I modelli matematici entrano a scuola (competenze matematiche nei nuovi Istituti Tecnici) Maria Aceto

Obiettivo della tesi Proporre un percorso in continuità tra scuola media e primo biennio di un Istituto Tecnico.

La riforma della scuola superiore Licei: classico, scientifico, linguistico, scienze umane, musicale, artistico; Istituti Tecnici: economico e tecnologico; Istituti Professionali: servizi, industria e artigianato.

La nuova organizzazione degli Istituti Tecnici I dipartimenti: per l’aggiornamento dei percorsi di studio e supporto alla didattica; Un comitato tecnico-scientifico: per garantire l’innovazione degli istituti tecnici; Un ufficio tecnico: per organizzare il funzionamento dei laboratori e degli strumenti.

I nuovi settori degli Istituti Tecnici Settore economico Settore tecnologico Amministrazione, Finanza e Marketing Turismo Meccanica, Meccatronica ed Energia Trasporti e Logistica Elettrica ed Elettrotenica Informatica e Telecomunicazioni Grafica e Comunicazione Chimica, Materiali e Biotecnologie Sistema moda Agraria, Agroalimentare, Agroindustria Costruzioni, Ambiente e Territorio

La matematica nei nuovi Istituti Tecnici Per gli Istituti Tecnici il MIUR prescrive l’introduzione della modellizzazione matematica attraverso situazioni di vita ordinaria.

La matematica nei nuovi Istituti Tecnici Le competenze di base attese a conclusione del primo biennio sono: utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico rappresentandole anche sotto forma grafica; confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni; individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi;

La matematica nei nuovi Istituti Tecnici Le competenze di base attese a conclusione del primo biennio sono: analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico.

Obiettivo della tesi

Linearità Proporzionalità Allineamento con l’origine Se due classi di grandezze sono in proporzionalità diretta, allora le coppie di elementi corrispondenti individuano punti allineati con l’origine.

Linearità La costante di proporzionalità fra le classi rappresenta il coefficiente angolare della retta.

Linearità Punti allineati Differenze di coordinate in proporzione Assegnati punti allineati in un piano cartesiano, si dimostra che le classi delle differenze di coordinate omonime sono in proporzione

Linearità Attraverso l'equazione di una retta, ogni campionamento uniforme della variabile indipendente genera una progressione aritmetica. x 1 2 … y q m+q 2m+q Le immagini differiscono di una costante m. m è la ragione della progressione

Linearità Viceversa gli elementi di una progressione aritmetica generano punti allineati. Gli elementi della progressione aritmetica generano coppie di punti che giacciono sulla retta di supporto di equazione: sono punti allineati

Linearità I quattro concetti: proporzionalità (visione aritmetica), allineamento (visione geometrica), linearità (visione algebrica), progressioni aritmetiche (visione numerico-computazionale) sono equivalenti.

Introduzione alla modellizzazione matematica Il progetto della tesi è ispirato all’iniziativa Matematica&Realtà, è rivolto al primo biennio degli Istituti Tecnici e vuole essere un supporto innovativo per gli insegnanti, soprattutto per quanto riguarda l’introduzione alla modellizzazione.

Introduzione alla modellizzazione matematica Mondo matematico Mondo reale Costruzione del modello Studio del modello Analisi della problematica Validazione del modello

Esempio di modello lineare www.vodafone.it

Costruzione del modello t minuti di chiamate ricevute al mese; f(t) somma in euro riaccreditata da Vodafone.

minuti di chiamate da ricevere Equazione numerica Supponendo di ricaricare la scheda di 30 euro, quanto tempo di chiamate debbo accumulare affinché la Vodafone mi restituisca i 30 euro che ho speso? somma da riavere minuti di chiamate da ricevere 30 0.05t euro euro/minuto minuti

Equazione numerica minuti al mese minuti al giorno La funzione che descrive la somma a saldo (ovvero la differenza fra la spesa della ricarica e la somma riaccreditata da Vodafone) in funzione dei minuti di chiamate ricevute, è rappresentata dalla retta:

Equazione numerica Il punto di pareggio è lo zero dell'equazione.

Equazione parametrica Supponiamo ora di ricaricare r euro al mese. Se r>30 allora non posso essere rimborsata del tutto, perché al massimo la cifra riaccreditata raggiunge 30 euro. Se r<30 non solo riesco a equilibrare la spesa iniziale ma avrò del credito, questo vuol dire che il punto di pareggio è inferiore a 20 minuti al giorno di chiamate ricevute.

Equazione parametrica

Equazione parametrica La funzione somma a saldo è: Per trovare il punto di pareggio nel caso che r<30 e quindi t<600 min/mese, pongo entrate= uscite 0.05t= r

Equazione parametrica Al variare di r ho un fascio di rette parallele:

Modelli non lineari Il costo del biglietto Una compagnia di autotrasporti urbani sta valutando la convenienza di aumentare la tariffa di una tratta che attualmente ammonta ad 1 euro. A questo proposito ha commissionato una ricerca di mercato secondo la quale ogni incremento del biglietto di 10 centesimi comporterebbe la perdita di circa 200 utenti al giorno. Attualmente la compagnia trasporta in media 5000 passeggeri al giorno. Si vuole individuare quale sia il prezzo del biglietto che ottimizza gli incassi, tenendo conto che la compagnia dispone di biglietterie automatiche che accettano solo monete da 0.10,0.50,1,2 euro.

Costruzione del modello n è il numero degli incrementi di 10 centesimi, cioè n rappresenta le volte che aumento il prezzo del biglietto di 10 centesimi.

Costruzione del modello N° di incrementi Costo del biglietto N° di passeggeri n=1 1.10 euro 4800 n=2 1.20 euro 4600 … n 1 + n · 0.10 5000 – n · 200

Costruzione del modello Incasso = costo x passeggeri

Costruzione del modello Incasso = costo x passeggeri

Costruzione del modello Richiedo che il numero di passeggeri sia positivo: Per trovare l'incasso maggiore devo trovare il vertice della parabola:

Costruzione del modello Costo del biglietto Passeggeri Incasso 7 1.70 euro 3600 6120 8 1.80 euro 3400

Estensione del modello Per ogni aumento della tariffa di 10 centesimi si ha una perdita di p passeggeri. Costo del biglietto Passeggeri Incasso 1 + n · 0.10 5000 – n · p (1 + 0.10n)(5000 – np)

Estensione del modello Al variare del parametro p ottengo un fascio di parabole.

Estensione del modello L’ascissa del vertice: Per p=500, il vertice è V=(0,5000).

Estensione del modello Per p<500 l’ascissa del vertice è positiva:

Estensione del modello Per p>500 l’ascissa del vertice è negativa:

Estensione del modello Tenendo conto che l’intercetta I(0)=5000 rappresenta l’incasso attuale, dai grafici si deduce che: se p<500, l’incasso attuale può essere aumentato; se p=500, l’incasso attuale è già il massimo possibile; se p>500, non è conveniente aumentare la tariffa perché l’incasso diminuisce. Al variare di p decido se prendere la parte intera dell’ascissa del vertice oppure il suo successivo.

Conclusione Completare la proposta a tutto il ciclo scolastico; Sperimentare sul campo; Estendere il lavoro anche alle altre scuole.

Grazie per l'attenzione Conclusione Grazie per l'attenzione