Equazioni di struttura stellare 1 e 2 Che cosa determina la struttura fisica delle stelle? Le stelle sono tenute assieme dalla gravità Il collasso è impedito dalla pressione termica interna Il bilanciamento tra queste due forze determina la struttura delle stelle La stella irradia energia nello spazio. Se le proprietà termiche sono costanti deve esserci una sorgente di energia. Una teoria per la struttura delle stelle deve descrive l’origine dell’energia e le leggi del trasporto dell’energia alla superifice. Facciamo le seguenti due approssimazioni: Assumiamo che le proprietà delle stelle siano costanti nel tempo. Assumiamo che le stelle siano sferiche e simmetriche rispetto al centro.

Per stelle isolate, statiche e a simmetria sferica ci sono 4 equazioni di base che descrivono la loro struttura (dipendenza solo radiale): Equazione di equilibrio idrostatico: per qulasiasi valore di r le forze di pressione bilanciano quelle di gravità. Conservazione della massa Conservazione dell’energia : per qualsiasi r la variazione nel flusso di energia è legato ad un cambiamento della produzione locale di energia. Equazione del trasporto radiativo : relazione tra il flusso di energia e il gradiente locale di temperatura. A queste equazioni bisogna aggiungere: Una equazione di stato L’opacità Il rate di produzione di energia nel core

Equilibrio idrostatico Il bilanciamento tra la forza di attrazione gravitazionale e la spinta idrostatica porta all’equilibrio idrostatico Massa dell’elemento m:  (r) =densità in r Bilanciamento delle forze nella direzione radiale: 1) Forza verso l’esterno dovuto alla pressione idrostatica 2) Forza verso l’interno combinazione della pressione idrostatica a r +  r e forza di gravità

Equazione dell’equilibrio idrostatico. All’equilibrio: Considerando un elemento infinitesimo: for r0 E quindi: Equazione dell’equilibrio idrostatico.

Equazione della conservazione della massa La massa M(r) contenuta entro un raggio r della stella è determinata dalla densità del gas ( r). Consideriamo un guscio sottile della stella di raggio interno r e esterno r+r. Il volume V è uguale a: Al limite per r  0

Accuratezza dell’equilibrio idrostatico Se le forze non si bilanciano allora ci sarà una accelerazione risultante a sull’elemento sr: Se indichiamo con g=GM(r)/r2 l’accelerazione di gravità, allora: Questa è l’equazione generalizzata dell’equilibrio idrostatico.

Td è il Temposcala Dinamico Supponiamo ci sia una forza risultante sull’elemento m che sia pari a una frazione  della forza gravitazionale. Di consegeunza c’e’ una accelerazione pari a: a = g e lo spostamento spazialein funzione del tempo risulta: Si puo’ ottenere un valore approssimato del tempo richiesto ad una stella per collassare: Che per 1 diventa Td è il Temposcala Dinamico

Quanto accurata è l’ipotesi di simmetria sferica? Le stelle ruotano e quindi risultano appiattite ai poli come I pianeti. Vogliamo ora stimare l’ammonstare di questo appiattimento (flattening). Consideriamo un elemento di massa m in prossimità della superficie di una stella di massa M e raggio r. La forza centripeta è data da: Se Allora l’ipotesi di simmetria sferica è buona.

Si può legare la precedente relazione a td: Dove =2/P con P periodo di rotazione della stella. Allora l’ipotesi di simmetria sferica è valida se P >> td. Per il sole td~2000s e P~1 mese. In conclusione: Per la maggior parte delle stelle si può ignorare l’asfericità.

Sommario Ci sono 4 equazioni di struttura stellare. Abbiamo considerato le prime due, i.e. quella del supporto idrostatico e quella di conservazione della massa. Abbiamo derivato il temposcala dinamico. Abbiamo dimostrato che è valida per la maggioranza delle stelle l’ipotesi di simmetria sferica.