Energia potenziale gravitazionale e principio di conservazione dell’energia

M Il campo gravitazionale è un sistema fisico che può compiere lavoro Consideriamo un campo gravitazionale a simmetria sferica, creato da una massa M M

M Consideriamo un campo a simmetria sferica, creato da una massa M Una massa mA, molto più piccola di M (mA << M), messa in un punto del campo, si sposta, «attratta» da M, seguendo una direzione radiale mA M sulla massa mA agisce il campo gravitazionale, attraverso una forza Il cui valore è dato da

M Il campo gravitazionale è un sistema fisico che può compiere lavoro; Esso è sede di una forza, quella gravitazionale, che agendo su una massa può produrre movimento mA M Questa forza agisce sulla massa mA Il suo valore è dato da

Calcolare il lavoro svolto dalla forza gravitazionale non è semplice perché la forza aumenta man mano che diminuisce la distanza d tra la massa M che crea il campo e quella mA che ne subisce l’azione La forza cambia punto per punto della traiettoria, aumentando in modo inversamente proporzionale al quadrato della distanza Quello che segue serve solamente a far capire, in modo molto approssimato, come si ricava la relazione che descrive il lavoro svolto dalla forza gravitazionale

M mA Il lavoro svolto è dato dalla relazione Lo spostamento s avviene lungo la direzione radiale indicata dalla distanza d

Lo spostamento s della massa mA avviene lungo la direzione radiale indicata dalla distanza d Lo spostamento s e la distanza d sono sostanzialmente «la stessa cosa» Quindi nell’espressione del lavoro svolto

Il lavoro è mA Al posto dello spostamento s mettiamo d quindi

Questa relazione rappresenta il lavoro svolto dal campo gravitazionale per portare la massa mA dall’infinito alla distanza d mA M Ma può anche rappresentare il lavoro svolto da una forza esterna, contro il campo gravitazionale, per portare la massa mA dalla distanza d all’infinito ATTENZIONE!!!: Parlare di lavoro svolto dal campo gravitazionale significa sottolineare che è il campo gravitazionale ad agire direttamente su mA e questa azione si manifesta attraverso l’azione della forza gravitazionale.

Lavoro svolto contro il campo gravitazionale

Lavoro svolto contro il campo gravitazionale

Lavoro svolto dal campo gravitazionale

Lavoro svolto dal campo gravitazionale

Lavoro svolto dal campo gravitazionale

Lavoro svolto contro il campo gravitazionale

Lavoro svolto contro il campo gravitazionale

Lavoro svolto dal campo gravitazionale

Lavoro svolto dal campo gravitazionale

Lavoro svolto contro il campo gravitazionale

Se la massa mA è costretta a stare alla distanza d da M, si dice che possiede energia potenziale gravitazionale che, eventualmente, si può trasformare in lavoro La massa mA messa alla distanza d, nel campo gravitazionale a simmetria sferica creato dalla massa M possiede un’energia potenziale gravitazionale (UG) descritta dalla relazione 𝑈 𝐺 =−𝐺 𝑀 𝑚 𝐴 𝑑

𝑳=−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 mA 𝑼 𝑮 =−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 M

GRAFICI DELLA FORZA gravitazionale E DELL’ ENERGIA POTENZIALE gravitazionale

GRAFICI DELLA FORZA gravitazionale E DELL’ ENERGIA POTENZIALE gravitazionale All’aumentare della distanza tra le cariche la forza diminuisce molto più velocemente dell’energia potenziale

GRAFICI DELLA FORZA gravitazionale E DELL’ ENERGIA POTENZIALE gravitazionale f(x) Matematicamente si tratta di funzioni diverse. Non tenendo conto del segno meno le due funzioni sono: x

Qual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa mA dal punto B al punto C? (B e C sono punti del campo gravitazionale creato da M) M . C . B mA

. C . B 𝑳 𝑪 =−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑪 M 𝑳 𝑩 =−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑩 Qual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa mA dal punto B al punto C? (B e C sono punti del campo gravitazionale creato da M) 𝑳 𝑪 =−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑪 M . C 𝑳 𝑩 =−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑩 . B 𝑳 𝑪𝑩 = 𝑳 𝑪 − 𝑳 𝑩 =−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑪 +𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑩 mA

. C . B 𝑳 𝑪𝑩 = 𝑳 𝑪 − 𝑳 𝑩 =−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑪 +𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑩 Qual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa mA dal punto B al punto C? (B e C sono punti del campo gravitazionale creato da M) 𝑳 𝑪𝑩 = 𝑳 𝑪 − 𝑳 𝑩 =−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑪 +𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑩 𝑳 𝑪𝑩 = 𝑳 𝑪 − 𝑳 𝑩 =−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑪 +𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑩 M Raccogliendo a fattore comune −𝑮𝑴 𝒎 𝑨 . C si ottiene: 𝑳 𝑪𝑩 =−𝑮𝑴 𝒎 𝑨 𝟏 𝒅 𝑪 − 𝟏 𝒅 𝑩 . B mA

. C . B 𝑳 𝑪𝑩 = 𝑼 𝑮 (𝑪)− 𝑼 𝑮 (𝑪)=−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑪 +𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑩 M Il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa mA dal punto B al punto C può essere considerato anche come differenza tra le energie potenziali nei punti B e C. 𝑳 𝑪𝑩 = 𝑼 𝑮 (𝑪)− 𝑼 𝑮 (𝑪)=−𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑪 +𝑮 𝑴 𝒎 𝑨 𝒅 𝑩 M 𝑳 𝑪𝑩 = 𝑼 𝑮 (𝑪)− 𝑼 𝑮 (𝑪)=−𝑮𝑴 𝒎 𝑨 𝟏 𝒅 𝑪 − 𝟏 𝒅 𝑩 . C . B 𝑳 𝑪𝑩 =Δ 𝑼 𝑮 =−𝑮𝑴 𝒎 𝑨 𝟏 𝒅 𝑪 − 𝟏 𝒅 𝑩 mA

In generale il lavoro svolto è sempre uguale alla variazione di energia potenziale 𝑳=Δ 𝑼 𝑮

SSuperfici equipotenziali M SSuperfici equipotenziali

Qual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa mA dal punto E al punto F? Si può dimostrare che il lavoro è identico a quello calcolato in precedenza per il lavoro dal punto B al punto C . F E M mA Le distanze dei punti E ed F dalla massa M che genera il campo sono identiche a quelle dei punti B ed C 𝑳 𝑬𝑭 =−𝑮𝑴 𝒎 𝑨 𝟏 𝒅 𝑬 − 𝟏 𝒅 𝑭

Un’altra proprietà del campo gravitazionale a simmetria sferica è che mA Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

. F . E M mA Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

. F . E M mA Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

. F . E M mA Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

. F . E M mA Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

. F . E M mA Se il percorso è chiuso il lavoro svolto dalla forza gravitazionale è ZERO!!!! IL CAMPO GRAVITAZIONALE E’ CONSERVATIVO

ATTENZIONE!!!! Il lavoro svolto effettivamente dalle forze del campo è solamente quello lungo i pezzi di traiettoria che coincidono con la direzione radiale e diretti verso la sorgente del campo M; In tutti gli altri pezzi ci deve essere (c’è) un’altra forza che agisce

In questi tratti il lavoro è svolto effettivamente dalle forze del campo gravitazionale mA In questi tratti il lavoro è svolto da altre forze ma non dalla forza gravitazionale