LA GEOMETRIA NELLE PROVE INVALSI: un’analisi verticale Rossella Garuti 12 settembre 2011 Rossella Garuti

il piano delle rilevazioni SNV e PN 2010-2011 II primaria V primaria I secondaria di primo grado III sec. di I grado Prova Nazionale Rossella Garuti 12 settembre 2011 V secondaria di secondo grado II secondaria di secondo grado Noi siamo qui

Esiti delle rilevazioni Matematica: la struttura del Quadro di Riferimento Quadro di riferimento per la valutazione Quadri di riferimento per le valutazioni internazionali Quadro di riferimento per i curricoli Rossella Garuti 12 settembre 2011 Prassi scolastica Esiti delle rilevazioni precedenti

CONTENUTI OGGETTO DELLA VALUTAZIONE Struttura del Quadro di riferimento AMBITI PROCESSI Rossella Garuti 12 settembre 2011 CONTENUTI OGGETTO DELLA VALUTAZIONE COMPITI

Matematica: i contenuti Dalle Indicazioni per il curricolo 2007 Numeri Spazio e figure Relazioni e funzioni Misura dati e previsioni Rossella Garuti 12 settembre 2011

PROCESSI Conoscere e padroneggiare contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture ...) Conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico ...) Saper risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare e collegare informazioni utili, confrontare strategie di risoluzione, individuare schemi, esporre il procedimento risolutivo, ...) Conoscere e utilizzare diverse forme di rappresentazione e saper passare da una all'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, tabellare, ...) Rossella Garuti 12 settembre 2011

PROCESSI Riconoscere in contesto il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e saper utilizzare strumenti (stimare una misura, individuare l’unità di misura appropriata, …) Utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, interpretare una descrizione di un fenomeno con strumenti statistici o funzioni, costruire un modello ...) Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, …) Saper riconoscere le forme nello spazio (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni, …). Rossella Garuti 12 settembre 2011

ESEMPIO 1 SNV 2011 Classe 2 primaria AMBITO: Spazio e figure PROCESSO PREVALENTE : Sapere risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare e collegare le informazioni utili, confrontare strategie di soluzione, individuare schemi risolutivi di problemi come ad esempio sequenza di operazioni, esporre il procedimento risolutivo,…) OGGETTO DI VALUTAZIONE: Mappe, piantine e orientamento  COMPITO: Saper riconoscere, descrivere e confrontare un percorso dato Rossella Garuti 12 settembre 2011 Omiss A B C 0,4 54,1 34,9 10,6

ESEMPIO 2 SNV 2011 Classe 2 primaria AMBITO: Spazio e figure PROCESSO PREVALENTE : Conoscere e padroneggiare diverse forme di rappresentazione e sapere passare da una all'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, ...) OGGETTO DI VALUTAZIONE: Figure geometriche  COMPITO: Individuare relazioni topologiche (dentro fuori) Rossella Garuti 12 settembre 2011 Omiss A B C 1,8 21 56,7

La percentuale di risposte corrette 2011 (sul campione) CLASSE ITALIANO MATEMATICA II primaria 69,2 (0,31) 60,3 V primaria 73,1 (0,20) 68,4 (0,15) I sec. di I gr. 62,4 46,6 III sec. di I gr. 66,4 (0,46) 56,1 II sec. di II gr. 69,8 (0,26) 47,9 (0,32) Rossella Garuti 12 settembre 2011 * Fra parentesi l’errore standard

SPAZIO E FIGURE Rossella Garuti 12 settembre 2011

SPAZIO E FIGURE In generale le domande che mettono gli allievi in difficoltà sono quelle che riguardano l’ambito SPAZIO E FIGURE e, subito dopo, quelle di RELAZIONI E FUNZIONI . E’ una tendenza generale che trova riscontro anche nelle ricerche internazionali e in molti paesi dell’area OCSE. (dal rapporto nazionale A.S. 2010-2011 www.invalsi.it ) Rossella Garuti 12 settembre 2011

Quali domande sono andate peggio? SNV 2011 Liv. 2 Omiss A B C 0,8 15,5 18,1 65,6 corr err 4,4 29,2 66,4 Rossella Garuti 12 settembre 2011 8

Quali domande sono andate peggio? SNV 2011 Liv. 2 L’alunno deve interpretare la rappresentazione di un oggetto tridimensionale e immaginare l’evoluzione dello stesso oggetto con una variante posta. Oltre ad immaginare la soluzione il bambino deve porre attenzione alla domanda che chiede “quanti mattoncini in più” e non “quanti mattoncini in tutto” come facilmente l’alunno potrebbe essere indotto a pensare. Omiss A B C 0,8 15,5 18,1 65,6 corr err 4,4 29,2 66,4 Rossella Garuti 12 settembre 2011 8

SNV 2011 Liv. 5 Lo studente deve saper leggere uno strumento di misura (righello) e tener conto che in una parte della linea spezzata il righello non è posizionato sullo zero. Rossella Garuti 12 settembre 2011 Omissioni A B C D 0,3 6,5 14,3 40,5 38,3

SNV 2011 Liv. 6 L’uso degli strumenti (riga, compasso, ecc.) per disegnare figure piane è previsto fin dalla scuola primaria. Per rispondere correttamente lo studente deve aver usato il compasso per disegnare cerchi e sapere che l’apertura del compasso corrisponde al raggio del cerchio. Rossella Garuti 12 settembre 2011 Omissioni A B C D 0,2 9,7 39,3 26,4 24,3

SNV 2011 Liv. 6 Omiss A B C D 1,1 43,4 12,1 33,2 10,2 Lo studente deve cogliere che unendo i punti sulla cartina corrispondenti a Faro, Lisbona e Portoalegre si ottiene un triangolo e che quindi la distanza tra le due città sarà sicuramente minore di 370 km e maggiore di 50 km, in quanto in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. La risposta C implica una conoscenza di natura geometrica e non semplicemente la stima di una distanza Rossella Garuti 12 settembre 2011

SNV 2011 Liv. 6 180 ° Lo studente deve prima di tutto saper leggere l’ora su un orologio analogico e conoscere l’idea di angolo come rotazione 11:15 Rossella Garuti 12 settembre 2011 Omiss corretta errata 10,5 41,2 48,4 6,2 31 62,7

ESEMPI DALLE CLASSI Difficoltà sia con l’angolo di rotazione sia con la lettura dell’orologio Rossella Garuti 12 settembre 2011

PN 2011 Liv. 8 Lo studente deve misurare, eventualmente tracciandola, l’altezza relativa ad uno dei lati (si noti che in questo caso due delle altezze sono esterne al triangolo), e poi effettuare calcoli con numeri decimali. Rossella Garuti 12 settembre 2011 Omiss corretta errata 19,6 29,0 51,4 22 24,9 53,1

ESEMPI DALLE CLASSI La risposta è corretta, l’altezza disegnata è quella interna al triangolo Rossella Garuti 12 settembre 2011

Il segmento considerato NON è l’altezza del lato AB ESEMPI DALLE CLASSI Il segmento considerato NON è l’altezza del lato AB Rossella Garuti 12 settembre 2011

Lo studente moltiplica I due lati AB e AC ESEMPI DALLE CLASSI Lo studente moltiplica I due lati AB e AC Rossella Garuti 12 settembre 2011

Scatta il meccanismo “triangolo allora Pitagora” ESEMPI DALLE CLASSI Scatta il meccanismo “triangolo allora Pitagora” Rossella Garuti 12 settembre 2011

Scatta il meccanismo “triangolo alloraPitagora” ESEMPI DALLE CLASSI Su 120 fascicoli analizzati (5 classi) NESSUNO disegna e considera le altezze esterne al triangolo! Scatta il meccanismo “triangolo alloraPitagora” Rossella Garuti 12 settembre 2011

PN 2010 Liv. 8 La GIUSTIFICAZIONE deve fare necessariamente riferimento (anche molto schematico) sia a “AC=BD” sia a “AC=r” (anche molto semplicemente nella forma “AC=BD=r”). Non è necessario che venga motivato che “AC=BD” perchè diagonali di un rettangolo. Non si richiede un calcolo ma conoscenze di natura geometrica Rossella Garuti 12 settembre 2011 Omiss corr err 36,2 37,2 26,6 45,9 18,3 35,8

PN 2011 Liv. 8 NON è una domanda legata alla prassi didattica. Lo studente deve collegare due rappresentazioni diverse: la rappresentazione prospettica di un oggetto tridimensionale (armadio) e la rappresentazione dall’alto (piantina dell’aula) per individuare il punto di vista Rossella Garuti 12 settembre 2011 Omiss corr err 4,8 84,2 11,2

PN 2011 Liv. 8 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE come risultato di un movimento nello spazio Rossella Garuti 12 settembre 2011 Omiss A B C D 0,3 3,9 5,9 84,8 5,6

SNV 2011 Liv. 10 Omiss corr err 31,1 21,9 47 Lo studente deve applicare il teorema di Pitagora al triangolo ABC Rossella Garuti 12 settembre 2011

SNV 2011 Liv. 10 Omiss corr err 33,6 28,7 37,7 Rossella Garuti 12 settembre 2011 Per rispondere lo studente deve saper trovare l’area di un poligono utilizzando l’equiscomponibilità

NODI emergenti dall’analisi delle domande di SF difficoltà con gli strumenti della geometria. Compasso, righello, squadra, goniometro sono oggetti “strani”, poco praticati dagli studenti. Le costruzioni geometriche sono scomparse come le squadre e i compassi da lavagna. Forse nemmeno l’uso di software per la geometria è così diffuso! Rossella Garuti 12 settembre 2011

Il laboratorio di Matematica (Indicazioni per il Curricolo, 2007) Tutte le discipline dell’area hanno come elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico, sia come momento in cui l’alunni è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte,impara a raccogliere i dati e a confrontarli con le ipotesi formulate, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive. In tutte le discipline, inclusa la matematica,si avrà cura di ricorrere ad attività pratiche e sperimentali (…) con un carattere non episodico e inserendole in percorsi di conoscenza. Rossella Garuti 12 settembre 2011 32

Laboratorio in matematica (UMI-CIIM 2003) L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti. La costruzione di significati, nel laboratorio di matematica, è strettamente legata, da una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni tra le persone che si sviluppano durante l’esercizio di tali attività Rossella Garuti 12 settembre 2011 33

NODI emergenti dall’analisi delle domande di SF difficoltà con le conoscenze di NATURA GEOMETRICA. Sembra che la Geometria sia quasi esclusivamente calcolo di aree, perimetri e volumi. Gli aspetti “teorici” della geometria sono quasi assenti. Quindi gli studenti non hanno chiaro cosa fare quando si chiede di usare una conoscenza geometrica o di giustificare una risposta. Rossella Garuti 12 settembre 2011

NODI emergenti dall’analisi delle domande di SF difficoltà nella VISUALIZZAZIONE SPAZIALE. Passare da una rappresentazione bidimensionale ad una tridimensionale è spesso uno scoglio durissimo. Già dal 1979 con i programmi della scuola media si parlava di “La geometria prima rappresentazione del mondo fisico”. Le prove INVALSI mettono in luce che questo aspetto della geometria deve essere curato fin dai primi anni di scuola. Il “saper vedere” in geometria non è una dote “innata” va coltivata nel tempo. Rossella Garuti 12 settembre 2011

NODI emergenti dall’analisi delle domande di SF Un discorso a parte per la scuola secondaria di II grado I contenuti della prova INVALSI NON erano specifici del biennio delle superiori, ma tutti inerenti a contenuti specifici del primo ciclo: D3 Disuguaglianza triangolare D8 Teorema di Pitagora D9 caratteristiche e misure dei lati di un triangolo interno a un cubo D17 Asse di simmetria di un parallelogramma D18 Calcolo dell’area di un poligono tramite equiscomponibilità D30 Isometrie sul piano cartesiano Scelta dovuta al fatto che la prova era la stessa per tutti gli indirizzi e che le Indicazioni non erano ancora “operanti” Rossella Garuti 12 settembre 2011

A quest’anno si prevede di individuare: Un discorso a parte per la scuola secondaria di II grado A quest’anno si prevede di individuare: contenuti specifici per la geometria del biennio introdurre gradatamente semplici argomentazioni e dimostrazioni Rossella Garuti 12 settembre 2011

E per concludere…. “ So di dire cosa trita e ritrita affermando che il modo migliore di imparare la matematica [geometria compresa] è quello di farla concretamente prendendoci gusto” (G. Prodi, La matematica come scoperta, pag.3) Rossella Garuti 12 settembre 2011