Si descrivono la funzione sulla globalità dei dati in termini della funzione stessa sui dati disgregati L’algoritmo viene poi eseguito dal particolare al generale Vengono infatti lasciate in sospeso le operazioni globali e il calcolo vero e proprio inizia dai dati atomici

Definizione ricorsiva del fattoriale 1) n!=1 se n=0 2) n!= n*(n-1)! se n>0 riduce il calcolo a un calcolo più semplice ha senso perché si basa sempre sul fattoriale del numero più piccolo, che io conosco ha senso perché si arriva a un punto in cui non è più necessario riusare la def. 2) e invece si usa la 1) 1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione

Algoritmo ricorsivo per fattoriale function [f]=factRic(n) if (n==0) f=1; else f=n*factRic(n-1); end Quando si può dire che una ricorsione è ben definita? Informalmente: se ogni volta che applico la ricorsione sono significativamente più vicino al passo base, allora la definizione non è circolare.

Esempio di traccia Calcoliamo il fattoriale di 4: 4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4 3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3 2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2 1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1 0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo: il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1 il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2 il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6 il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè 4*6=24

Gestione a pila degli ambienti locali delle funzioni factRic n:1 f:.. factRic n:1 f:.. factRic n:2 f:.. factRic n:2 f:.. factRic n:2 f:.. factRic n:3 f:.. factRic n:3 f:.. factRic n:3 f:.. factRic factRic n:3 f:.. (1) (2) (3) (4) n:0 f:1 factRic n:1 f:.. factRic n:1 f:1 factRic n:2 f:.. factRic n:2 f:.. factRic n:2 f:2 factRic n:3 f:.. factRic n:3 f:.. factRic n:3 f:.. factRic n:3 f:6 factRic (5) (6) (7) (8) Ambienti locali gestiti in modo LIFO (Last In First Out) Cancellati in ordine inverso a quello un cui sono stati creati Si usa una struttura di dati detta PILA

Altri esempi di funzioni ricorsive I numeri di Fibonacci (dinamiche di popolazione) Il Massimo Comun Divisore (algoritmo di Euclide) Il problema delle torri di Hanoi

Fibonacci Leonardo Fibonacci Matematico italiano Compie numerosi viaggi e assimila le conoscenze matematiche del mondo arabo, Nel 1202 pubblica: il Liber abaci Con Liber abaci si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi il sistema decimale

Il problema dei “conigli” “Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.” L. Fibonacci da Liber Abaci

I numeri di Fibonacci Idea di base 1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1 2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1

I numeri di Fibonacci 1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1 2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1 Vengono usati per modellare la crescita di animali per diverse generazioni function [f]=fib (n) if n==1 | n==2 f = 1; else f = fib(n - 2) + fib(n - 1); end

Il MCD Definizione: 1) MCD(m,n)=m se m=n 2a) MCD(m,n)= MCD(m-n,n) se m>n 2b) MCD(m,n)=MCD(m,n-m) se n>m esempio: MCD(21,56) = MCD(21,35) = MCD(21,14)= = MCD(7,14) = MCD(7,7) = 7

IL MCD Iterativo: function [M]=MCDeuclid(m,n) while m ~= n if m>n m=m-n; else n=n-m; end M=m;

IL MCD Ricorsivo: Iterativo: function [M]=MCDeuclidRic(m,n) if m==n M=m; else if m>n M = MCDeuclidRic(m-n,n); else M = MCDeuclidRic(m,n-m); end Iterativo: function [M]=MCDeuclid(m,n) while m ~= n if m>n m=m-n; else n=n-m; end M=m; Attenzione alla condizione di terminazione!!!!! N.B. è sempre possibile trovare un corrispondente iterativo di un programma ricorsivo!!!

Pausa…

Un problema interessante: La torre di Brahma

La leggenda Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso. E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla prima alla terza colonnina. Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo. Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.

Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B Le torri di Hanoi http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B (usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine

Le torri di Hanoi Scriveremo una funzione ricorsiva che prende come parametro il numero del disco più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5 come nel disegno) La funzione prenderà anche tre parametri che indicano: da quale asta vogliamo partire (source), a quale asta vogliamo arrivare (dest), l’altra asta, che possiamo usare come supporto temporaneo (spare).

L’idea di base Voglio spostare n anelli dal piolo sorgente, a quello destinazione, usando come appoggio il piolo ausiliario Devo quindi prima spostare n - 1 anelli dal sorgente all'ausiliario, usando come appoggio il piolo destinazione Poi sposto l'unico anello rimasto dal sorgente al piolo destinazione Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano sull'ausilliario all'anello destinazione..

L’uso della ricorsione Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione hanoi richiama se stessa, cioè effettua una chiamata ricorsiva, semplificando però il problema perché bisogna spostare un numero di anelli inferiore. In pratica, con la ricorsione il problema viene continuamente ridotto di complessità fino alla soluzione banale in cui rimane solo un anello, che viene semplicemente spostato nel piolo destinazione.

Le torri di Hanoi: strategia Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre C alla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta

Le torri di Hanoi: pseudocodice FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare): IF disk == 0, THEN: move disk from source to dest ELSE: MoveTower(disk - 1, source, spare, dest) /* (Passo 1) */ move disk from source to dest // /* (Passo 2) */ MoveTower(disk - 1, spare, dest, source) // /* (Passo 3) */ END IF Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi, seguiamo la procedura descritta per il disco 5.

Soluzione in codice MATLAB con simulazione function []=hanoi(n, da, a, per) if (n>1) hanoi(n-1, da, per, a); end; fprintf('\n sposta un disco dal piolo %d al piolo %d \n', da, a); if (n>1) hanoi(n-1, per, a, da); end; hanoi(3, 1, 2, 3) hanoi(2, 1, 3, 2) hanoi(2, 3, 2, 1) hanoi(1, 1, 2, 3) hanoi(1, 2, 3, 1) hanoi(1, 3, 1, 2) >> hanoi(3, 1, 2, 3) sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 2 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 1 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 2 >>

Fonti per lo studio + Credits Introduzione alla programmazione in MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio Capitolo 4 Particolare attezione al 4.5 Credits Prof W. Fornaciari Prof. A. Morzenti