Geometria Analitica La Parabola LEZIONE DI MATEMATICA DI EMANUELE PAONE

Introduzione Continuiamo , dopo aver studiato la retta, il nostro viaggio nella geometria analitica con la parabola, circonferenza, ellisse e iperbole. In questa lezione studieremo : LA PARABOLA Considerando un cono infinitamente grande, al variare dell’inclinazione del piano rispetto al cono si ottiene una parabola se l’angolo α formato dal piano secante con l’asse del cono è uguale all’angolo di semi apertura ϑ. POSTI DA VISITARE: Nell’immagine affianco è possibile vedere il cono presente ai Giardini della Matematica di Firenze. Questo cono è sezionato in base alle varie sezioni coniche.

Parabola come luogo geometrico Le sezioni coniche si possono studiare anche considerandole come luoghi geometrici: vediamo la parabola. La Parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto Fuoco e da una retta fissa detta Direttrice. Parabola nel piano euclideo

Parabola e la sua equazione Trasferiamoci ora nel piano cartesiano :consideriamo una parabola qualunque e assegniamo: un punto 𝐹(𝑝;𝑞) detto fuoco, un punto qualunque sulla parabola 𝑃(𝑥;𝑦) e una direttrice di equazione 𝑦=𝑑 Ora il punto P deve soddisfare la definizione, quindi: 𝑃𝐹 = 𝑃𝐾 Facciamo le sostituzioni: 𝑥−𝑝 2 + 𝑦−𝑞 2 =𝑦−𝑑 Eleviamo al quadrato primo e secondo membro per togliere la radice: 𝑥−𝑝 2 + 𝑦−𝑞 2 = 𝑦−𝑑 2

Sviluppiamo i quadrati di binomio e otteniamo: 𝑥 2 + 𝑝 2 −2𝑥𝑝+ 𝑦 2 + 𝑞 2 −2𝑦𝑞= 𝑦 2 + 𝑑 2 −2𝑦𝑑 Scriviamo in forma esplicita, quindi isoliamo y: 2𝑦𝑑−2𝑦𝑞=− 𝑥 2 +2𝑥𝑝− 𝑝 2 − 𝑞 2 + 𝑑 2 Svolgiamo il raccoglimento totale al primo membro: 2𝑦∙ 𝑑−𝑞 =− 𝑥 2 +2𝑥𝑝+ 𝑑 2 − 𝑝 2 − 𝑞 2 Dividiamo primo e secondo membro per 2∙(𝑑−𝑞): 𝑦=− 𝑥 2 2 𝑑−𝑞 + 𝑥𝑝 𝑑−𝑞 + 𝑑 2 − 𝑝 2 − 𝑞 2 2(𝑑−𝑞) Ora poniamo 𝑎= −1 2(𝑑−𝑞) 𝑏= 𝑝 𝑑−𝑞 𝑐= 𝑑 2 − 𝑝 2 − 𝑞 2 2(𝑑−𝑞) Fatto ciò otteniamo 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Equazione in forma normale o canonica della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y

Ora mettendo a sistema 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 si ottiene che: 𝑝=− 𝑏 2𝑎 𝑞= 1−∆ 4𝑎 𝑑= −1−∆ 4𝑎 Quindi il Fuoco della parabola avrà coordinate: 𝐹(− 𝑏 2𝑎 ; 1−∆ 4𝑎 ) Il vertice: 𝑉 − 𝑏 2𝑎 ;− ∆ 4𝑎 e la direttrice: 𝑦= −1−∆ 4𝑎 MA COME SI DISEGNA LA PARABOLA? Semplice, ti trovi le coordinate del vertice, poi trovi i punti di intersezione della parabola con gli assi x e y (la parabola interseca sempre l’asse y) e se non ti sono sufficienti i punti fai come la retta ovvero dai dei punti arbitrari, fatto ciò unisci i punti e il gioco è fatto. Ricorda: Se il polinomio di secondo grado ha il ∆>0 la parabola interseca l’asse x in due punti, se è uguale a 0 in un solo punto e se è minore di 0 non interseca l’asse x; inoltre se la a è positiva la parabola è rivolta verso l’alto mentre se è negativa è rivolta verso il basso.

Casi particolari di parabola Dopo aver visto la parabola di equazione 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐, vediamo ora cosa succede se manca la b, la c oppure entrambi. Se manca la b l’equazione diventa 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑐. Questa parabola avrà il vertice di ascissa 0 e quindi si trova sull’asse y. Se manca la c l’equazione diventa 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥. Questa parabola passerà sempre per l’origine infatti le coordinate (0;0) soddisfano sempre l’equazione Se manca sia la b che la c l’equazione diventa 𝑦=𝑎 𝑥 2 . Questa parabola ha il vertice di coordinate (0;0)

Posizione di una retta rispetto ad una parabola Una retta e una parabola possono essere secanti in due punti, essere tangenti in un punto oppure non intersecarsi in nessun punto. Consideriamo una retta 𝑦=𝑚𝑥+𝑞 e una parabola 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Mettiamoli a sistema e risolviamo: 𝑦=𝑚𝑥+𝑞 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 →𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐−𝑚𝑥−𝑞=0 Otteniamo:𝑎 𝑥 2 + 𝑏−𝑚 𝑥+𝑐−𝑞=0 EQUAZIONE RISOLVENTE In base al ∆ possiamo stabilire la posizione: se è > 0 la retta interseca la parabola in due punti, se è =0 è tangente , se è <0 non interseca.

Rette tangenti ad una parabola Partiamo col ricordare che la condizione di tangenza è ∆=0, ora dato un punto 𝑃 𝑥;𝑦 vogliamo condurre le tangenti alla parabola. Se P è un punto della parabola c’è solo una retta tangente mentre se è esterno ci sono due rette tangenti. Per determinare le equazioni delle rette tangenti scriviamo il fascio di rette per P e mettiamolo a sistema con la parabola, quindi: 𝑦− 𝑦 𝑝 =𝑚 𝑥− 𝑥 𝑝 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Fatto ciò scriviamo l’equazione risolvente dove compare il parametro m, poniamo il ∆=0 e troveremo i valori di m da sostituire nel fascio di rette: 1 valore se il punto è sulla parabola e 2 se il punto è esterno.

Determinare l’equazione di una parabola Poiché nell’equazione della parabola 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 sono presenti tre coefficienti 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, per poter determinare l’equazione della parabola abbiamo bisogno di tre condizioni, in tal modo da scrivere un sistema di tre equazioni in tre incognite (a, b e c). Vediamo dei casi: NOTI TRE PUNTI: Abbiamo tre punti 𝐴 1;0 𝐵 0;−5 𝐶(2;3) e vogliamo determinare l’equazione della parabola, basta sostituire le coordinate dei punti nell’equazione della parabola per tre volte: Passaggio per A →0=𝑎+𝑏−𝑐 Passaggio per B→−5=𝑐 Passaggio per C→3=4𝑎+2𝑏−𝑐 Mettendo a sistema le tre equazioni troveremo: 𝑎=−1 𝑏=6 𝑐=−5 Quindi l’equazione sarà 𝑦=− 𝑥 2 +6𝑥−5

NOTI IL VERTICE E IL FUOCO Troviamo l’equazione della parabola di 𝑉 2;1 𝑒 𝐹 2; 3 4 Siccome il vertice è un punto della parabola facciamo il passaggio per esso: 1=4𝑎+2𝑏+𝑐 Poi l’ascissa e l’ordinata del fuoco sono − 𝑏 2𝑎 1−∆ 4𝑎 , quindi: − 𝑏 2𝑎 =2 𝑒 1−∆ 4𝑎 = 3 4 Mettendo a sistema troviamo che: 𝑎=−1 𝑏=4 𝑐=−3 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑦=− 𝑥 2 +4𝑥−3 NOTI DUE PUNTI E L’ASSE DI SIMMETRIA Abbiamo due punti 𝐴 −1;−1 𝐵 1;5 e l’asse di equazione 𝑥=− 3 2 Facciamo il passaggio per A →−1=𝑎−𝑏+𝑐 Passaggio per B →5=𝑎+𝑏+𝑐 e l’asse − 𝑏 2𝑎 =− 3 2 Mettendo come al solito a sistema troviamo 𝑎=1 𝑏=3 𝑐=1 Quindi 𝑦= 𝑥 2 +3𝑥+1

Parabola con asse parallelo all’asse x Prendiamo un punto P e tracciamo il suo simmetrico P’ rispetto alla retta bisettrice del I e III quadrante (𝑦=𝑥). Consideriamo i triangoli 𝑂𝐻𝑃 𝑒 𝑂𝐻 𝑃 ′ essi hanno: 𝑃𝐻≅ 𝑃 ′ 𝐻 𝑝𝑒𝑟𝑐ℎ 𝑒 ′ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑒 𝑢𝑔𝑢𝑎𝑙𝑖 𝑂𝐻 𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒 Quindi essi sono congruenti per il primo teorema dei triangoli rettangoli. Ora consideriamo i triangoli 𝑃𝑂𝑄 𝑒 𝑃 ′ 𝑂𝑄′ essi hanno: 𝑃𝑄≅ 𝑃 ′ 𝑄 ′ 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑. 𝑑𝑖𝑚. e 𝛽≅ 𝛽 ′ 𝑝𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑓. 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑒𝑢𝑛𝑡𝑖 Quindi segue che i due triangoli son congruenti per il terzo teorema dei triangoli rettangoli.

Ora facciamo un’ osservazione, per ciò appena dimostrato sappiamo che 𝑃𝑄≅ 𝑃 ′ 𝑄′ ma se sostituiamo troviamo che 𝑥 𝑃 = 𝑦 𝑃′ inoltre anche 𝑄𝑂≅ 𝑄 ′ 𝑂 e se sostituiamo abbiamo che 𝑦 𝑃 = 𝑥 𝑃′ . Abbiamo dimostrato che se abbiamo un punto P di coordinate 𝑥 𝑃 ; 𝑦 𝑃 il suo simmetrico P’ avrà coordinate invertite rispetto all’altro punto. Detto ciò se in una funzione viene scambiato la x e la y si otterrà una funzione simmetrica rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, logicamente vale solo per questa bisettrice. Fatto questo lungo, ma interessante, ragionamento possiamo dire che ogni parabola con asse parallelo all’asse x si può ottenere come corrispondente , nella simmetria assiale rispetto alla bisettrice, di una parabola con asse parallelo a quello delle y. Quindi la sua equazione sarà 𝑥=𝑎 𝑦 2 +𝑏𝑦+𝑐 Il vertice avrà coordinate: − ∆ 4𝑎 ;− 𝑏 2𝑎 , Il fuoco: 1−∆ 4𝑎 ;− 𝑏 2𝑎 e la direttrice 𝑥= −1−∆ 4𝑎

La lezione è finita ci vediamo alla prossima volta con la circonferenza !!! EMANUELE PAONE E se sei appassionato ricorda di visitare il sito della mia docente: blog.libero.it/ruffini Dove trovi tantissime informazioni e gli altri miei lavori. Ciao!!