Teorema del Viriale e stato fisico del gas stellare

Pressione al centro di una stella: valore minimo E’ possibile ricavare il valore minimo della pressione al centro senza informazioni sulla composizione o stato fisico. Si dividono tra loro le eq. Si integra (Ms massa stella) Un limite superiore è: (Il raggio r < rs e quindi )

Quindi: Assumendo che la pressione sulla superficie della stella sia 0: Per il sole: Pc=4.5  1013 Nm-2 = 4.5  108 atm Si vedrà che queste non sono condizioni normali per un gas.

Teorema del Viriale: Come prima si prendono le due equazioni e si dividono tra loro: V è il volume contenuto entro il raggio r Si integra per parti l’espressione a destra: Si moltiplicano I due lati per 4r2 per 4r3 Si integra su tutta la stella: Con B(x) integrale del differenziale (B(x) è P in questo caso) Al centro Vc=0 e sulla superficie Ps=0

Quindi Il termine a destra è l’Energia potenziale gravitazionale della stella (energia rilasciata nel formare la stella con gas dall’infinito) Se indichiamo tale energia con - allora il teorema del Viriale diventa:

Temperatura minima di una stella: La pressione, di cui abbiamo ricavato un valore minimo, è una variabile importante sia nell’equazione di equilibrio idrostatico che nel teorema del Viriale. Quali sono I processi fisici che danno origine alla pressione all’interno di una stella? Pressione del gas Pg Pressione di radiazione Pr Si dimostra che all’interno di una stella Pr è trascurabile e P è dominata da Pg. Per farlo bisgna prima stimare la minima temperatura media di una stella Si parte da: Energia potenziale gravitazionale

Un limite superiore a tale energia è Ora dM=dV e il teorema del Viriale diventa: La pressione totale è data dalla somma di P = Pg +Pr Assumiamo che la stella sia composta da un gas ideale e che Pr sia trascuarbile Equazione di stato di un gas ideale

Quindi T – Utilizzando la diseguaglianza scritta in precedenza, otteniamo L’integrale a sinistra può essere pensato come la somma di tutte le Temperature di tutti gli elementi di massa dM all’interno della stella. We Allora la temperatura media della stella risulta:

Ad esempio per il sole si ha: H e’ l’elemento più abbondante elemento nelle stelle e per idrogeno completamente ionizzato m/mH=1/2 (ci sono due particelle, p + e–,per ciascun atomo di H). Inoltre per ogni altro elemento, m/mH è minore e quindi –  T > 2  106 K

Stato fisico del materiale stellare La densità media del sole può essere facilmente stimata come: L’energia cinetica dei gas in una stella è molto maggiore del potenziale di ionizzazione e quindi le particelle sono ionizzata: plasma. Può sopportare grandi pressioni pur comportandosi ancora come un gas perfetto. Un gas può considerarsi perfetto se la distanza media tra le particelle è molto maggiore delle loro dimensioni. La dimensione nucleare e’ 10-15 m confrontata con quella atomica di 10-10 m. Quindi il plasma si comporta come gas perfetto a temperature più elevate. T – Consideriamo ora la pressione di radiazione che può essere scritta come: con Dove a è la costante di radiazione

Confrontiamo la pressione del gas con la pressione di radiazione: Quindi la pressione di radiazione appare trascurabile nel sole. Alla fine, senza sapere l’origine dell’energia generata all0interno di una stella siamo stati in grado di derivare un valore medio della temperatura interna del Sole, calcolare che è composto da plasma ideale, e che la pressione di radiazione è trascurabile.

Dipendenza di Pr dalla massa stellare: La pressione di radiazione può tuttavia diventare importante per stelle di grande massa. Infatti se noi sostituiamo  con M/V otteniamo: Allora la Pr può diventare significativa ad alte temperature.