Reti Combinatorie E Algebra Di Boole 28/02/2019

Programma Funzioni di commutazione Espressioni e reti Algebra di commutazione Espressioni POS/SOP Reti all-NAND e all-NOR 28/02/2019

Funzioni Di Commutazione Sistema Digitale Elaborazione Immagazzinamento 28/02/2019

Funzioni Di Commutazione ci ai bi si ci+1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 ai bi ci si 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 ai bi ci ci+1 28/02/2019

Funzioni Di Commutazione a3 b3 s3 c4 a2 b2 s2 c3 a1 b1 s1 c2 c0 a0 b0 s0 c1 28/02/2019

Funzioni Di Commutazione Una funzione di commutazione è una funzione binaria di variabile binaria. 0 1 000 001 010 011 100 101 110 111 28/02/2019

Funzioni Di Commutazione Funzioni di una variabile 1 f0 f1 f2 f3 Funzione Identità Funzioni costanti 28/02/2019

Funzioni Di Commutazione Funzioni di due variabili 0 0 0 1 1 0 1 1 1 g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12 g13 g14 g15 x1 x0 28/02/2019

Funzioni Di Commutazione Utilizzeremo la funzione di una variabile NOT Utilizzeremo le due funzioni di due variabili AND e OR 28/02/2019

Espressioni E Reti 1. I terminali di input sono reti combinatorie 2. Se N1 e N2 sono reti combinatorie allora lo sono anche: N1 N2 N1 N2 N1 N2 28/02/2019

Espressioni E Reti 1. Le variabili e le costanti sono espressioni booleane 2. Se e sono espressioni booleane allora lo sono anche: 28/02/2019

Espressioni E Reti 1 x3 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 + (x1 + x3 )1 x1 + x3 (x1 + x3 )1 Ogni rete di commutazione data calcola una funzione di commutazione 28/02/2019

Espressioni E Reti Data una funzione di commutazione esiste una rete combinatoria che la calcola 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 ai bi ci si 28/02/2019

Espressioni E Reti Introduciamo la Algebra di Commutazione 28/02/2019

Espressioni E Reti Un’algebra di commutazione è un insieme B di elementi (espressioni booleane) contenente le costanti 0 ed 1 con le seguenti operazioni: Due operazioni binarie, AND e OR, che sono commutative, associative, idempotenti e godono delle proprietà di assorbimento e di distributività reciproca. Una operazione unaria, COMPLEMENTO (o NOT), con le proprietà di involuzione, complementarietà e legge di De Morgan Le costanti 0 e 1 godono delle proprietà: NOT(0) = 1 x 1=x x+0=x x 0=0 x+1=1 28/02/2019

Espressioni E Reti Assioma: Ciascuna espressione assume il valore 0 o il valore 1 per ogni assegnazione dei valori alle sue variabili. 1. x = x Principio di dualità: Data una espressione valida, otteniamo un’altra espressione valida: Scambiando AND ed OR Scambiano 0 ed 1 2. x y= y x 3. x x = x 4. x x= 0 5. x (y+z)= x y + x z 6. x (x+y)= x 7. (x y) z= x (y z) 8. x y = x+y 28/02/2019

Espressioni E Reti Consideriamo la seguente espressione per essa possiamo ricavare due forme standard SOP POS 28/02/2019

Espressioni E Reti 28/02/2019

Espressioni E Reti 28/02/2019

Reti all-NAND La funzione NAND ha la seguente tavola 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 x1 x0 1 E’ possibile mostrare che una qualunque espressione logica si può calcolare con una rete che utilizza la sola porta NAND. 28/02/2019

Reti all-NAND L’insieme AND, OR, NOT è un insieme funzionalmente completo Occorre quindi mostrare che con l’utilizzo della sola porta NAND posso realizzare le tre funzioni AND, OR, NOT 28/02/2019

Reti all-NAND La prova discende dalle seguenti relazioni: NAND(x,x)=NOT(AND(x,x))=NOT(x): NAND(NAND(x, y), NAND(x, y)) = NOT(AND(NAND(x, y), NAND(x, y)) = NOT(NAND(x,y) = AND(x, y): NAND(NAND(x, x), NAND(y, y)) = NOT(AND(NAND(x, x), NAND(y, y)) = NOT(AND(NOT(x),NOT(y)) = OR(x, y): 28/02/2019

Reti all-NOR In maniera del tutto analoga è possibile mostrare che una qualunque espressione logica si può calcolare con una rete che utilizza la sola porta NOR. 28/02/2019