I CRITERI DI SIMILITUDINE

Triangoli simili 2 triangoli con i 3 angoli rispettivamente congruenti e con i lati opposti agli angoli congruenti in proporzione si dicono simili. In 2 triangoli simili, si dicono omologhi gli angoli congruenti, i loro vertici e i lati opposti agli angoli congruenti. Il rapporto di 2 lati omologhi si dice rapporto di similitudine

APPLICAZIONI DELLE PROPRIETA’ DI SIMILITUDINE Si dice che nel quarto secolo a.C. Talete sapesse già applicare le proprietà della similitudine, si narra che mentre era in Egitto gli fu richiesto di determinare l’altezza di una piramide, ed egli ci riuscì osservando che l’ombra data dalla piramide e da un bastone, nello stesso momento, erano proporzionali alle rispettive altezze.

Egli era anche in grado di determinare la distanza di una nave dalla riva del mare. Ora vediamo un metodo con cui avrebbe potuto procedere. Indichiamo con A la posizione della nave, si misurano gli angoli β e γ essendo B e C due punti qualsiasi della riva. Poi si disegna un triangolo DEF simile a BCA. Si ottiene così AB:DF=BC:DE e AC:EF=BC:DE. Da queste proporzioni, note le misure del triangolo DEF e la misure di BC, è possibile determinare le lunghezze di AB e di AC. mare terra

la necessità di rappresentare il territorio era già sviluppata presso le grandi civiltà medio orientali :i primi abbozzi cartografici furono realizzati con incisioni su tavolette d'argilla. Testimonianze degne di menzione sono una tavoletta, trovata in Mesopotamia, databile intorno al 2400-2200 a.C., raffigurante i fiumi Tigri e Eufrate e la città di Nippur, l'antico centro culturale dei Sumeri, e il cosiddetto "mappamondo babilonese", proveniente da Uruk, che rappresenta la Terra come un cerchio circondato dall'acqua.

SIMILITUDINE USATA NELLE CARTE TOPOGRAFICHE Nelle piante degli edifici e nelle carte topografiche o geografiche il rapporto di similitudine prende il nome di scala: in una carta topografica nella scala da 1 a 10000, se la distanza fra due punti sulla carta vale 1 cm,la distanza tra i punti del terreno corrispondenti vale 10000 cm cioè 100m.

IL PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti IPOTESI: α≡α’; β≡β’ TESI: AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’ corollario: Una retta parallela a un lato di un triangolo stacca dal triangolo un triangolo simile a quello dato

CONSEGUENZE DEL PRIMO CRITERIO Tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro Due triangoli isosceli sono simili se hanno congruenti gli angoli alla base o ai vertici Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto rispettivamente congruente

SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE Due triangoli sono simili se hanno un angolo rispettivamente congruente compreso tra lati proporzionali Ipotesi: α≡α’ AB:A’B’=AC:A’C’ Tesi:ABC~A’B’C’

TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali. Ipotesi: AB:A’B’=AC:A’C’=BC:B’C’ Tesi: ABC~A’B’C’

RIDUZIONI E INGRANDIMENTI Due figure sono simili se tra i loro punti si può porre una corrispondenza tale che se A e B sono 2 punti qualunque della prima figura e A’ B’ sono i punti corrispondenti della seconda il rapporto AB che sta ad A’B’ è costante al variare dei punti A e B. Tale rapporto si dice rapporto di similitudine .

Il concetto di similitudine si applica molto spesso nella produzione dei disegni. Se il rapporto di similitudine è uguale a uno la similitudine si riconduce alla congruenza. Se il rapporto è minore di uno la prima figura è una riduzione della seconda. se il rapporto di similitudine è maggiore di uno la prima figura è un ingrandimento della seconda. Il rapporto di similitudine in questi casi si chiama scala. Se si tratta di una riduzione la scala di solito si indica con una frazione con numeratore uguale a uno

BASI ED ALTEZZE INTRIANGOLI SIMILI In triangoli simili le basi stanno tra loro come le loro rispettive altezze

POLIGONI SIMILI Due poligoni con uguale numeri di lati si dicono simili se è possibile stabilire una corrispondenza tra i loro vertici tale che 1)Gli angoli corrispondenti sono congruenti 2)Le coppie di lati che comprendono angoli corrispondenti sono proporzionali

Perimetri di poligoni simili I perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati omologhi. Se due poligoni ABCD e A’B’C’D’ sono simili ogni lato del primo poligono è proporzionale all’omologo del secondo. Quindi ABCD : A’B’C’D’= AB:A’B’

AREE DEI TRIANGOLI SIMILI 2 triangoli simili stanno tra loro come i quadrati di 2 lati omologhi IPOTESI: ABC~A’B’C’ TESI: ABC:A’B’C’=q(BC):q(B’C’)

AREE DI POLIGONI SIMILI Due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi AREE DI POLIGONI SIMILI Conduciamo tutte le possibili diagonali dei poligoni ABCDE, A’B’C’D’E’ ottenendo tre triangoli per figura. AEB,A’B’E’,BEC,B’E’C’,CED,C’E’D’ AEB: A’B’E’ = q(BE): q(B’E’) per la proprietà transitiva dell’uguaglianza AEB:A’B’E’= BEC:B’E’C’ Analogamente possiamo dimostrare che BEC:B’E’C’ = CED:C’E’D’ Si ha così AEB:A’B’E’=BEC:B’E’C’=CED:C’E’D’ Per la proprietà del comporre (AEB+BEC+CED):(A’B’E’+B’E’C’+C’E’D’)=AEB:A ’B’E’ segue che ABCDE:A’B’C’E’D’= AEB:A’B’E’. AEB, A’B’E’ essendo simili stanno tra loro come i quadrati dei lati omologhi AB e A’B’ quindi ABCDE:A’B’C’D’E’= q(AB):q(A’B’) c.v.d